1、數據模型與決策課程案例一生產戰略一、問題提出好身體公司（BFI）在長島自由港工廠生產健身練習器械。最近他們設計了兩種針對家 庭鍛煉所廣泛使用的舉重機。兩種機器都是用了 BFI專利技術，這種技術提供給使用者除 了機器本身運動功能之外的一些其他額外的運動功能。直到現在，這種功能也只有在很昂貴 的、應用于理療的舉重機上才可以獲得。在最近的交易展銷會上，舉重機的現場演示引起了交易者濃厚的興趣，實際上，BFI現 在收到的訂單數量已經超過了這個時期BFI的生產能力。管理部門決定開始這兩種器械的 生產。這兩種器械分別被BFI公司命名為BodyPlus100和BodyPlus200，由不同的原材料生 產而成。

2、BodyPlus100由一個框架、一個壓力裝置、一個提升一下拉裝置組成。生產一個框架需 要4小時機器制造和焊接時間，2小時噴涂和完工時間；每個壓力裝置需要2小時機器制造 和焊接時間，1小時噴涂和完工時間，每個提升一下拉裝置需要2小時機器制造和焊接時間， 2小時噴涂和完工時間。另外，每個BodyPlus100還需要2小時用來組裝、測試和包裝。每 個框架的原材料成本是450美元，每個壓力裝置的成本是300美元，每個提升一下拉裝置是 250美元。包裝成本大約是每單位50美元。BodyPlus200包括一個框架、一個壓力裝置、一個提升一下拉裝置和一個腿部拉伸裝置。 生產一個框架需要5小時機器制造和焊接

3、時間，4小時噴涂和完工時間；生產一個壓力裝置 需要3小時機器制造和焊接時間，2小時噴涂和完工時間；生產每個提升一下拉裝置需要2 小時機器制造和焊接時間，2小時噴涂和完工時間，另外，每個BodyPlus200還需要2小時 用來組裝、測試和包裝。每個框架的原材料成本是650美元，每個壓力裝置的成本是400 美元，每個提升一下拉裝置是250美元，每個腿部拉伸裝置的成本是200美元。包裝成本大 約是每單位75美元。在下一個生產周期，管理部門估計有600小時機器和焊接時間，450小時噴涂和完工時 間，140小時組裝、測試和包裝時間是可用的。現在的每小時勞動力成本是機器制造和焊接 時間20美元，噴涂和完工

4、時間15美元，組裝、測試和包裝12美元。雖然對于BFI來說由 于新機器的獨特功能可能還會獲得一些價格的靈活性，但BodyPlus100的市場建議價格是 2400美元，BodyPlus200是3500美元。授權的BFI銷售商可以以市場價格的70%來購買產 品。BFI的總裁相信BodyPlus200的獨特功能可以幫助BFI成為高端鍛煉器械的領導者。 所以，他認為BodyPlus200的數量至少會占到整個生產數量的25%。管理報告分析BFI的生產問題，為公司的總裁準備一份報告，告訴他們你的發現和建議。報告 包括以下幾個方面（不僅于此）：（1）BodyPlus100和BodyPlus200的建議生產數

5、量是多少？（2）BodyPlus200的數量占生產數量至少25%的要求會怎樣影響利潤？（3）為了增加利潤應擴展哪方面的努力？把你的線性規劃模型和圖形解作為你報告的附錄部分。二、問題分析與模型建立根據案例對好身體公司（BFI）兩種器械產品BodyPlus100和BodyPlus200的描述，用 表格形式列舉出該兩種產品的各項基本信息，表格如下：零件產品原材料成本（美元）BodyPlus100BodyPlus200BodyPlus100BodyPlus200框架4254450650壓力裝置2132300400提升/下拉2222250250組裝22腿拉200包裝5075總共用時(h)85108總成本

6、(美兀)10501575機器/焊接(h)600-bh,-ix20噴涂/完X(h)450勞動成本 (美元/h)15組、測、包(h)14012售價(美元)24003500表1.1BodyPlus100和BodyPlus200的建議生產數量是多少？設BodyPlus100的建議生產數量是x1，BodyPlus200的建議生產數量是x2,總利潤是Z， 則目標函數：maxz=2400 x1+3500 x220(8x1+10 x2)15(5x1+8x2)12(2x1+2x2)=2141x1+3156x2約束條件：8x1+10 x2 600I 5x1+8x2 4502x1+2x2 140 x1，x2 2 0

