1、主講教師： 田德生 場論與數學物理方程 參考書目同濟大學. 高等數學（第六版）. 高等教育出版社謝樹藝. 矢量分析與場論. 高等教育出版社王元明. 數學物理方程與特殊函數. 高等教育出版社楊華軍. 數學物理方法與計算機仿真，電子工業出版社0 預備知識 I場如果在全部空間或部分空間（某區域）中的每一點都對應著某個物理量的一個確定的值，就稱在這個區域確定了該物理量的一個場。數量場矢量場穩定場不穩定場*0 預備知識1場的概念（高數2 P107） 2.場的記法數量場：*0 預備知識矢量場：例1 設點電荷q位于坐標原點，則在其周圍一點M(x,y,z)處產生的電場強度為：Th1 如果u=u(x,y,z)在

2、M0點處可微,則u在M0沿任意方向的方向導數都存在, 且有答案:*0 預備知識例2 求 在點M(1,0,1)處沿方向的方向導數.解:先求在點M(2,3)處沿曲線y=x2-1向x增大一方的方向余弦.*0 預備知識例3 求u=3x2y-y2在點M(2,3)處沿曲線y=x2-1向x增大一方的方向導數.曲線y=x2-1的向量形式：*0 預備知識例4 求u=xy2+yz3在點M(2,-1,1)處的梯度和沿梯度方向的方向導數.答案:例5 求a,b,c, 使函數u=axy2+byz+cy2z3在點M(1,2,-1)處平行于z軸方向的方向導數取得最大值32.答案:a=3,b=12,c=-4,或a=-3,b=-

3、12,c=4 III矢量場的散度與旋度1散度*0 預備知識矢量場A=(P,Q,R)在點M(x,y,z)的散度定義為例6 在例1中，電位移矢量, 求divD.答案：02 旋度*0 預備知識矢量場A=(P,Q,R)在點M(x,y,z)的旋度定義為復習向量乘積（數量積，向量積）Th2 對于單連通域中的矢量場A為無旋場的充要條件為：A為有勢場.定義 若 ，就稱A為無旋場. IV 其他1 Green公式，Gauss公式*0 預備知識3 Fourier級數（高數2）2 一階二階線性微分方程求解（高數1）三角函數系的正交性，Fourier級數的系數如何確定，Fourier級數的存在定理數學物理方程與特殊函數

4、 課程的內容三種方程、 四種求解方法、 二個特殊函數分離變量法、行波法、積分變換法、格林函數法波動方程、熱傳導、拉普拉斯方程貝賽爾函數、勒讓德函數 數學物理方程定義描述某種物理現象的數學微分方程。第一章 概論1.1 基本概念微分方程:含有自變量,未知函數以及未知函數的導數或微分的方程常微分方程：未知函數為一元函數的微分方程.偏微分方程: 未知函數為多元函數的微分方程*1.1.1 微分方程簡介例如都是偏微分方程,1 基本概念偏微分方程的階: 方程中未知函數的偏導的最高階數是二階偏微分方程是三階偏微分方程.例:1 基本概念線性偏微分方程: 對于未知函數及其所有偏導數來說都是線性的，且方程中的系數都

5、僅依賴于自變量（或者為常數）非線性偏微分方程:不是線性的偏微分方程例是二階線性偏微分方程是非線性偏微分方程1 基本概念例1.1.1 求函數u=u(x,y), 滿足ux=y.解 對方程兩邊求x的積分，得u=xy+f(y)這里f為任意可微函數.這個函數就是方程的通解.1 基本概念例1.1.2 求方程uxy=2的通解.解 對方程兩邊依次求y,x的積分，得u=2xy+h(x)+g(y)這就是方程的通解, 其中f,g為任意可微函數.1.1.2定解條件與定解問題特定條件準確說明對象的初始狀態以及邊界上的約束條件-定解條件 用以說明初始狀態的條件稱為“初始條件”；用以說明邊界上約束情況的條件稱為“邊界條件”

6、。偏微分方程特定條件描述物理現象：初始條件弦振動問題：初始條件是指弦在開始振動時刻的位移和速度。如果以 f(x) 和 g(x) 分別表示弦的初位移和初速度，則初始條件可以表達為初始條件用以給出具體物理現象的初始狀態。熱傳導問題：初始條件是指開始傳熱的時刻物體溫度的分布情況。若以 f(M) 表示 t =0 時物體內一點M的溫度，則熱傳導問題的初始條件可以表示為泊松方程和拉普拉斯方程：描述穩恒狀態，與時間無關，所以不提初始條件。邊界條件邊界條件是給出具體物理現象在邊界上所處的物理情況。根據邊界條件數學表達方式的不同，一般把邊界條件分為三類。設 u 是未知函數，S 為邊界，則分類如下：第一類邊界條件

