1、極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的兩種常見(jiàn)解法之比較極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的兩種常見(jiàn)解法之比較10/10極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的兩種常見(jiàn)解法之比較極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的兩種常見(jiàn)解法之比較淺談部分導(dǎo)數(shù)壓軸題的解法在高考導(dǎo)數(shù)壓軸題中，不斷出現(xiàn)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，那么，什么是極值點(diǎn)偏移問(wèn)題？參照陳寬宏、邢友寶、賴(lài)淑明等老師的文章，極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的表述是：已知函數(shù)yf(x)是連續(xù)函數(shù)，在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)x0，且f(x1)f(x2)，若極值點(diǎn)左右的“增減速度”相同，常常有極值點(diǎn)x0 x1x2，我2們稱(chēng)這種狀態(tài)為極值點(diǎn)不偏移；若極值點(diǎn)左右的“增減速度”不相同，函數(shù)的圖象不擁有對(duì)稱(chēng)性，常常有極值點(diǎn)x0 x1x2的情況，我們稱(chēng)這種

2、狀態(tài)為“極值點(diǎn)偏移”.2極值點(diǎn)偏移問(wèn)題常用兩種方法證明：一是函數(shù)的單調(diào)性，若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞加，則對(duì)區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意兩個(gè)變量x1、x2，f(x1)f(x2)x1x2；若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減，則對(duì)區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意兩個(gè)變量x1、x2，f(x1)f(x2)x1x2.二是利用“對(duì)數(shù)平均不等式”證明，什么是“對(duì)數(shù)平均”？什么又是“對(duì)數(shù)平均不等式”？abb,兩個(gè)正數(shù)a和b的對(duì)數(shù)平均數(shù)定義：L(a,b)lna,alnba,ab,對(duì)數(shù)平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)的大小關(guān)系是：abL(a,b)ab，2（此式記為對(duì)數(shù)平均不等式）下面給出對(duì)數(shù)平均不等式的證明：i）

3、當(dāng)ab0時(shí)，顯然等號(hào)成立ii）當(dāng)ab0時(shí)，不如設(shè)ab0，先證abab，要證abab，只須證：lnaab，lnalnblnalnbbba令ax1，只須證：2lnxx1,x1bx設(shè)f(x)2lnxx1,x1，則f(x)211(x1)20，所以f(x)xxx2x21在(1,)內(nèi)單調(diào)遞減，所以f(x)f(1)0，即2lnxx1，x故abablnalnb再證：abablnalnb2a1lna要證：abab，只須證：bblnalnb2a21b令ax1，則只須證：x1lnx，只須證12bx12x1設(shè)g(x)12lnx，x1，則g(x)21x12(x1)22xlnx，x1(x1)202x(x1)2所以g(x)

4、在區(qū)間(1,)內(nèi)單調(diào)遞減，所以g(x)g(1)0，即12nlx，ababx12故lnb2lna綜上述，當(dāng)a0,b0時(shí)，(,)ababLab2例1（2016年高考數(shù)學(xué)全國(guó)理科第21題）已知函數(shù)f(x)(x2)exa(x1)2有兩個(gè)零點(diǎn)（）求a的取值范圍；（）設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1x22解：（）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)a0時(shí)，f(x)(x2)ex0，得x2，只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)a0時(shí)，f(x)(x1)ex2a當(dāng)a0時(shí)，由f(x)0得，x1，由f(x)0得，x1，由f(x)0得，x1，故，x1是f(x)的極小值點(diǎn)，也是f(x)的最小值點(diǎn)，所以f(x)minf(1)e0

5、又f(2)a0，故在區(qū)間(1,2)內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)x2，即1x22xx21x0,20，所以，f(x)在區(qū)間由lim(x2)elimxlim又a(x1)xxexe(,1存)在唯一零點(diǎn)x1，即x11，故a0時(shí)，f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)；2當(dāng)a0時(shí)，由f(x)0得，x1或xln(2a)，若ln(2a)1，即ae0，故f(x)在R上單調(diào)遞加，與題意不符時(shí)，f(x)e2若ln(2a)1，即a0時(shí)，易證f(x)極大值=f(1)e0故f(x)在R上只有一2個(gè)零點(diǎn)，若ln(2a)1，即ae時(shí)，易證2f(x)極大值=f(ln(a22(a2)4lna(2)，5故)f0(x)在R上只有一個(gè)零點(diǎn)a(ln綜上述，a0（）解法