7、BodyPlus200的數量占生產數量至少25%的要求會怎樣影響利潤？設BodyPlus100的建議生產數量是x1，BodyPlus200的建議生產數量是x2,總利潤是Z， 則 目標函數：maxz=2400 x1+3500 x220(8x1+10 x2)15(5x1+8x2)12(2x1+2x2)=2141x1+3156x2約束條件：(8x1+10 x2 6005x1+8x2 4502x1+2x2 140 x1 -3x2 O x1，x2 2 0三、模型求解與結果解釋根據已經建立的模型，運用圖解法對該問題進行求解。建立直角坐標系，用橫軸代表 x1，縱軸代表x2。(1)BodyPlus100和Bo

8、dyPlus200的建議生產數量是多少？根據問題(1)約束條件：作 8x1+10 x2 = 600 直線，令 x1=0，則 x2=60；令 x2=0，則 x1=75同理，作 5x1+8x2=450， 2x1+2x2=140 兩直線得圖形如下：圖1.1由圖可知，陰影部分即為可行域范圍，且當 x1=150/7，y=300/7 時，z 最大，此時 maxz=181135.7可得最優解為：x1=150/7，y=300/7綜上所述，建議生產BodyPlus100產品21臺，生產BodyPlus200產品43臺。該生產建議下各項約束條件情況如下：約束條件耗費時間可用時間機器/焊接（h）598600噴涂/完

9、X（h）449450組、測、包（h）128140表1.2（2）BodyPlus200的數量占生產數量至少25%的要求會怎樣影響利潤？根據問題（2）的約束條件，即在問題（1）的基礎上增加x1-3x2 0這一項約束條件。因此，我們在圖1.1的基礎上增加x1-3x2 =0直線，令 x1=0，則 x2=0 ；令 x1=90，則 x2=30得到圖形如下：由圖可知，陰影部分即為可行域范圍。對比圖1.1和圖1.2可行域范圍明顯減小。當由此約束條件的情況下，當x1=150/7，y=300/7時，z最大，此時maxz=181135.7 可得最優解為：x1=150/7，y=300/7此時的建議生產量仍為BodyP

10、lus100產品21臺，生產BodyPlus200產品42臺。綜上所述，有BodyPlus200的產量比例約束時最大利潤無影響。（3）為了增加利潤應擴展哪方面的努力？根據表1.2,在最優解情況下各項約束條件情況來看，可以得出如下結論：機器/焊接所用時間僅比可用時間少2小時；噴涂/完工所用時間僅比可用時間少1小時；組、測、包所用時間比可用時間少12個小時，在其他條件允許的情況下可以再組裝 6臺器械。針對上述結論，為增加利潤提出如下建議：增加機器制造和焊接時間的可用時間；增加噴涂和完工的可用時間。四、參考文獻侯文華等譯，數據、模型與決策：管理科學篇.北京：機械工業出版社，2012數據模型與決策課程

11、案例二投資戰略一、問題提出J.D.威廉姆斯公司是一個投資質詢公司，為大量的客戶管理高達1.2億美元的資金。公 司運用一個很有價值的模型，為每個客戶安排投資，分別投資在股票增長基金、收入基金和 貨幣市場基金。為了保證客戶投資的多元化，公司對這三種投資的數額加以限制。一般來說， 投資在股票方面的資金占總投資20%-40%之間，投資在收入基金上的資金應確保在20%-50%之間，貨幣市場方面的投資至少應該占30%。此外，公司還嘗試著引入了風險承受能力指數，以迎合不同投資者的需求。比如，威廉 姆斯的一位新客戶希望投資800000美元。對其風險承受能力進行評估得出其風險指數為 0.05。公司的風險分析人員

12、計算出，股票市場的風險指數是0.10，收入基金的風險指數是0.07, 貨幣市場的風險指數是0.01。整個投資的風險指數是各項投資所占總投資的百分率與其風險指數乘積的代數和。此外公司預測，股票基金的年收益率是18%，收入基金的收益是12.5%，貨幣市場基金 的收益是7.5%。現在，基于以上信息，公司應該如何安排這位客戶的投資呢？建立數字模 型，求出使總收益最大的解，并根據模型寫出管理報告。管理報告（1）如何將800 000美元投資于這3種基金。按照你的計劃，投資的年收益是多少？（2）假設客戶的風險承受指數提高到0.055，那么在投資計劃更改后，收益將增加多少？（3）假設客戶的風險承受指數不變，仍

13、然是0.05，而股票成長基金的年收益率從18% 下降到14%，那新的最佳投資方案是什么？（4）假設現在客戶認為投資在股票方面的資金太多了，如果增加一個約束條件即投資 于股票增長基金的資金不可以超過投資于收入基金的資金，那么新的最佳方案是什么？（5）當遇到預期收益變化時，你所建立的線性規劃模型應該可以對客戶的投資方案作 出修改，那么這個模型的適用范圍是什么？二、問題分析與模型建立根據案例對J.D.威廉姆斯公司三種基金股票增長基金、收入基金和貨幣市場基金的描 述，用表格形式列舉出三種基金的各項基本信息，表格如下：基金類型年收益率風險指數投資限額總投資額總風險指數股票基金18%0.1020%-40%

