1、YCF正版可修改PPT（本科）投資學NO5教學課件第五章 投資組合The investment portfolio 第一節 投資組合的收益和風險3第二節 最優投資組合第三節 馬科維茨模型 21 第五章 投資組合學 習 目 標1.掌握兩種證券組合的預期收益率和風險的計算；2.理解協方差和相關系數的含義；3.識別實現分散化所需證券之間的關系；4.比較有效投資組合和無效投資組合，并確定投資者應選擇何種投資組合； 第五章 投資組合學 習 目 標5.了解把無風險資產加入風險資產組合的含義；6.描述和解釋風險資產的最小方差、有效邊界與最小方差的投資組合；7.解釋并說明資本配置線；8.給定投資者的效用函數和

2、資本配置線，討論最優組合的選擇。 第五章 投資組合晴雨天的多元化 有一家海灘裝備公司,主要出租海灘裝備。當一年中有很多晴天時，這家公司的年收益率是20%；而當一年中只有很少晴天（多雨）時，該公司的收益率降為零。一年中出現多晴天和多雨天的概率各為50%。因此，該公司有50%的可能性收益率是20%，有50%的可能性收益率是零，平均收益率為10%。故該公司獲得10%的收益率是有風險的。引 導 案 例 某投資者非常想投資這家海灘裝備公司，但是他卻不喜歡風險。聽說了多元化的概念后，他準備在此基礎上再做一筆投資以降低風險。下面有兩個投資方案可供選擇： （1） 海灘上有一家小吃店，出售健康食品。該投資者估計

3、在很多晴天的一年中小吃店的收益率是20%，在多雨的一年中收益率是零。 （2） 海灘上有一家電影院，它在多雨的一年中收益率是20%，在有很多晴天的一年中收益率是零。電影院的收益率和海灘裝備公司一樣是有風險的。引 導 案 例問題多元化在投資界是一個重要且有力的概念。因為投資者都是厭惡風險的，他們希望在不降低收益的情況下降低風險，所以投資者可能因為降低了遭受災難性損失的概率而接受一個較低的收益率。探討該投資者應該選擇哪一種投資方案實現風險分散化。 第五章 投資組合假設有兩種證券S1、S2，其收益率分別為R1、R2，投資者將資金分為W1、W2的比例構建投資組合，則該投資組合的收益率RP可以表示為:一、

4、 兩種證券組合的收益和風險 第一節 投資組合的收益和風險公式（5-1）中,W1+W2=1，且W1、W2可以是正數，也可以是負數，負數表示賣空證券，然后將賣空所得資金加上自有資金購買另外一只證券。 第一節 投資組合的收益和風險根據概率論的相關知識，兩種證券組合的預期收益率可以表示為: 第一節 投資組合的收益和風險（一） 兩種證券組合的預期收益率公式（5-2）表示兩種證券組合的預期收益率是兩種證券預期收益率的加權平均，權數是投資在各種證券上的資金比例。如果沒有賣空，證券組合的預期收益率總是依據兩種證券的資金比例在兩種證券預期收益率之間變動，具體大小取決于購買兩種證券的相對數量。一旦大量賣空預期收益

5、率較低的證券，則組合預期收益率將大幅度上升。 第一節 投資組合的收益和風險【例5-1】 某投資者投資預期收益率分別為29%和11%的兩只證券S1和S2。請問：（1） 如果將自有資金10萬元等比例投資于兩只股票，則投資者的預期收益率是多少？（2） 如果先賣空預期收益率較低的S2共16萬元，然后將全部資金26萬元都購買S1，則投資者的預期收益率又是多少？ 第一節 投資組合的收益和風險（1） 根據公式（5-2）可得，該投資者的預期收益率為E(RP)=50%29%+50%11%=20%（2） 這時，投資者在S1和S2上的資金比例W1、W2分別是W1=26/10100%=260%W2=-16/10100