7、：直接給出 u 在邊界 S 上的值第二類邊界條件：給出 u 沿 S 的外法線方向的方向導數 第三類邊界條件：給出 u 以及 的線性組合在邊界的值，即1.1.3 定解問題的適定性 一個定解問題的解如果滿足解的存在性、唯一性和穩定性，則稱這個定解問題是適定的。 定解問題的適定性(Well-posedness)包含以下幾個方面：1）解的存在性，即所提的定解問題是否有解；3）解的穩定性，即看定解問題的解是否連續依賴定解條件。也就是說，當定解條件有微小變動時，引起解的變動是否足夠小。若是，則稱解是穩定的，否則稱解是不穩定的。2）解的唯一性，即所提的定解問題是否有唯一的解； 1.1.4線性方程的疊加原理兩

8、個自變量二階線性偏微分方程的一般形式一般二階線性偏微分方程（n個自變量）稱形如的符號為微分算子。二階偏微分方程可簡寫為定解條件可簡寫為例 非齊次波動方程的Cauchy問題的解等于問題(I)和問題(II)的解之和疊加原理2 若iu滿足線性方程 iifuL=，, 2,1=i （或定解條件iiguB=, 若函數級數=1iiiuc在W內收收，并且L,B可逐項作用, 則和函數 滿足方程 =1iiifcuL（或定解條件=1iiigcuB）。 1.2數學模型的建立根據系統邊界所處的物理條件和初始狀態列出定解條件；主要內容從不同的物理模型出發，建立三類典型方程；提出相應的定解問題導出數學物理方程的一般方法：

9、確定所研究的物理量； 建立適當的坐標系； 劃出研究單元，根據物理定律和實驗資料寫出 該單元與鄰近單元的相互作用，分析這種相互 作用在一個短時間內對所研究物理量的影響， 表達為數學式； 簡化整理，得到方程。 例1. 弦的微小橫振動 設有一條拉緊的弦，長為l，平衡位置與x軸的正半軸重合，且一端與原點重合,確定當弦受垂直外力作用后的運動狀態。假設與結論：（1）橫振動 坐標系oxu，位移u(x,t) x1x2T(x1) T(x2)ux （2）微小振動1.2.1波動問題（3）弦柔軟、均勻. 張力 沿切線方向 , 密度 為常數；建立方程： 取微元 ，研究在水平方向和鉛垂方向 在不受外力的情況下的運動情況。

10、牛頓運動定律橫向：縱向：其中：由橫向受力其中：其中：一維波動方程令：-非齊次方程自由項-齊次方程忽略重力作用：注1：如果弦上還受到一個與振動方向相同的外力，且外力密度為F(x,t)，外力可以是壓力、重力、阻力，則弦的強迫振動方程為例 2. 傳輸線方程 研究高頻傳輸線內電流流動規律。待研究物理量: 電流強度 i (x,t),電壓 v (x,t)R 每一回路單位的串聯電阻,L 每一回路單位的串聯電感，C 每單位長度的分路電容，G 每單位長度的分路電導，Kirchhoff 第一,二定律微分形式兩端對x微分兩端對t微分*C相減 傳輸線方程高頻傳輸，G=0, R=0高頻傳輸線方程與一維波動方 程 類 似

11、 例3. 聲學方程 Lapalce算子三維波動方程 注2：類似的可導出二維波動方程（例如薄膜振動）,它的形式為1.2 基本方程的建立 如果空間某物體內各點處的溫度不同，則熱量就從溫度較高點處到溫度較低點處流動，這種現象叫熱傳導。 考慮物體G 內的熱傳導問題。函數u(x,y,z,t) 表示物體G 在位置 M(x,y,z) 以及時刻 t 的溫度。通過對任意一個小的體積元V內的熱平衡問題的研究，建立方程。假設：假定物體內部沒有熱源，物體的熱傳導系數為常數，即是各向同性的，物體的密度以及比熱是常數。熱場 例 4. 熱傳導方程1.2.2 輸運問題熱場傅立葉實驗定律:物體在無窮小時段dt內沿法線方向n流過