14、8000000.05收入基金12.5%0.0720%-50%貨幣基金7.5%0.01N30%（1）如何將800 000美元投資于這3種基金。按照你的計劃，投資的年收益是多少？ 設三種投資基金的數量分配分別為x1，x2, x3 （單位為百萬），投資的年收益為z，則目標函數 maxz=0.18x1+0.125x2+0.075x3約束條件：f x1+x2+x3W0.80.16Wx1W0.3240.16Wx2W0.4x3N0.24（2）假設客戶的風險承受指數提高到0.055，那么在投資計劃更改后，收益將增加多少？ 設三種投資基金的數量分配分別為x1，x2, x3 （單位為百萬），投資的年收益為z，則

15、目標函數 maxz=0.18x1+0.125x2+0.075x3 約束條件：l 0.125x1+0.0875x2+0.0125x3=0.05x1+x2+x3W0.80.16Wx1W0.320.16Wx2W0.4x3N0.24 0.125x1+0.0875x2+0.0125x3=0.055（3）假設客戶的風險承受指數不變，仍然是0.05，而股票成長基金的年收益率從18% 下降到14%，那新的最佳投資方案是什么？x1+x2+x3W0.80.16Wx1W0.320.16Wx2W0.4設三種投資基金的數量分配分別為x1，x2, x3 （單位為百萬），投資的年收益為z，則 目標函數 maxz=0.14x

16、1+0.125x2+0.075x3 約束條件：x3N0.240.125x1+0.0875x2+0.0125x3=0.05（4）假設現在客戶認為投資在股票方面的資金太多了，如果增加一個約束條件即投資 于股票增長基金的資金不可以超過投資于收入基金的資金，那么新的最佳方案是什么？設三種投資基金的數量分配分別為x1，x2, x3 （單位為百萬），投資的年收益為z，則 目標函數 maxz=0.18x1+0.125x2+0.075x3 約束條件：f x1+x2+x3W0.80.16Wx1W0.320.16Wx2W0.4x3N0.24 x1 Wx2I 0.125x1+0.0875x2+0.0125x3=0.

17、05（5）當遇到預期收益變化時，你所建立的線性規劃模型應該可以對客戶的投資方案作出 修改，那么這個模型的適用范圍是什么？根據該問題的描述，可以理解為當預期收益率在一定范圍內變化時，最佳投資方案是否 改變，即對目標函數的系數進行敏感度分析，確定當最優解不變時的預期收益率的范圍。因此可基于問題（1）的模型，運用LINGO軟件對其作敏感度分析，求解出該模型適 用的范圍。設三種投資基金的數量分配分別為x1，x2, x3 （單位為百萬），投資的年收益為z，則 目標函數 maxz=0.18x1+0.125x2+0.075x3 約束條件：f x1+x2+x3W0.80.16Wx1W0.320.16Wx2W0

18、.4 x3N0.24 0.125x1+0.0875x2+0.0125x3=0.05三、模型求解與結果解釋（1）如何將800 000美元投資于這3種基金。按照你的計劃，投資的年收益是多少？ 根據問題（1）的約束條件，利用LINGO軟件對（1）的模型求解可得： 根據軟件運行結果可知，該條件下三種基金最近分配方案為：基金類型股票基金收入基金貨幣基金投資額（萬美兀）0.2490.160.391即當 x1=0.249，x2=0.16，x3=0.391 時，z 最大，滿 maxz=0.9413 （萬美元）（2）假設客戶的風險承受指數提高到0.055，那么在投資計劃更改后，收益將增加多少？ 根據問題（2）的

19、約束條件，利用LINGO軟件對（2）的模型求解可得：根據軟件運行結果可知，該條件下三種基金最近分配方案為：基金類型股票基金收入基金貨幣基金投資額（萬美兀）0.2930.160.347即當 x1=0.293，x2=0.16，x3=0.347 時，z 最大，滿 maxz=0.988 （萬美元）（3）假設客戶的風險承受指數不變，仍然是0.05，而股票成長基金的年收益率從18%下降到14%，那新的最佳投資方案是什么？根據問題（3）的約束條件，利用LINGO軟件對（3）的模型求解可得:根據軟件運行結果可知，該條件下三種基金最近分配方案為：基金類型股票基金收入基金貨幣基金投資額（萬美元）0.160.2930.347即當 x1=0.16，x2=0.293，x3=0.347 時，z 最大，滿 maxz=0.8507