6、%=-160% 第一節 投資組合的收益和風險 第一節 投資組合的收益和風險根據公式（5-2）可得，該投資者的預期收益率為:E(RP)=260%29%+(-160%)11%=57.8%分散投資可以降低組合風險。與衡量單個資產風險的方法不太一樣，衡量資產組合的風險除用方差外，還要考慮相關性，即兩種資產的收益率一起變化的程度。根據概率論的相關知識，使用協方差計算兩種證券組合的風險可以表示為: 第一節 投資組合的收益和風險（二） 兩種證券組合的風險 第一節 投資組合的收益和風險公式（5-3）和公式（5-4）中的Cov(R1，R2)被稱為證券收益率R1、R2變動的協方差，經常也表示為12。證券之間的關系

7、對收益的影響用協方差衡量，協方差度量兩個隨機變量之間的相關性。協方差的基本公式為公式（5-5）中R1-E(R1)、R2-E(R2)代表兩只證券S1和S2的收益率對各自預期收益率的偏離，包括正、負偏離兩種情況。 第一節 投資組合的收益和風險正偏離是指實際收益率高于預期收益率，負偏離是指實際收益率低于預期收益率。因此，協方差表示證券S1和S2的收益率同時偏離各自預期收益率的平均值。協方差變化有如下規律： 第一節 投資組合的收益和風險（1） 協方差為正數，說明R1-E(R1)0和R2-E(R2)0經常同時出現，或R1-E(R1)0和R2-E(R2)0和R2-E(R2)0經常同時出現，或R1-E(R1

8、)0經常同時出現，反向變化的次數越多，逆向程度越高。也就是說，證券S1收益率增加時，證券S2的收益率經常降低；證券S1收益率降低時，證券S2的收益率經常增加。因此，協方差為負數說明兩只證券收益率變動呈負相關。 第一節 投資組合的收益和風險（3） 協方差為零，說明證券S1和S2收益率的變化不相關。也就是說，證券S1收益率的變動和S2收益率的變動沒有明顯關系。 第一節 投資組合的收益和風險組合標準差公式中的協方差雖然很重要，但是它的取值兩側都是無界的，因此難以解釋。所以人們通常用相關系數（12）來代替。相關系數是協方差經標準化之后衡量兩只證券收益率變動相關性及程度的指標。它是有界的，并且提供和協方

9、差相似的信息，其計算公式為: 第一節 投資組合的收益和風險相關性是對兩種投資以相似的方式變動的一致性和趨勢性的度量。相關系數12可以為正，也可以為負，取值范圍是-1,1。下面討論三個特殊的相關系數的值：（1） 當12=1時，兩種資產的收益率完全正相關，資產1和資產2同時朝相同的方向變動。 第一節 投資組合的收益和風險（2） 當12=-1時，兩種資產的收益率完全負相關，資產1和資產2同時朝相反的方向變動。（3） 當12=0時，兩種資產的收益率不相關，資產1的變動方向沒有對資產2的變動做出預測。 第一節 投資組合的收益和風險0121表明兩種資產的收益率變動存在一定程度的正相關關系，越接近1正相關性

10、越強，即一只證券收益率變動一個數值，另一只證券收益率經常朝相同方向變動且幅度也會越來越接近；-1120表明兩種資產的收益率變動存在一定程度的負相關關系，越接近-1負相關性越強，即一只證券收益率變動一個數值，另一只證券收益率經常朝相反方向變動且幅度也會越來越接近。 第一節 投資組合的收益和風險一般來說，如果相關系數12的絕對值大于0.8，則認為兩種資產的收益率變動存在較強的相關關系；如果相關系數12的絕對值小于0.3，則認為兩種資產的收益率變動存在較弱的相關關系。 第一節 投資組合的收益和風險引入相關系數后，兩種證券組合的風險又可以寫成如下形式： 第一節 投資組合的收益和風險將公式（5-5）中的

