1、基于Matlab激光諧振腔模式模擬作者：光電0905唐世豪一、原理分析基本原理在分析激光器工作原理的過程中，諧振腔中的模式分布占據著重要的意義。經典的研究 激光諧振腔內激光模式分布及傳播規律的方法是，運用菲涅耳一基爾霍夫衍射積分公式。其 關系式如式(1)：u(x, y)=地幾”(”y，)(1 + cos。)ds，(1)式中，p為(x,y)與(x,y)連線的長度，。為S面上點(x,y)處的法線和上述連線之間的夾角， ds為S面上的面積元，k為波矢的模。一般而言，腔長比鏡面的線度大很多，(1 + cos9)/p近似取為2/L。同時，假定腔面的 線度a遠大于波長，被積函數中的。，切不能簡單的近似，我

2、們只能根據不同幾何形狀的腔 型來進行合理近似。于是，將公式(1)作用于開腔的兩個鏡面上的場分布，可以鏡面S1 上場3，,叫)與鏡面S2上場3，y)聯系起來，經過q次傳播后，根據上述的假設有公式(2)：%+1(“)吒幾件3爐宓切如(2)對于對稱開腔，當光波在腔內傳播足夠多次后(即在穩定情況下)，鏡面S1上光場傳 播到S2，出了表示振幅衰減和相位移動常數因子7夕卜，uq+1可以再現uq，形成這樣一種穩 態場：分布不再受衍射的影響，在腔內往返一次后能夠“再現”出發時的場分布，即實現了 模的“自再現”。簡化后有公式(3)和(4):Umn(X，y) = YmnS1 K(x，* X, W)umn(x，史如

3、(3)K(x, y, X, y)=止。，切(勺,勺*) =。，切(xy,*)2兀乙ZL(4)Fox-Li數值迭代法積分方程(3)和(4)的解通過數學證明是存在的，但是實際求解是很困難的，所以在 大多數情況下只能使用近似方法求數值解Fox-Li數值迭代法就是運用標量近似來分析模場 特性。其運用的就是迭代的思想，其迭代公式為式(3)。此方法的基本物理解釋是將初始場分布視為由無數多個本征函數以一定比例疊加的結 果，不同的本征函數對應不同的模式，在腔內往返渡越過程中，不同模的衍射損耗不同，經 過足夠多次往返渡越后，衍射損耗大的模受到的衰減程度比衍射損耗小的模大得多，當損耗 大的模的貢獻與損耗小的模的貢

4、獻相比可以忽略時，剩下的便是小損耗模的穩定場分布。二、實現方案1.計算流程跟據原理進行迭代計算的設計，流程圖如圖(1)所示。運用Matlab設計實現Fox-Li 數值迭代法程序的編寫。2.矩形腔以矩形腔為例，說明Fox-Li數值迭代法計算時的具體 形式。設矩形平面腔邊長為2a*2b，腔長為L，它們之間 滿足L 1.計算流程跟據原理進行迭代計算的設計，流程圖如圖(1)所示。運用Matlab設計實現Fox-Li 數值迭代法程序的編寫。2.矩形腔以矩形腔為例，說明Fox-Li數值迭代法計算時的具體 形式。設矩形平面腔邊長為2a*2b，腔長為L，它們之間 滿足L a, b 入.在上述條件下，有如式(5

5、)的近似：p(x, yfxfy) = Lx xr 2 y y F)+(專)L11 x x 21 y y 2-()+-(-)2( L )2( L )(5)于是在菲涅耳一基爾霍夫衍射積分公式中的e-ip可以近 似寫作：-迥1+( i)2+r)2e腳=el 、l，(6)所以式(3)可以作為：u(x, y)=y-eikL f+a f+bu(x,y)e 沅(二)2+3;)2 wdy (7)ab2l 2l對于上式(7)進行變量分離，設u(xy)=u(x)u(y)有:+au(x) = YxJKx(x,x)u(x)dxd+bu(y) = Yy J Ky(y,y)u(y)dyb否圖1計算流程圖K (x,x)=X