12、一個無窮小面積dS的熱量dQ與時間dt,面積dS,物體溫度沿曲面dS法線方向的方向導數成正比.從時刻 到時刻 經過曲面S 流入區域V 的熱量為高斯公式流入熱量使物體內溫度變化，在時間間隔 中物體溫度從 變化到 所需吸收熱量為比熱密度由于所考察的物體內部沒有熱源, 根據能量守恒定律可得第一章 典型方程和定解條件的推導由于時間 , 和區域 V 都是任意選取的,并且被積函數連續, 于是得(非均勻的各向同性體的熱傳導方程)對于均勻的各向同性物體， k為常數，記則得齊次熱傳導方程:三維熱傳導方程*若物體內部有熱源 F(x,y,z,t), 則熱傳導方程為其中二維熱傳導方程 維熱傳導方程 三維熱傳導方程 在

13、上述熱傳導方程中, 描述空間坐標的獨立變量為 , 所以它們又稱為三維熱傳導方程. 當考察的物體是均勻細桿時, 如果它的側面絕熱且在同一截面上的溫度分布相同, 則可以得到一維熱傳導方程 類似, 如果考慮一個薄片的熱傳導, 并且薄片的側面絕熱, 可以得到二維熱傳導方程 當我們考察氣體的擴散,液體的滲透, 半導體材料中的雜質擴散等物理過程時, 若用 表示所擴散物質的濃度, 則濃度所滿足的方程形式和熱傳導方程完全相同. 所以熱傳導方程也叫擴散方程.1.1 基本方程的建立 例5 靜電場的勢方程 在區域 內, 靜電場強度為 , 介電常數 , 電荷密度為 ,求靜電場的勢滿足的方程即1.2.3穩定場問題奧氏公

14、式故故即 Laplace方程 Poisson方程當內沒有電荷時靜電場是有勢場，故存在勢函數u,有波動方程 聲波、電磁波、桿的振動；熱傳導方程 物質擴散時的濃度變化規律, 長海峽中潮汐波的運動， 土壤力學中的滲透方程;Laplace方程 穩定的濃度分布, 靜電場的電位, 流體的勢.總 結：1.2 基本方程的建立一維齊次波方程：一維齊次熱方程：二維Laplace方程：1.1 基本方程的建立1.2.4 三類問題的定解條件初始位移、初始速度分別為 ,稱波動方程的初值條件.1 波動問題(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。 波動方程的邊界條件(1)固定端：對于兩端固定的弦的橫振動，其

15、為：或：當該點處的張力沿垂直x 軸的方向的分量是 t 的已知函數 時，有*(3) 彈性支承端：在x=a端受到彈性系數為k 的彈簧支承。或波動方程的混合問題2 熱傳導方程的定解問題熱傳導方程的初值條件熱傳導方程的邊界條件如果物體和周圍介質處于絕熱狀態，即在表面上熱量的流速始終為0，則由方程推導過程可知，有邊界條件當物體與外界接觸的表面 S 上各單位面積在單位時間內流過的熱量已知時，由傅立葉定律，在 S 上有 ，這表明溫度沿外法線方向的方向導數是已知的，故邊界條件可以表示為*第三類邊界條件 狄氏問題諾伊曼問題羅賓問題3 穩定場問題的定解條件1.3 方程的分類及特征的概念一般線性二階偏微分方程（n個

16、自變量）兩個自變量二階線性偏微分方程的一般形式二階線性偏微分方程的分類一、方程的分類 一般形式其中u(x,y)是未知函數，都是x,y的已知函數，且 不同時為零。稱 為方程的判別式。定義:(1)若在(x0,y0) 處 稱方程（1）在點 (x0,y0)處為 雙曲型方程； (2)若在(x0,y0)處 稱方程（1）在點(x0,y0)處為 拋物型方程； (3)若在(x0,y0)處 稱方程（1）在點(x0,y0) 處為 橢圓型方程。例：波動方程 雙曲型 熱傳導方程 拋物型 位勢方程 橢圓型二、方程的標準形式定義：方程 分別稱為 雙曲型方程的第一標準形和第二標準形。 方程 稱為拋物型方程的標準形。 方程 稱

17、為橢圓型方程的標準形。三、方程的化簡第一步：寫出判別式 ，根據判別式判斷方程的類型；第二步：根據方程（1）寫如下方程 稱為方程（1）的特征方程。方程（2）可分解為兩個一次方程 稱為特征方程，其解為特征線。設這兩個特征線方程的特征線為令 第三步(1)當 時，令 以 為新變量方程（1）化為標準形 其中A,B,C,D都是 的已知函數。 (2)當 時，特征線 令 其中 是與 線性無關的任意函數，這樣以 為新變量方程(1)化為標準形 其中A,B,C,D都是 的已知函數。(3)當 時，令 以 為新變量方程（1）化為標準形其中A,B,C,D都是 的已知函數。例1.3 確定方程3uxx+10uxy+3uyy=0的類型，并化為標準形式解 方程的判別式160, 故方程為雙曲型. 特征方程為: 解得特征曲