11、證券S2替換為S1，可得到:說明方差是協方差的一個特例。因此，公式（5-3）變化成組合方差的另一種表達方式為 第一節 投資組合的收益和風險組合方差就是協方差的加權值，權重為協方差內一對資產在組合中權重的乘積。表5-1和表5-2為如何用數據表計算組合的方差。表5-1為兩只證券收益的協方差矩陣。根據表5-2內的計算得到式（5-7）。這一過程之所以可行是因為協方差矩陣是關于對角線對稱的，即Cov(R1,R2)=Cov(R2,R1)。協方差矩陣也可應用于任意多個資產的組合。 第一節 投資組合的收益和風險 第一節 投資組合的收益和風險 第一節 投資組合的收益和風險公式（5-3）表明，如果協方差為負，那么

12、組合的方差會降低。但是，即使協方差為正，組合標準差仍低于兩個證券標準差的加權平均，除非兩個證券是完全正相關的。為了證明這一點，我們注意到協方差可以由相關系數12計算得到 第一節 投資組合的收益和風險因此，公式（5-3）轉化為:當其他不變時，12越高組合方差就越大。當兩只證券完全正相關時，即當12=1時，公式（5-12）可以簡化為 第一節 投資組合的收益和風險因此，組合標準差就是兩個收益完全正相關的證券標準差的加權平均。在其他情況下，相關系數小于1使得組合標準差小于兩個資產標準差的加權平均。 第一節 投資組合的收益和風險資產的相關性越小，有效收益越大。組合的標準差最低是多少呢？ 第一節 投資組合

13、的收益和風險最低的相關系數是-1，代表完全負相關。在這種情況下，公式（5-12）簡化為:組合標準差為當12=-1時，通過解下式可以得到完全對沖的頭寸。設W11-W22=0，解得W1=21+2，W2=11+2=1-W1。這一權重使得組合標準差為零。 第一節 投資組合的收益和風險【例5-2】已知股票A和股票B的收益率及概率分布情況如表5-3所示，請問A、B兩只股票收益率變動的協方差是多少？ 第一節 投資組合的收益和風險 第一節 投資組合的收益和風險股票A和股票B的預期收益率為E(RA)=0.2(-5%)+0.215%+0.2(-10%)+0.220%+0.230%=10% E(RB)=0.2(-1

14、0%)+0.2(-5%)+0.215%+0.230%+0.220%=10% 第一節 投資組合的收益和風險股票A和股票B的收益率變動的協方差為: 第一節 投資組合的收益和風險【例5-3】某投資者打算投資小盤股基金S和普通債券基金B，它們的期望收益率和標準差如表5-4所示，兩只基金收益率的相關系數為0.1。如果投資者要求組合的收益率為12%，那么每只基金各占的比例應是多少？構造的投資組合的標準差是多少？ 第一節 投資組合的收益和風險 第一節 投資組合的收益和風險根據公式（5-1），通過令投資組合的收益率等于12%可以計算出各只基金的權重。12%=W119%+(1-W1)8%，W1=36.4%,1-

15、W1=63.6%。因此，36.4%的資金應投資于小盤股基金S，63.6%的資金應投資于普通債券基金B。 第一節 投資組合的收益和風險 第一節 投資組合的收益和風險【例5-4】兩只股票有相同的收益率和風險（標準差），收益率是10%，風險是20%。某投資者的投資組合中股票1和股票2各占50%，試討論相關系數對組合風險的影響。 若相關系數等于1，計算組合的收益率和風險。 若相關系數等于零，計算組合的收益率和風險。 第一節 投資組合的收益和風險 若相關系數等于-1，計算組合的收益率和風險。 比較不同相關系數的組合的收益率和風險。由題干可知R1=R2=10%，1=2=20%，W1=W2=50%。 第一節

16、 投資組合的收益和風險 當12=1時，當資產的相關系數等于1時，組合的風險和單個資產的風險相同。 第一節 投資組合的收益和風險 第一節 投資組合的收益和風險 當12=0時，當資產的相關系數小于1時，組合的風險小于單個資產的風險。 第一節 投資組合的收益和風險 當12=-1時，當資產的相關系數足夠低，相關系數為-1時，可以通過組合消除風險。單個資產仍然保留它們的風險特征，但組合是無風險的。 第一節 投資組合的收益和風險 三種情況下的組合收益率都是10%，但是第1種情況的收益率波動最大，第3種情況的收益率波動最小。第1種情況風險沒有得到分散（組合前后風險都是20%），第2種情況在收益不變的情況下實

