1、.初一數(shù)奧匹克競題含答案初一奧題一甲多開支100 ，三年后負債 元求每人每年收入多少？S 的末四位數(shù)字的和是多少？4一個人以 3 米/時的速度上坡以 千米/時的速度下坡行程 千米 共用了 3 時 20 鐘，試求上坡與下坡的路程5求和：6證明：數(shù) p 以 所得的余數(shù)一定不是合數(shù)8若兩個數(shù) x，y 使 x+xy+y 能被 整除，證明：x 和 y 能被 3 整除9如 195 所示在四邊 中，對角線 AC，BD 中點為 ，MN 延長線與 邊交于 P 點求證：PCD 的面積等于四邊形 ABCD 的面積的一半 解答：所以x=5000() / .所以 S 的末四位數(shù)字的和為 195=243因為a-b0即 a

2、b即當 ba0 ba 時，等式成立4設上坡程為 x 千米，下坡路程為 y 千米依題意則有由有 2x+y=20，由有 y=12-x將之代入得2x+12-x=20所以千米)于是 千米)5第 n 項為所以 / .6 rr30因為 p 質(zhì)數(shù)， r0即 0假設 r為合數(shù)，由于 r30，所以 r 最小質(zhì)約數(shù)只可能為 ，3，5再由 r知，當 r 的最小質(zhì)約數(shù)為 ，3，5 時，p 是質(zhì)數(shù)，矛盾所以，r 一不是合 數(shù)7設由式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即(4-m)pq+1=2(p+q)可知 4由，m0，且為整數(shù)，所以 ，2，3下面分別研究 ，q (1)若 時，有解得 p=1，q=1，與已知不符，舍去 (

3、2)若 時，有 / .因為 2p-1=2q 或 2q-1=2p 都是不可能的，故 m=2 時無解 (3)若 時，有解之得故pq=88因為 x+xy+y=(x-y)由題設， (x)所以 3(xxyy)從而 (x-y)因為 質(zhì)數(shù)，故 3(x-y)進而 (x-y)由上式又可知3xy故 3xy所以 3 或 3y若 3x結(jié) 3(x-y)便得 3 y；若 3，同理可得，3x9連結(jié) ，CN如圖 1103 所示因為 是 的中點，所以上述兩式相加另一方面，S S S 因此只需證明 / .S S S 由于 ，N 分別為 AC，BD 的中點，所以S -S -S 又 S ，所以 S S =S / .初一奧題二1已 3

4、x，求 6x-5x 的值2某商店售的一種商品，每天賣出 件，每件可獲利 4 元，現(xiàn)在他們采用提高售價、減少進貨量的辦法增加利潤，根據(jù)經(jīng)驗，這種商品每漲價1 元，每天就少賣出 10 試問將每件商品提價多少元，才能獲得最大利潤？最大利潤是 多少元？3 1 所示知 CBAB 分 平分1 證：DAAB4已知方組的解應為一個學生解題時把 c 抄錯了，因此得到的解為求 abc的值5求方程xy-2x+y=4 的整數(shù)解6王平買了年利率 7.11的三年期和年利率為 7.86的五年期國庫券共 元若三年期國庫券到期后把本息再連續(xù)存兩個一年期的定期儲蓄五年后與五年期國庫券的本息總和為 元王平買三年期與五年期國庫券各多

5、少？ (年期定期儲蓄年利率為 )7對 k，m 的哪些值，方程組8求不定程 3x4y 整數(shù)解 / 至少有一組解？.9小王 5 錢買 個水果招待五位朋友水果有蘋果、梨子和杏子三種，每個的價格分別為 20 分8 3 小王希望他和五位朋友都能分到蘋果，并且 各人得到的蘋果數(shù)目互不相同，試問他能否實現(xiàn)自己的愿望？解答：1原2x(3x-x)+3(3x-x)-2x+2000 =2x1 2原來每可獲利 4100 ，若每件提價 x 元，則每件商品獲利(x)元，但 每天賣出為(100-10 x)件如果設每天獲利為 y 元，則y (4x)(100-10 x)=400100 x-40 x-10 x=-10(x-6x9

6、)90400=-10(x-3)490所以當 時，y 最大=490 ，即每件提價 元，每天獲利最大，為 元3因 CE 平分，DE 平 1104)，所以ADCBCD=180，所以ADBC又因為ABBC，由，ABAD4依題意所以 a+c=345xy-2+y=4，即 x(y-2)+(y-2)=2 所以(+1)(y-2)=2因為x10，且 x，y 都是整數(shù)，所以 / .所以有6設王平三年期和五年期國庫券分別為 元和 y 元，則 因為 y=35000-x，所以所以x(10.0522)+(35000-x)(1+0.07865)=47761， 1.3433x48755-1.393x=47761，所以 0.04