6、 、-LeikLei(2 XL(8)K(y,y) = -eikLe一心彳2根據上述的公式在初始場分布設定的情況下就可以應用迭代的方法計算出分布情況。條形腔條形腔是一種理想的模型，即一個方向有限長，而另一個方向上無限延伸的腔形，與 矩形腔類似。由于只在長度有限的那個方向上發生衍射現象，迭代公式(5)為一維的菲涅 耳一基爾霍夫衍射積分：u(x) = y JeikLf+aeik(22 u(x)dx(9)Jal- a將條形腔的左鏡面S1上沿著(-a,a)之間劃分N-1等分，則有N個點，每個區間為 2a/(N-1)。右邊鏡面S2上每一點的求解都需將左邊鏡面上的點進行逐點相加，如此循環迭 代下去，最終會達

7、到穩態分布。圓形腔圓形腔的迭代思想與矩形腔相同，只是劃分與矩形腔不同。圓形腔是按照徑向和角向劃 分，在極坐標（r,。）下完成數值迭代，但在最后顯示的時候，需要將極坐標還原成笛卡爾坐 標系。5.傾斜腔嚴格的平行平面腔只是一種理想情況，實際情況下出現一定的不平行性是不可避免的， 這里主要考察傾斜條形腔對自再現模的影響，如圖2所示：圖2傾斜平行平面腔的示意圖5.傾斜腔嚴格的平行平面腔只是一種理想情況，實際情況下出現一定的不平行性是不可避免的， 這里主要考察傾斜條形腔對自再現模的影響，如圖2所示：圖2傾斜平行平面腔的示意圖兩個鏡面相對其理想位置（即兩鏡面與其公共軸線嚴格垂直的位置）沿相反方向偏離同 樣

8、大小的微小角度B ,在鏡的邊緣處與理想位置的偏離線度5。在5甚小的情況下，且只考 慮腔的旁軸光線，鏡面上兩點的距離M1M2與理想情況下相應兩點的距離M1M2之差為：(10)V = M/1M/2 - M1M2 =齡 + x，)= d 3 + x，)(10)于是有p = （x + X，）+ M1M2，于是衍射積分方程變為:u (x)=y u (x)=y le-ikL f+a z NZL ae-*3-)2e-ik(x+x，) u(x)dx(11)類似于條形腔，可以計算出傾斜條形腔的自再現模。三、結果分析矩形腔模式分布在對于模式分布的分析中菲涅耳數占據著重要地位。其定義為Fres=a”2/L/ 入。菲

9、涅耳數是表征了衍射損耗的大小的量，菲涅爾數越大，衍射損耗越小。當 諧振腔的菲涅爾數較大時，低階模式和高階模式的衍射損耗非常接近，高階模在 有限的迭代次數下不能有效地消除；而諧振腔的菲涅耳數比較小時，高階模具有 更高的顏色損耗，從而更能夠有效地抑制高階模振蕩。圖3是fres為6.45 （a分別是1 mm，b是0.5mm，L是100mm，入是1550nm）時的 模式穩態分布。振幅分布達到了穩定狀態，呈現出近似高斯分布；而穩定后的相 位分布，曲線上的起伏較小，中間區域接近平面波分布。將具有這種特征的橫模 稱為腔的最低階對稱模或基模，方形鏡腔和圓形鏡腔的基模通常以符號TEM0。表 示。圖3、4、5是矩

10、形腔分別是fres為6.45、2.98、0.155 （a分別是1 mm、0.68mm、0.15mm, b是0.5mm, L是100mm,入是1550nm）時的模式穩態分布。對比這幾幅圖， 可以看出鏡面中心的振幅在菲涅耳數較大時可能不是最大的；較小時，中心振幅 最大。并且振幅從中心向外是振蕩下降的，菲涅耳數越大振動的越厲害；菲涅耳 數越小幅度曲線越平滑，更近似高斯分布，相位接近球面波分布。由于平行平面 腔的基模振幅分布是高斯分布，相位分布近似于球面波分布。所以可以認為，在 菲涅爾數較小的情況下，高階模的損耗遠大于基模的。圖3 fres=6.45圖3 fres=6.45的模式穩態分布圖4 fres