17、現風險的分散（風險由20%下降到14%），第3種情況是同收益率無風險的組合。 第一節 投資組合的收益和風險 第一節 投資組合的收益和風險設三只證券S1、S2、S3的收益率分別為R1、R2、R3，將資金分為W1、W2、W3的比例配置在這三種證券上，則投資組合P的收益率RP為二、 多種證券組合的收益和風險 第一節 投資組合的收益和風險由概率論相關知識可以推導出，該組合的預期收益率和方差分別為整理上式時,要注意ij=ji 第一節 投資組合的收益和風險當證券數量為4只時，其構造的投資組合的預期收益率和方差分別為 第一節 投資組合的收益和風險一般來說，n只證券S1，S2,，Sn構成的投資組合P的收益率R

18、P為 第一節 投資組合的收益和風險該投資組合的預期收益率和方差分別為 第一節 投資組合的收益和風險公式（5-20）中， 被稱為雙重求和，代表i和j所有可能的配對，是nn=n2個數相加。 第一節 投資組合的收益和風險【例5-5】資產組合P由三只證券構成，三只證券的投資金額占總投資額的比例分別為W1=0.2，W2=0.5，W3=0.3，對應的期望收益率為E(R1)=12%，E(R2)=8%，E(R3)=16%，請計算整個資產組合P的期望收益率和標準差。三只證券收益的協方差矩陣組合權重如表5-5所示（為了簡便，將矩陣中數字的單位萬分之一省略）。 第一節 投資組合的收益和風險 第一節 投資組合的收益和

19、風險計算組合的期望收益率： 第一節 投資組合的收益和風險根據矩陣可知三只證券的方差為21=35，22=67，23=50，三只證券每兩兩之間的協方差分別是：12=43，13=28,23=59。計算組合的方差： 第一節 投資組合的收益和風險 第一節 投資組合的收益和風險如果投資者以資產組合方式進行投資，盡管仍需承擔該組合的風險，但是這種投資方式對于系統風險和非系統風險具有不同的分散效果。假設有n只證券，將資金等比例（比例是1/n）投資于所有證券構成一個投資組合，則通過公式（5-20）可以推導出該投資組合的方差為三、 資產組合與風險分散 第一節 投資組合的收益和風險 第一節 投資組合的收益和風險隨著

20、組合中包含的證券數n的增加，1n趨向于零。由于公式（5-24）中的第一項趨向于零，第二項趨向于ij，所以整個組合的非系統風險隨證券數量的增加而減少，即非系統風險被分散。但是，組合的系統風險在證券數量增加時并不能被完全消除，而是逐漸收斂于某一個有限數。 第一節 投資組合的收益和風險降低并基本消除非系統風險的分散化投資組合需要多少只證券？答案可能是“令人意想不到的少”。根據研究發現，由1015只證券組成的投資組合便可以顯著降低非系統風險。圖5-1說明了風險降低的情況，縱軸表示風險大小，橫軸表示證券數量。由于系統風險獨立于投資組合中的證券數量，因此這種風險可以用直線AB表示。直線AB平行于橫軸，不管

21、投資者擁有的證券數量為多少，不可分散風險都保持相等。 第一節 投資組合的收益和風險 第一節 投資組合的收益和風險投資組合的系統風險、非系統風險與證券數量的關系投資組合風險（系統風險與非系統風險之和）由曲線CD表示。AB線與CD線之差就是投資組合中與具體證券相關的非系統風險。非系統風險的大小取決于持有證券的數量。當持有證券的數量增加時，非系統風險將降低。由圖5-1可知，證券數越多，CD線越趨近于AB線。對于由10只或更多證券組成的投資組合，涉及的風險基本上只有系統風險了。 第一節 投資組合的收益和風險根據圖5-1，可以得到以下三點：（1） 與單個資產相關的一些風險可以通過投資組合來消除。把投資分