7、97x=994，所以 x=20000(元)，y=35000-20000=15000(元) 7因為 (k1)xm-4， 為一切實數(shù)時，方程組有唯一解當 ，m=4 時的解為一切實數(shù)，所 以方程組有無窮多組解當 ，m4 時，無解所以，k1 為任何實數(shù)，或 ，m=4 時，方程組至少有一組解8由題設程得z3m-yx=19-y-4(3m-y)-m=19+3y-13m原方程的通解為其中 ，m 取任意整數(shù)值 / .9設蘋果梨子、杏子分別買了 x，y，z 個，則消去 y，得 12x-5z=180的解是 x=90-5t，z=180-12t代入原方程，得 y=-23017t故 x=90-5t，y=-230+17t，

8、z=180-12tx=20z=12因此，小王的愿望不能實現(xiàn)，因為按他的要求，蘋果至少要 13+4 56=2120 個初一奧題三1解關(guān)于 的方程2解方程其中 ac03求(-6x+4x-7)(2x-3) 的展開式中各項系數(shù)之和4液態(tài)農(nóng)一桶，倒出 8 升后用水灌滿，再倒出混合溶液 升，再用水灌滿， 這時農(nóng)藥的濃度為 ，求桶的容量5滿足-1.77x=-2x 的自然數(shù) x 共有幾個？這里x表示不超過 的最大整數(shù)， 例如-5.6=-6，3=36設 是 一點求P 到ABC 三頂點的距離和與三角形周之比的取值 圍 / .7甲乙兩同時從東西兩站相向步行，相會時，甲比乙多 24 米，甲經(jīng)過 9 小時到東站，乙經(jīng)過

9、 小時到西站，求兩站距離8黑板上著三個數(shù)，任意擦去其中一個，將它改寫成其他兩數(shù)的和減 ，這樣繼續(xù)下去，最后得到 ，1997，1999，問原來的三個數(shù)能否是 2，2，2？ 9設 n 實數(shù) x ，x ，x ，其中每一個不是+1 就是-，且 求證：n 4 倍數(shù)解答：1化簡得 6(a-1)x=3-6b+4ab，當 a1 ，2將原方變形為由此可解得 b+c3當 x=1 時，(8-6+4-7)(2-1)即所求展開式中各項系數(shù)之和為 1依題意得去分母、化簡得 7x-300 x+800=0，即 7x-20)(x-40)=0， / .5 n 為 n x=n x ， -1.77x=-2x 0.23x=-2x+0.

10、23x由已知-1.77x=-2x，所以-2x=-2x+0.23x，所以 0.23x=0又因為 x 為自然數(shù)，所以 01，經(jīng)試驗，可知 x 可取 1，2，4，共 4 個6如 1105 所示在 中有 PBPC，延長 交 AC 于 易證 PCABAC由，PBAB+AC，同理ACPAPCACBC，ABPAPBACAB得 CA2(PAPBPC)2(ABBCCA)所以7設甲步速度為 米/時，乙步行速度為 y 千米/時，則所求距離 為(千米依題意得由得 16y，由得 16y=249x，將之代入得 / .即 (249x)=(12x)解之得于是所以兩站距離為 千米)8答案是定的對于 2，2，首先變?yōu)?2，3，其

11、中兩個偶數(shù)，一個奇數(shù)以后無論改變多少次，總是兩個偶數(shù)，一個奇 (值可以改變，但奇偶 性不變)所以，不可能變?yōu)?，1997，1999 三個奇數(shù)。又因為所以，k 是偶數(shù)，從而 n 是 4 的倍數(shù) / .初一奧題四1已 a，c 都是正數(shù)，并且 aa，cdb求證：acbdab2已知甲商品的原價是乙種商品原價的 1.5 倍因市場變化，乙種商品提價的百分數(shù)是甲種商品降價的百分數(shù)的 2 倍調(diào)價后甲乙兩種商品單價之和比原 單價之和提高了 2，求乙種商品提價的百分數(shù)3在銳角角形 中，三個角都是質(zhì)數(shù)求三角形的三個角4某工廠年計劃中，每年產(chǎn)量遞增相同，若第三年比原計劃多生產(chǎn) ，那么每年比上一年增長的百分數(shù)就相同且第

12、三年的產(chǎn)量恰為原計劃三年總產(chǎn) 量的一半，求原計劃每年各生產(chǎn)多少臺？z=x+y+y+1+，求 z 的最大值與最小值8從 1 到 的自然數(shù)中，有多少個數(shù)出現(xiàn) 1 或 5？9從 19，21，98 這 個數(shù)中，選取兩個不同的數(shù)，使它們的和為偶 數(shù)的選法有多少種？解答：1由對稱，不妨設 ba，則 acbdad=a(cd)ab2設乙種商品原單價為 x 元則甲種商品的原單價為 1.5x 元設甲商品降價 y，則乙商品提價 2y依題意有 1.5x(1-y)+x(12y)=(1.5x 2)， / .化簡得 1.5-1.5y+1+2y=2.51.02所以 y=0.1=10，所以甲種商品降價 ，乙種商品提價 3因為C