11、=2.98的模式穩態分布相對布帽相時振膺相對相致-0 相對布帽相時振膺相對相致-0 15-fl CS 00 OS 0.10 150.2相時相位1_ 一一 _ l11i11 1 1 1 1 1 1 ill- 1 8 ill- 8 1 1 1 1 1 1 1ill _ JL 1_ JL _ _ _ J _ _ _ J111111ill-1iiiiiii. |, ._ _ _ _ _L-. J -. . .11111111111111111_J-_|jgj|-4.2-0 15 弟 0500 OS 0 10 150圖5 fres=0.155的模式穩態分布圖6微小傾斜的模式分布微小傾斜對模式分布的影響實

12、際中的諧振腔很難做到絕對的平行，運用程序模擬傾斜的條形腔如圖6 所示（偏移的距離b為100入）。也=100入的情形下，模場分布可以達到穩定，但 是可以看出由于微小的偏移，振幅最大值有了偏移，而且已經不再對稱。相位的 分布也產生了嚴重的畸變。隨著偏移量b的增大，振幅到達穩定需要的迭代次數 越來越大，以至于最后可能完全無法達到穩定的分布狀態。所以對于激光器諧振 腔而言，這種偏移是十分有害的，應當避免發生。菲涅耳數對圓形腔模式分布的影響菲涅耳數對于圓形腔的的分析類似于矩形腔。圖7、8是圓形腔半徑a分別為 0.5mm、1mm時候的模場分布圖。圖中可以看出模場是以圓心為中心的中心對稱。 圓心的振幅較大，

13、向外延伸時，振幅下降，菲涅耳數越小，下降的越平滑。在實 驗過程中，發現菲涅耳數更小0.5mm的圓形腔在試驗中更快的達到穩定。同時可 以看出在0.5mm是中心場很小，是一個暗斑。而1mm的圓形腔中心是一個亮斑。可 以通過改變幾何參數來改變模場分布，以實現不同模式激光的輸出。圖7 a=0.5mm是圓形腔模場分布相對振幄相無相囪圖7 a=0.5mm是圓形腔模場分布相對振幄相無相囪圖8 a=1mm是圓形腔模場分布其他參數的影響在模場分布計算中還有很多因素對最終結果有較大影響，比如劃分點的個數、 初始場分布等等。對于劃分點數，雖然是越多越精確，最終誤差積累的越少，但 是點數太多會嚴重影響運算速度，特別是

14、圓形腔。因此要選取適當的點數，兼顧 精度與效率。對于初始模場分布而言，對于能夠最終穩定的結構而言，初始的模 場分布的不同會使，模場演變的過程不同，也可能加長模場到達穩定的時間，但 是不會影響模場最終穩定后的分布結果。四、設計體會本次課程設計是對于激光原理的一種考查，同時對于編程方法的考查。具體 而言就是對于本次的Matlab的考查。首先是對于激光原理部分諧振腔的原理、計算公式、典型近似都有了更為深 刻地認識。更好的是，程序生成的圖像對于幾種腔型的模場分布有了更加直觀的 認識，非常有利于理論與實際結合起來。其次是對于Matlab軟件有了初次的接觸。第一次使用這個軟件，遇到了很多 的問題。但是在整個使用過程中不斷感受到Matlab的強大。在編寫過程中核心算 法，也就是菲涅耳-基爾霍夫衍射公式的近似積分方式，可以很快確定下來，而 整個GUI界面與代碼的聯合是一個很耗時的過程。但是整個完成后很有成就感。在設計過程中遇到了很多的問題，更多的是程序編寫上的問題，需要從最開 始的語法等來熟悉整個編程軟件。然后在編寫程序時，在最終的結果圖像的顯示， 三維圖像的顯示，積分循環的實現等問題都拖后了進度。翻閱了一些文獻后，有 在同學幫助下，才得以解決。最后，有個建議。對于這個課程設計，我覺得老師可以抽一些上機時間對于 Matlab進行一些介紹，我想這個讓我們編寫程序時