1、第1章習題答案三、解答題1設P(AB)=0，則以下說法哪些是正確的A和B不相容；A和B相容；AB是不行能事件；AB不必定是不行能事件；P(A)=0或P(B)=0P(AB)=P(A)解：(4)(6)正確.2設A，B是兩事件，且P(A)=，P(B)=，問：在什么條件下P(AB)取到最大值，最大值是多少在什么條件下P(AB)取到最小值，最小值是多少解：因為P(AB)P(A)P(B)P(AB)，又因為P(B)P(AB)即P(B)P(AB)0.所以(1)當P(B)P(AB)時P(AB)取到最大值，最大值是P(AB)P(A)=.(2)P(AB)1時P(AB)取到最小值，最小值是P(AB)=+=.3已知事件

2、A，B知足P(AB)P(AB)，記P(A)=p，試求P(B)解：因為P(AB)P(AB)，即P(AB)P(AB)1P(AB)1P(A)P(B)P(AB)，所以P(B)1P(A)1p.4已知P(A)=，P(AB)=，試求P(AB)解：因為P(AB)=，所以P(A)P(AB)=,P(AB)=P(A),又因為P(A)=，所以P(AB)=，P(AB)1P(AB)0.6.5從5雙不一樣的鞋子種任取4只，問這4只鞋子中起碼有兩只配成一雙的概率是多少解：明顯總取法有nC104種，以下求起碼有兩只配成一雙的取法k：法一：分兩種狀況考慮：kC51C42(C21)2+C52此中：C51C42(C21)2為恰有1雙

3、配對的方法數法二：分兩種狀況考慮：kC51C81C61+C522!此中：C51C81C61為恰有1雙配對的方法數,C52恰有2雙配對的方法數2!法三：分兩種狀況考慮：kC51(C82C41)+C52此中：C51(C82C41)為恰有1雙配對的方法數法四：先知足有1雙配對再除掉重復部分：kC51C82-C52法五：考慮對峙事件：kC104-C54(C21)4此中：C54(C12)4為沒有一雙配對的方法數法六：考慮對峙事件：kC104C101C81C61C414!此中：C101C81C61C41為沒有一雙配對的方法數4!所求概率為pk13.C104216在房間里有10個人，分別佩帶從1號到10號的

4、紀念章，任取3人記錄其紀念章的號碼求：求最小號碼為5的概率；求最大號碼為5的概率解：(1)法一：法二：C521p12C103C421C10320，法二：，法二：C31A521p12A103C31A421p20A1037將3個球隨機地放入4個杯子中去，求杯子中球的最大個數分別為1，2，3的概率解：設M1,M2,M3表示杯子中球的最大個數分別為1，2，3的事件，則A433C32A429C411P(M1)8,P(M2)16,P(M3)164343438設5個產品中有3個合格品，2個不合格品，從中不返回地任取2個，求拿出的2此中全部是合格品，僅有一個合格品和沒有合格品的概率各為多少解：設M2,M1,M

5、0分別事件表示拿出的2個球全部是合格品，僅有一個合格品和沒有合格品，則C320.3,P(M1)C31C21C220.1P(M2)220.6,P(M1)2C5C5C59口袋中有5個白球，3個黑球，從中任取兩個，求取到的兩個球顏色相同的概率解：設M1=“取到兩個球顏色相同”，M1=“取到兩個球均為白球”，M2=“取到兩個球均為黑球”，則MM1M2且M1M2.所以()(M2)(M1)()C52C3213.PMPM1PPM2C82C822810若在區間(0，1)內任取兩個數，求事件“兩數之和小于6/5”的概率解：這是一個幾何概型問題以x和y表示任取兩個數，在平面上成立xOy直角坐標系，如圖.任取兩個數

6、的全部結果組成樣本空間=(x，y)：0 x，y1事件A=“兩數之和小于6/5”=(x，y)：x+y6/5所以124A的面積12517P(A)的面積125圖11隨機地向半圓0y2axx2（a為常數）內擲一點，點落在半圓內任何地區的概率與地區的面積成正比，求原點和該點的連線與x軸的夾角小于4的概率解：這是一個幾何概型問題以x和y表示隨機地向半圓內擲一點的坐標，表示原點和該點的連線與x軸的夾角，在平面上成立xOy直角坐標系，如圖.隨機地向半圓內擲一點的全部結果組成樣本空間=(x，y)：0 x2a,0y2axx2事件A=“原點和該點的連線與x軸的夾角小于4”，y)：0 x2a,0y2axx2,0=(x