22、散到不同資產的過程稱為分散投資，分散投資可以消除一部分風險。通過分散投資可以消除的風險稱為可分散風險。（2） 一小部分的風險無法消除，這部分風險被稱為不可分散風險。（3） 兩者綜合考慮，分散投資可以降低風險，但只能達到一定的程度。 第一節 投資組合的收益和風險【例5-6】假設投資組合包括很多股票，分布均為E(R)=15%，=60%，相關系數為0.5。請問： 25只股票等權重構成的組合的收益分布是什么？ 要構造標準差不超過43%的組合，至少需要多少只股票？ 當n=25時，等權重的投資組合的方差為 第一節 投資組合的收益和風險 第二節 最優投資組合（一） 兩種證券組合的可行集 兩種證券組合的可行集

23、通常是什么形狀呢？下面先討論組合的風險和收益率如何隨不同的權重和不同的相關系數進行變化。一、 可行集 第二節 最優投資組合【例5-7】某投資者用兩項資產構造投資組合。資產1的年收益率為7%，風險為12%；資產2的年收益率為15%，風險為25%。請問：當資產1的投資比例為零、10%、20%、30%、40%、50%、60%、70%、80%、90%、100%，相關系數為1,0.5,0.2,-1時，所構造的投資組合的預期收益率和標準差是多少？在預期收益率和標準差的坐標系上描繪出上述的投資組合，并用一條光滑的曲線將其連接起來，這條曲線的形狀是什么？ 第二節 最優投資組合 第二節 最優投資組合同樣，可以計

24、算投資比例改變時，在不同相關系數下的投資組合的預期收益率和標準差。組合風險和收益的關系如表5-6所示，圖形的形式如圖5-2所示。 第二節 最優投資組合 第二節 最優投資組合通過圖5-2中=0.2的虛線表明的投資組合可行集可以看出，之所以稱其為投資組合可行集，是因為它代表了兩個資產構造的所有期望收益率和標準差的組合。其他的曲線表示了不同相關系數下的情況。=1的直線說明完全正相關的資產分散化沒有意義，組合的標準差僅是兩個標準差的加權平均。當=-1時，完全負相關的投資組合的可行集是線性的，它提供了完全對沖的機會來構造零方差的組合。 第二節 最優投資組合 第二節 最優投資組合根據圖5-2，可以總結兩只

25、證券組合可行集的形狀：（1） 兩只證券構成組合的可行集是一條通過A點和B點的曲線。（2） 隨著相關系數的不斷變小，這條曲線的彎曲程度越來越大；當相關系數達到最小值-1時，這條曲線彎曲程度達到極限，表現為一條折線。（3） 當相關系數逐漸變大時，這條曲線的彎曲程度越來越小，當相關系數等于1時，曲線沒有任何彎曲，已經變成直線。 第二節 最優投資組合可以從數學的角度推導出最小方差組合： 第二節 最優投資組合【例5-8】現有兩只風險證券，一只是債券S1，一只是股票S2，它們的預期收益率和風險狀況如表5-7所示。請計算兩只證券所構造的最小方差組合的預期收益和風險。 第二節 最優投資組合 第二節 最優投資組

26、合因此，最小方差組合的預期收益率和風險為 第二節 最優投資組合三種及三種以上證券組合的可行集呈現傘形，具體形狀依賴于所包含的特定證券，它可能更左或更右、更高或更低、更胖或更瘦，可行集看起來如圖5-3所示。（二） 多種證券組合的可行集 第二節 最優投資組合（1） 若至少有三種資產（非完全相關且均值不同），則可行集是一個二維的實心區域。圖5-3說明了為什么可行區域是實心的原因。假設存在三種基礎資產：A、B和C。由于任意兩種資產構成資產組合后會在兩資產之間產生一條曲線，將A、B和C兩兩組合后，便可以得到如圖5-3中所示的三條曲線。若資產D是資產B和C的一個組合，則D可以與A進行組合得到一條連接A與D