6、一、依照函數(shù)的單調(diào)性證明由（）知，a0且x11x22令h(x)f(x)f(2x)(xx2x,x(x1)(e2(x1)1)2)exe1，則h(x)x2e因?yàn)閤1，所以x10,e2(x1)10，所以h(x)0，所以h(x)在(1,)內(nèi)單調(diào)遞加所以h(x)h(1)0，即f(x)f2(x)，所以f(x2)f(2x2)，所以f(x1)f(2x2)，因?yàn)閤1,2x1，f(x)在區(qū)間(,1)內(nèi)單調(diào)遞減，所以x2x，即xx2121212解法二、利用對(duì)數(shù)平均不等式證明由（）知，a0，又f(0)a2所以，當(dāng)0a2時(shí)，x10且1x22，故x1x22當(dāng)a2時(shí)，0 x11x22，又因?yàn)閍(x12)ex1(x22)ex2

7、(x11)2(x21)2即(2x1)ex1(2x2)ex2(1x1)2(x21)2所以ln(2x1)x12ln(1x1)ln(2x2)x22ln(x21)所以ln(2x1)ln(2x2)2(ln(1x1)ln(x21)x2x1(2x1)(2x2)所以12ln(1x1)ln(x21)(2x1)(2x2)4x1x2ln(2x1)ln(2x2)ln(2x1)ln(2x2)2x1x22ln(1x1)ln(x21)所以22x1)ln(2x2)ln(23下面用反證法證明不等式成立因?yàn)? x11x22，所以2x12x20，所以ln(2x1)ln(2x2)0假設(shè)x1x22，當(dāng)x1x2x1x22ln(1x1)l

8、n(x21)2，20且2x1)ln(2=0,與矛盾；ln(2x2)當(dāng)x1x22時(shí)x1x220且2ln(1x1)ln(x21)0，得函數(shù)f(x)的遞加區(qū)間(0,1)，a由f(x)0，得函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間(1,)a（）解法一、依照函數(shù)的單調(diào)性求解設(shè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為x1、x2，則x0 x1x2，且0 x11x22aa0時(shí)，f(x)極大值=f(x)max1)111由（）知，當(dāng)f(lnaaa因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有兩個(gè)不相同的零點(diǎn)，所以f(x)max0，所以0a1要證f(x0)(12x0)(1ax0)0，只須證ax1，即證x1x22x00a令h(x)f(x)f(2x)lnxln(2x)2ax2,0

9、x1aaa則h(x)12a2a2(ax1)20，所以h(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞加xaxx(2ax)a4所以h(x)h(1)0，即f(x)f(2x)aa因?yàn)? x112x1)，所以f(x2)2x1)x2，所以f(x1)f(f(aaa又x21,2x11，且f(x)在區(qū)間(1,)內(nèi)單調(diào)遞減aaaa所以x22x1，即x12，故f(x0)0ax2a解法二、利用對(duì)數(shù)平均不等式求解設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(x1,0)、B(x2,0)，則x0 x1x22由（）知，當(dāng)a0時(shí)，f(x)極大值=f(x)maxf(1)ln111aaa因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有兩個(gè)不相同的零點(diǎn)，所以f(x)max0，所以0a1因?yàn)閘nx1a

10、x12(2a)x10，所以lnx2lnx1a(x2x1)(2a)(x2x1)lnx2ax22(2a)x20所以1x2x1x1x2，即1x1x2a(x1x2)(2a)lnx2lnx12a(x1x2)(2a)2所以a(xx)2(a2)(xx2)20，所以a(x1x2)2(x1x2)10121x1x2x1x2(1x1x2)(1ax1x2)所以10，所以f(x0)f)20.a2(x1x222例3（2014年高考數(shù)學(xué)湖南卷文科第21題）已知函數(shù)f(x)1xx1x2e（）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（）當(dāng)f(x)f(x),x時(shí)x，求證：xx0121212解：（）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽(1x2)2x(1x)

11、x1xxx(x1)22xf(x)(12)2e1x2e(12)2exx由f(x)0，得x0，由f(x)0，得函數(shù)的遞加區(qū)間(,0)，由f(x)0，得函數(shù)的遞減區(qū)間(0,)，所以f(x)maxf(0)1（）解法一、利用函數(shù)的單調(diào)性求解5令h(x)f(x)f(x)1x2ex1x2ex，x01x1x則h(x)x(x22x3)e2x(x22x3)(1x2)2ex令H(x)(x22x3)e2x(x22x+3),x0則H(x)2(x2x2)e2x(x1),x0，則H(x)2(2x23)e2x1,x0由x0得，H(x)2(31)40，故H(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)遞加故H(x)H(0)20，故H(x)在(0,)內(nèi)