7、4所以1212P(A)A的面積2a4a111的面積222a12已知P(A)1,P(BA)1,P(AB)1，求P(AB)432解：P(AB)P(A)P(BA)111,P(B)P(AB)111,4312P(A|B)1226P(AB)P(A)P(B)P(AB)1111.4612313設10件產品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取兩件產品中有一件是不合格品，則另一件也是不合格品的概率是多少解：題中要求的“已知所取兩件產品中有一件是不合格品，則另一件也是不合格品的概率”應理解為求“已知所取兩件產品中起碼有一件是不合格品，則兩件均為不合格品的概率”。設A=“所取兩件產品中起碼有一件是不合格品”，B=

8、“兩件均為不合格品”；P(A)1P(A)1C622C422C102，P(B)C102，315P(B|A)P(AB)P(B)2/21P(A)P(A)153514有兩個箱子，第1箱子有3個白球2個紅球，第2個箱子有4個白球4個紅球，現從第1個箱子中隨機地取1個球放到第2個箱子里，再從第2個箱子中拿出一個球，此球是白球的概率是多少已知上述從第2個箱子中拿出的球是白球，則從第1個箱子中拿出的球是白球的概率是多少解：設A=“從第1個箱子中拿出的1個球是白球”，B=“從第2個箱子中拿出的1個球是白球”，則P(A)C213,()2，由全概率公式得C5155P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)3C

9、512C41235C915C91,45由貝葉斯公式得1P(A|B)P(A)P(B|A)3C15/2315.P(B)5C9452315將兩信息分別編碼為A和B傳達出去，接收站收到時，A被誤收作B的概率為，而B被誤收作A的概率為，信息A與信息B傳遞的屢次程度為2：1，若接收站收到的信息是A，問原發信息是A的概率是多少解：設M=“原發信息是A”，N=“接收到的信息是A”，已知P(N|M)0.02,P(N|M)0.01,P(M)2.3所以P(N|M)0.98,P(N|M)0.99,P(M)1,3由貝葉斯公式得P(M|N)P(M)P(N|M)20.98(20.9810.01)196.P(M)P(N|M)

10、P(M)P(N|M)33319716三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1,1,1，問三人中起碼有一人能將此密534碼譯出的概率是多少解：設iA=“第i個人能破譯密碼”，i=1,2,3.已知P(A1)1,P(A2)1,P(A3)1,所以P(A1)4,P(A2)2,P(A3)3,534534起碼有一人能將此密碼譯出的概率為1P(A1A2A3)1P(A1)P(A2)P(A2)14233.534517設事件A與B互相獨立，已知P(A)=，P(AB)=，求P(BA).解：因為A與B互相獨立，所以P(AB)=P(A)P(B),且P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B

11、)-P(A)P(B)將P(A)=，P(AB)=代入上式解得P(B)=，因為A與B互相獨立,所以A與B互相獨立，所以P(BA)P(B)1P(B)10.50.5.18甲乙兩人獨立地對同一目標射擊一次，其命中率分別為和，現已知目標被命中，則它是甲射中的概率是多少解：設A=“甲命中目標”，B=“乙命中目標”，M=“目標被命中”，已知P(A)=,P(B)=.因為甲乙兩人是獨立射擊目標.所以P(M)P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.50.75.P(AM)P(A)0.6P(A|M)P(M)0.75P(M)0.819某部件用兩種工藝加工，第一種工藝有三道工序，各道工序出現不合格品的概率分別為，；第二種工

12、藝有兩道工序，各道工序出現不合格品的概率分別為，試問：用哪一種工藝加工獲得合格品的概率較大些第二種工藝兩道工序出現不合格品的概率都是時，狀況又怎樣解：設Ai=“第1種工藝的第i道工序出現合格品”，i=1,2,3；Bi=“第2種工藝的第i道工序出現合格品”，i=1,2.1）依據題意，P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=，P(B1)=,P(B2)=,第一種工藝加工獲得合格品的概率為P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.70.80.90.504,第二種工藝加工獲得合格品的概率為P(B1B2)=P(B1)P(B2)=0.70.80.56,可見第二種工藝加工獲得合格品的概率大。（2

13、）依據題意，第一種工藝加工獲得合格品的概率仍為，而P(B1)=P(B2)=,第二種工藝加工獲得合格品的概率為P(B1B2)=P(B1)P(B2)=0.49.可見第一種工藝加工獲得合格品的概率大。B）1設兩兩互相獨立的三事件A，B和C知足條件ABC=，P(A)P(B)P(C)1,且已知2P(ABC)9，求P(A)16解：因為ABC=，所以P(ABC)=0,因為A，B，C兩兩互相獨立，P(A)P(B)P(C),所以P(AB)P(BC)P(AC)P(A)P(B)P(B)P(C)P(A)P(C)3P(A)2由加法公式P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC)得3P(