27、的曲線，當D在B和C之間移動時，連接A和D的曲線軌跡就是一個實心區域。 第二節 最優投資組合（2） 可行區域凸向左邊。在可行區域內，任取區域內的兩點，連接兩點的直線不會穿過可行區域的左邊界。這是因為任意兩項資產組合的軌跡總是在兩項資產連線的左邊或在這兩項資產的連線上。圖5-4給出了一個典型的可行區域。 第二節 最優投資組合 第二節 最優投資組合有效集是可行集的一個子集。投資者按照以下原則選擇最優組合：（1） 對于同一預期收益率，選擇風險水平最小的。（2） 對于同一風險水平，選擇預期收益率最大的。滿足這兩個條件的組合集被稱為有效集或有效前沿。二、 有效集 第二節 最優投資組合按照有效集原則的第一

28、條，選取一定收益率水平，如E(R1)，通過該點畫出平行于橫坐標的虛線，該虛線穿過可行集，風險最小的投資組合是可行集邊界上的E點（圖5-5）。同樣，可以得到其他收益率對應的最小風險投資組合，這些投資組合位于可行集的邊界上。（一） 風險證券組合的有效集 第二節 最優投資組合按照有效集原則的第二條，選取一定風險大小，如1，通過該點畫出平行于縱坐標的虛線，該虛線穿過可行集，收益最大的投資組合是可行集邊界上的F點（圖5-5）。同樣，可以得到其他風險水平下對應的最大收益率投資組合，這些投資組合位于可行集的邊界的上半部分。 第二節 最優投資組合 第二節 最優投資組合運用同樣的方法可以得到兩種風險證券組合的有

29、效集(圖5-2)：（1） 當兩種證券收益率相關系數在-1,1之間，兩種證券組合的有效集是其可行集的從最小標準差組合沿著曲線的上半部分。（2） 當兩種證券收益率變動完全正相關時，有效集就是全部可行集直線。（3） 當兩種證券收益率變動完全負相關時，有效集就是可行集折線的上面一條直線。 第二節 最優投資組合分析無風險證券和一種風險證券構成的投資組合。假設無風險證券SF的收益率是常數Rf，風險證券SA的預期收益率是E(RA)，投資風險是A。以這兩種證券構造一個投資組合，其中無風險證券的權重為W，風險證券的權重是1-W，則投資組合的預期收益率和方差分別為（二） 無風險證券和風險證券構成投資組合的有效集

30、第二節 最優投資組合 第二節 最優投資組合公式（5-29）表明，無風險證券和風險證券所構建的組合的風險大小取決于風險證券的風險大小，以及投資在風險證券上的資金比例。將公式（5-29）中的W代入公式（5-27），整理可得 第二節 最優投資組合公式（5-30）表明：（1） 無風險證券和風險證券所構建的組合的可行集同時也是有效集，如圖5-6所示。 第二節 最優投資組合圖5-6無風險證券和風險證券組合的有效集在圖5-6中，整個組合關于標準差的期望收益率是經過起點F、穿過A的一條直線，截距是Rf，斜率是 。這條直線被稱為資本配置線，表示對投資者而言的所有可能的風險收益組合。資本配置線的斜率記為S，等于每

31、增加一單位標準差整個投資組合增加的期望收益。因此，斜率也被稱為報酬-波動性比率或夏普比率。 第二節 最優投資組合（2） 投資組合RP的預期收益率包含兩部分，一部分是無風險資產收益率，另一部分是投資組合總期望獲得的風險溢價，其與組合風險P的大小成正比。這從理論證明了高收益與高風險相匹配。資本配置線上處于投資組合A右邊的點是什么呢？如果投資者能夠以無風險利率借入資金，就可以構造出A點右邊的點。 第二節 最優投資組合【例5-9】某投資者的投資預算為300 000元，并以7%的無風險利率額外借入了120 000元，他將所有可用資金投入風險資產中。假設E(RP)=15%，P=22%。請計算杠桿風險投資組