12、單調(diào)遞加故H(x)H(0)0，故h(x)0，故h(x)在(0,)上單調(diào)遞減所以，h(x)h(0)0由（1）及f(x1)f(x2),x1x2知，x10 x21，故h(x2)f(x2)f(x2)0所以f(x2)f(x2)，所以f(x1)f(x2)，又f(x)在(,0)上單調(diào)遞加所以，xx，即xx20121解法二、利用對(duì)數(shù)平均不等式求解因?yàn)閤1時(shí)，f(x)0，x1時(shí)，f(x)0，f(x1)f(x2),x1x2所以，x10 x211x1x1x2x1x11x1x21x，2e12e2，所以，2e22e11x11x21x11x2所以，ln(1x1)(1x2)ln(1x12)ln(1x2)(1x1)ln(1x

13、22)所以，(1x)(1x)ln(1x)ln(1x)ln(1x2)ln(1x2)212112所以，(1x2)(1x1)1ln(1x12)ln(1x22)1x21x1ln(1x2)ln(1x1)ln(1x2)ln(1x1)2所以，x1x2ln(1x12)ln(1x22)2ln(1x1)ln(1x2)因?yàn)閤10 x21，所以ln(1x1)ln(1x2)0下面用反證法證明x1x20，假設(shè)x1x206當(dāng)x1x20時(shí)，xx0,且ln(1x2)ln(1x2)121ln(12=0，與不等式矛盾2ln(1x1)x2)當(dāng)x1x20時(shí)，x2x10，所以x1x20,且ln(1x12)ln(1x22)0，與不2ln(

14、1x1)ln(1x2)等式矛盾.所以假設(shè)不成立，所以x1x20例4（2014年江蘇省南通市二模第20題）設(shè)函數(shù)f(x)exaxa(aR),其圖象與x軸交于A(x,0),B(x,0)兩點(diǎn)，且xx.1212（）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（）證明：f(x1x2)0(f(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)）；（）略.解：（）f(x)exa，xR，當(dāng)a0時(shí)，f(x)0在R上恒成立，不合題意當(dāng)a0時(shí)，易知，xlna為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，且是唯一極值點(diǎn)，故，f(x)minf(lna)a(2lna)當(dāng)f(x)min0，即0ae2時(shí)，f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，故舍去；當(dāng)f(x)min0，即ae2時(shí)，由f(1)e0，

15、且f(x)在(,lna)內(nèi)單調(diào)遞減，故f(x)在(1,lna)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；由f(lna2)a22alnaaa(a12lna),令ya12lna,ae2，則y120，故a12lnae214e230a所以f(lna2)0，即在(lna,2lna)有且只有一個(gè)零點(diǎn).（）解法一、依照函數(shù)的單調(diào)性求解由（）知，f(x)在(,lna)內(nèi)遞減，在(lna,)內(nèi)遞加，且f(1)e0所以1x1lnax22lna，要證f(x1x2)0，只須證ex1x2a，即證x1x2lna又x1x2x1x2，故只須證x1x22lna2令h(x)f(x)f(2lnax)exaxae2lnaxa(2lnax)a,exa2ex2

16、ax2alna，1xlna7則h(x)exa2ex2a2exa2ex2a0，所以h(x)在區(qū)間(1,lna)內(nèi)遞加所以h(x)elnaa2elna2alna2alna0，即f(x)f(2lnax)所以f(x1)f(2lnax1)，所以f(x2)f(2lnax1)因?yàn)閤2lna,2lnax1lna，且f(x)在區(qū)間(lna,)內(nèi)遞加所以x22lnax1，即x1x22lna，故f(xx)012解法二、利用對(duì)數(shù)平均不等式求解由（）知，f(x)在(,lna)內(nèi)遞減，在(lna,)內(nèi)遞加，且f(1)e0所以1x1lnax22lna，因?yàn)閒(x1)ex1ax1a0，f(x2)ex2ax2a0aex1ex2

17、，即ex11ex21(x11)(x21)(x11)(x21)x11x2x11x2，所以1ln(x11)ln(x21)11所以x1x2(x1x2)0，要證：f(x1x2)0，只須證ex1x2a，即x1x2lna故，x1x2x1ln(x11)，x1x2x2ln(x21)所以2x1x2x1x2ln(x11)(x21)，所以ln(x1x2(x1x2)1)x1x22x1x2因?yàn)閤x(xx)0，所以ln(xx(xx)1)ln10，而xx2xx0121212121212所以ln(x1x2(x1x2)1)x1x22x1x2成立，所以f(x1x2)0從以上四個(gè)例題可以看出，兩種方法解決的問(wèn)題相同，即若x1,x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，而xx0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，證明x1x22x0（或x1x22x0），依照函數(shù)單調(diào)性求解的步驟是：一、成立函數(shù)h(x)f(x)f(2x0 x)，二、判斷函數(shù)h(x)的單調(diào)性，三、證明h