14、A)3P(A)29即4P(A)34P(A)1016考慮到P(A)1,得P(A)1.242設事件A，B，C的概率都是1，且P(ABC)P(ABC)，證明：22P(ABC)P(AB)1P(AC)P(BC)2證明：因為P(ABC)P(ABC)，所以P(ABC)1P(ABC)1P(A)P(B)P(C)P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC)將P(A)P(B)1代入上式獲得P(C)2P(ABC)13P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC)2整理得2P(ABC)P(AB)P(BC)P(AC)1.23設0P(A)1，0P(B)1，P(A|B)+P(A|B)1，試證A與B獨立證明：因為P(A|B)+P(A

15、|B)1，所以P(AB)P(AB)P(AB)1P(AB)P(B)P(B)P(B)1,1P(B)將P(AB)P(A)P(B)P(AB)代入上式得P(AB)1P(A)P(B)P(AB)1,P(B)1P(B)兩邊同乘非零的P(B)1-P(B)并整理獲得P(AB)P(A)P(B),所以A與B獨立.4設A，B是隨意兩事件，此中A的概率不等于0和1，證明P(B|A)P(B|A)是事件A與B獨立的充分必需條件證明：充分性，因為P(B|A)P(B|A)，所以P(AB)P(AB),即P(A)P(A)P(AB)P(B)P(AB),P(A)1P(A)兩邊同乘非零的P(A)1-P(A)并整理獲得P(AB)P(A)P(

16、B),所以A與B獨立.必需性：因為A與B獨立，即P(AB)P(A)P(B),且P(A)0,P(A)0,所以一方面P(B|A)P(AB)P(A)P(B)P(B),P(A)P(A)另一方面P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(A)P(B)P(B|A)P(A)P(A)P(B),P(A)所以P(B|A)P(B|A).5一學生接連參加同一課程的兩次考試第一次及格的概率為p，若第一次及格則第二次及格的概率也為p；若第一次不及格則第二次及格的概率為p.2若起碼有一次及格則他能獲得某種資格，求他獲得該資格的概率若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率ip2由全概率公式得P(A2)P(A1)P(A2|A1

17、)P(A1)P(A2|A1)p2(1p)p2(1)他獲得該資格的概率為P(A1A2)P(A1)P(A2)P(A1A2)P(A1)P(A2)P(A1)P(A2|A1),pp2(1p)pp23pp2.22若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率為P(A1|A2)P(A1A2)P(A1)P(A2|A1)ppp2p.P(A2)P(A2)p2(1p)p126每箱產品有10件，此中次品從0到2是等可能的，開箱查驗時，從中任取一件，假如查驗為次品，則以為該箱產品為不合格而拒收因為查驗偏差，一件正品被誤判為次品的概率為2%，一件次品被誤判為正品的概率為10%求查驗一箱產品能經過查收的概率解：設A=“一箱產品有

18、i件次品”，i=0，1，2.設M=“一件產品為正品”，N=“一件產品被查驗為正品”.i已知P(A0)P(A1)P(A2)1,P(N|M)0.02,P(N|M)0.1,3由全概率公式P(M)P(A0)P(M|A0)P(A1)P(M|A1)P(A2)P(M|A2)1(198)9,3101010P(M)1P(M)191,又P(N|M)1P(N|M)10.020.98,1010由全概率公式得一箱產品能經過查收的概率為P(N)P(M)P(N|M)P(M)P(N|M)910.10.892.100.98107用一種查驗法查驗產品中能否含有某種雜質的成效以下若真含有雜質查驗結果為含有的概率為；若真含不有雜質查

19、驗結果為不含有的概率為；據過去的資料知一產品真含有雜質或真不含有雜質的概率分別為和今獨立地對一產品進行三次查驗，結果是兩次查驗以為含有雜質，而有一次以為不含有雜質，求此產品真含有雜質的概率解：A=“一產品真含有雜質”，Bi=“對一產品進行第i次查驗以為含有雜質”，i=1,2,3.已知獨立進行的三次查驗中兩次以為含有雜質，一次以為不含有雜質，不如假定前兩次查驗以為含有雜質，第三次以為查驗不含有雜質，即B1，B2發生了，而B3未發生.又知P(Bi|A)0.8,P(Bi|A)0.9,P(A)0.4,所以P(Bi|A)0.2,P(Bi|A)0.1,P(A)0.4,P(A)0.6,P(AB1B2B3)P(A)P(B1B2B3|A),所求概率為P(A|B1B2B3)P(B1B2B3)P(A)P(B1B2B3|A)P(A)P(B1B2B3|A)因為三次查驗是獨立進行的，所以P(A|B1B2B3)P(A)P(B1|A)P(B2|A)P(B3|A)P(A)P(B1|A)P(B2|A)P(B3|A)P(A)P(B1|A)P(B2|A)P(B3|A)0.40.80.80.20.905.0.40.80.80.20.60.10.10.98火炮與坦克對戰，假定坦克與火炮挨次發射，且由火炮先射擊，并同意火炮與坦克各發射2發，已知火炮與坦克每次發射的命中概率不變，它們分別等于和.我們