32、合的收益、風險和報酬-波動性比率。由題意可知投入風險資產的比例=(300 000+120 000)/300 000=1.4無風險資產的比例=1-1.4=-0.4 第二節 最優投資組合根據公式（5-27），可得E(RP)=WRf+(1-W)E(RA)=-0.47%+1.415%=18.2%根據公式（5-29），可得 第二節 最優投資組合借款人的違約風險導致貸款者要求更高的貸款利率，因此，非政府投資者的借款成本超過Rf=7%。假設借入利率為Rbf=9%，在這種條件下的報酬-波動性比率（也就是資本配置線的斜率）將是資本配置線在A點被扭曲，借貸利率不相等時的可行集如圖5-7所示。A點的左邊，投資者以7

33、%借出資金；A點的右邊投資者以9%借入資金。 第二節 最優投資組合 第二節 最優投資組合在有效邊界的所有投資組合中都可以和無風險資產進行組合。圖5-8中展示了兩種組合，一種是無風險資產和有效組合A的組合，另一種是無風險資產和有效組合P的組合。比較資本配置線A和資本配置線P，發現在CAL(P)上總存在與CAL(A)上的點風險相同但收益更高的一點。（三） 一種無風險證券和多種風險證券構成投資組合的有效集 第二節 最優投資組合換句話說，CAL(P)上的組合優于CAL(A)上的組合。因此，投資者會選擇CAL(P)而不是CAL(A)。人們總是希望再向上移動以實現更優的投資組合，但是這些投資組合都位于有效

34、邊界的上方，因此是不可能達到的。 第二節 最優投資組合CAL(P)不但優于CAL(A)，而且優于風險資產的馬科維茨有效邊界 第二節 最優投資組合CAL(P)是最優資本配置線，而組合P是最優風險投資組合。因此，通過加入無風險證券，可以將風險資產組合的選擇范圍縮小到一個最優風險投資組合P，它是直線CAL(P)和風險資產有效邊界的切點。 第二節 最優投資組合（一） 風險厭惡和效用價值假設無風險利率是5%，投資者面臨以下不同的投資組合，如表5-8所示。表5-8中用風險溢價、風險水平來說明低等風險證券組合、中等風險證券組合和高等風險證券組合的風險收益特征。三、 最優投資組合 第二節 最優投資組合 第二節

35、 最優投資組合假設投資者會根據收益-風險情況為每個資產組合給出一個效用分數，分數越高說明這個資產組合越有吸引力。金融學中應用最多的一個效用函數是 第二節 最優投資組合式中，U為效用值；A為投資者的風險厭惡系數；系數12只是一個約定俗成的數值。公式（5-31）表明，效用隨期望收益的增加和風險的減少而增加。投資者對風險厭惡程度越高（A越大），對風險要求的補償就越高。投資者會在投資組合中選擇效用值最高的組合。 第二節 最優投資組合【例5-10】有三名風險厭惡程度不同的投資者，他們的風險厭惡系數分別是A1=2，A2=3.5，A3=5。三人對表5-8中三種資產組合進行了評價，無風險利率是5%。求他們對資

36、產組合的效用值，并指出每名投資者的最優選擇是什么。（1） 因為無風險利率是5%，用公式（5-31）可得到U=0.05。 第二節 最優投資組合（2） 在A1=2，E(R)=7%，=5%時，低等風險組合的效用值為（3） 在A1=2，E(R)=9%，=10%時，中等風險組合的效用值為 第二節 最優投資組合（4） 在A1=2，E(R)=13%，=20%時，高等風險組合的效用值為由于高等風險組合對于A1投資者的效用值最大，因此是A1投資者的最優選擇。 第二節 最優投資組合（5） A2和A3投資者的效用值計算方法與A1相同，此處省略。三種投資組合對不同風險厭惡水平投資者的效用值計算結果見表5-9。 第二節

37、 最優投資組合 第二節 最優投資組合只有當一個投資組合的確定等價收益率超過無風險收益率時才值得投資。與風險厭惡者相對的是風險中性的投資者，其A=0，只根據風險資產的期望收益率來判斷收益預期。風險的高低對風險中性投資者無關緊要，他們對風險要求的補償為零，他們的確定等價收益率就是資產的期望收益率。風險偏好者，其A0，這類投資者將風險的樂趣考慮在內后上調了效用水平。 第二節 最優投資組合通過對投資者效用相同的投資組合風險收益特點描點可以得到投資者風險與收益的權衡。橫軸是期望收益，縱軸是標準差。圖5-9所示為資產組合P的情況。資產組合P，期望收益率是E(RP)，標準差是P。它與第三象限相比期望收益率更