13、=180，所以，B， 中必有偶數(shù)唯一的偶質(zhì)數(shù)為 2所以所以B=178由于需 為奇質(zhì)數(shù)，這樣的解 不唯一，如4設每年產(chǎn) d 千臺，則這三年的每一年計劃的千臺數(shù)分別為 a-d，a，a 依題意有解之得所以三年產(chǎn)量分別是 4 千、6 臺、8 臺不等式組： / .所以x2；無解6設原式 ，則所以又0.112-0.001=0.111因為所以=0.1057由x1，y1 得 -1x1，-11 所以 y10，x-2y+40所以 z=x+yx+yx-y5 / .(1)當 0 時，z=-(x+y)x-y+5=5-2y由-y1 推得 35-2y7，所以這時，z 的最小值為 、最大值為 (2)當 x+y0 時，z=(x

14、y)+(x-y+5)=2x+5由-x1 可推得 37所以這時 z 的最小值為 、最大值為 由(1)，(2)知，z 的最小值為 3，最大值為 78百位上字只是 1 的數(shù)有 ，101，199 共 100 個數(shù)；十位上數(shù)字是 1 5 (百位上不為 1)有 個)上出現(xiàn) 1 5 (百位和十位上都不是 1 或 5)有 238=48(個)再加上 500 這個數(shù)，所以，滿足題意的 數(shù)共有100+60+48+1=209(個)9從 19 到 98 共計 80 不同的整數(shù)，其中有 個奇數(shù)， 個偶數(shù)第一個數(shù)可以任選，有 80 種選法第一個數(shù)如果是偶數(shù)，第二個數(shù)只能在其他 39個偶數(shù)中選取，有 39 種選法同理，第一個

15、數(shù)如果是奇數(shù)，第二個數(shù)也有 39種選法但第一個數(shù)為 a第二個為 b 第一個為 b第二個為 a 同一種選法， 所以總的選法應該折半，即共有種選法 / .初一奧題五1一項任，若每天超額 2 件，可提前計劃 天完工，若每天超額 件， 可提前 5 完工，試求工作的件數(shù)和原計劃完工所用的時間2已知兩數(shù)2，5，8，11，14，17，(200-1)3，5，9，13，17，21，25，5(200-1)4，它們都有 200 ，問這兩列數(shù)中相同的項數(shù)有多少項？3求 x-3px2q 能被 x2axa整除的條件4證明不式5若兩個角形有一個角對應相等求證：這兩個三角形的面積之比等于 夾此角的兩邊乘積之比6已知(x-1)

16、 多項式 xax-3xbx3 所得的余式是 ，試求 ，b 的值7今有長分別為 1，2，3，9 的線段各一條，可用多少種不同方法， 從中選用若干條，使它們能圍成一個正方形？8平面上 10 條直線，其中 4 條是互相平行的問：這 10 條直線最多能 把平面分成多少部分？9邊長為數(shù)，周長為 的三角形有多少個？解答：1設每天劃完 x 件，計劃完工用的時間為 y 天，則總件數(shù) xy 件依 題意得 / .解之得總件數(shù) 件)即計劃用 15 完工，工作的件數(shù)為 件2列數(shù)中第 n 表示為 2(n-1)3列數(shù)中第 項表示為 5(m-1) 要使 (n-1)35+(m-1)4所以因為 1n200，所以所以3，4，7，

17、10，148 共 項x-3px+2q 被 x2axa除的余式為 -p)x2(q)所以所求的條件應為4令因為所以 / .5如圖 1-106(a)，(b)所示 與 中，現(xiàn)將 移至ABC 中，使與重合，連 結(jié) FB此時，F(xiàn)的面積等于三角形 DEF 的面積得6不妨設式為 xx由已知有xax-3xbx=(x-1)(xx)+(x1)=(x-2x1)(x x)1=x+(-2)x+(1-2)x(1-2)x+1比較等號兩端同次項的系數(shù)，應該有 / .只須解出所以 a=1，b=0 即為所求 7因為所以正方形的邊長下面按正方形邊的長度分類枚舉：(1)邊長為 2=8+3=74=6+5， 可得 1 選法(2)邊長為 1=82=73=6+4， 可得 1 選法(3)邊長為 9：9=8+1=7+2=6+3=5+4， 可得 5 選法(4)邊長為 8：8=7+1=6+2=5+3，可得 1 選法(5)邊長為 7：7=6+1=52=43，可得 1 選法(6)邊長6 時，無法選擇綜上所述，共有 1+1+5+1+1=9 / .種選法組成正方形8先看 6 條不平行的直線，它們最多將平面分成2+23+4+56=22 個部分現(xiàn)在加入平行線加入