38、高，標準差更小，所以更受風險厭惡者的青睞；相反，第一象限的所有組合都比P受歡迎，因為它們的期望收益率大于等于P，標準差小于等于P。 第二節 最優投資組合這就是均值-方差準則。如果E(RA)E(RB)，AB，則表示投資組合A優于投資組合B。在圖5-9中最受歡迎的方向是西北方向，即左上方，因為這個方向在提高期望收益的同時降低了方差。所有P點西北方向的任何組合都優于組合P。 第二節 最優投資組合那么第二象限和第四象限的投資組合又如何呢？與組合P相比，這些組合的受青睞程度完全取決于投資者的風險厭惡程度。假設投資者確認了所有和P一樣好的投資組合，從P點開始，效用隨標準差的增加而減少，這必須以期望收益率的

39、提高作為補償。高風險高期望收益的資產和低風險低期望收益的組合對投資者的吸引力相同。 第二節 最優投資組合在均值-標準差圖中，用一條曲線將這些效用相同的所有資產組合連在一起就構成了無差異曲線，如圖5-10所示。因此,對投資者而言，圖5-10中的Q點和P具有相同的吸引力。 第二節 最優投資組合 第二節 最優投資組合 第二節 最優投資組合風險厭惡程度不同，投資者的效用無差異曲線形態不同：風險厭惡程度越高者，其效用無差異曲線越陡峭；風險厭惡程度越低者，其效用無差異曲線越平緩。 第二節 最優投資組合資本配置線包含投資者可獲得的最優投資組合。這些投資組合都是無風險資產和最優風險資產組合的線性組合。在這些可

40、獲得的投資組合中，投資者的最優投資組合依賴于投資者的風險偏好。（二） 投資者最優投資組合 第二節 最優投資組合下面將討論個人投資者的風險偏好，借助無差異曲線選擇最優投資組合，如圖5-11所示。圖5-11顯示無差異曲線與資本配置線相切。投資者最優投資組合的位置依賴于投資者的風險偏好，強烈風險厭惡的投資者可能大比例甚至100%投資于無風險資產，投資者的最優投資組合會在靠近縱軸的地方；而低風險厭惡的投資者可能會大比例投資于最優風險資產，投資者的最優投資組合就會接近于P點。 第二節 最優投資組合 第二節 最優投資組合【例5-11】有兩種風險資產A和B。資產A的期望收益率和標準差分別是20%和50%，資

41、產B的期望收益率和標準差分別是15%和33%。這兩種資產的相關系數為零。（1） 若投資者將資金的10%投資于資產A，90%投資于資產B，計算投資組合的期望收益率和投資組合的風險。 第二節 最優投資組合（2） 假設資產A的權重是WA，資產B的權重是1-WA，計算投資組合的收益率和風險。（3） 無風險資產的收益率為3%，根據（2）中投資組合的收益率和風險，寫出資本配置線方程，連接無風險資產和投資組合的風險資產。（4） 當資產A的權重為38.24%時，資本配置線的斜率最大。其資本配置線的方程是什么？ 第二節 最優投資組合（5） 在資本配置線上，20%的收益率對應的投資組合的標準差是多少？這個投資組合與資產A相比如何？（6） 當投資組合的收益率分別是3%、9%、15%和20%時，組合的風險各為多少？（7） 當投資組合的收益率為3%、9%、15%和20%，投資者的風險厭惡系數為2.5時，獲得的效用各是多少？該選擇哪個組合？ 第二節 最優投資組合 第二節 最優投資組合這條資本配置線是斜率最大的，因為它與風險資產組成的投資組合相切。 第二節 最優投資組合 第二節 最優投資組合 第二節 最優投資組合 第三節 馬科維茨模型馬科維茨的