1、快速數字仿真第1頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三仿真中對快速性的需求分為3個方面1）利用仿真技術進行控制系統參數優化設計時，需要反復的對系統進行仿真運算，以獲得滿意的工程參數；2）在物理數學混合仿真時，由于實物系統介入仿真模型，要求仿真模型的時間比例尺與真實系統的時間比例尺完全相同，如果系統比較復雜或者方程個數很多，要在規定的時間內完成一次系統中每個方程的計算，要求仿真的計算速度比較快；3）在復雜的控制系統中，常常需要在線對被控系統的狀態進行預測，以確定系統的控制策略，要求仿真模型的時間比例尺小于系統的運行時間比例尺，從而對仿真速度提出來更高的要求。第2頁，共33頁，

2、2022年，5月20日，10點24分，星期三一般的快速數字仿真算法有以下兩點要求1）每步計算量要小；2）算法要有良好的穩定性，允許采用較多的計算步長，同時又能保證必要的計算精度。第3頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三 替換法是快速仿真的主要算法之一，它建立在相匹配原理的基礎上。 何為相匹配？ 如果被仿真系統的數學模型是穩定的，則其仿真模型也應該是穩定的，并且二者的動態、穩態特性一致。如果對于同一輸入信號，二者的輸出具有相一致的時域特性，或者二者具有相一致的頻率特性，則稱仿真模型與原系統模型相匹配。 第4頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三5.1 替

3、換法 一般快速仿真提高了對速度的要求，而合理地降低了對計算精度的要求。因此，對于控制系統中最常見的用傳遞函數G(s)描述的數學模型，如果能夠根據相匹配原理，直接將高階系統的數學模型轉換成與之相匹配、每步計算量較小、允許采用較大步長且具有合理精度的仿真模型G(z) ，就可以利用G(z)對應的差分方程進行快速仿真。第5頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三 5.1 替換法 連續系統最常見的數學模型是傳遞函數G(s) 。一般情況下，將G(s)轉換成與之對應的脈沖傳遞函數G(z)的方法有兩種。 一種是由G(s)求出脈沖過渡函數g(t) ，然后按照公式(5.1)求出G(z) 。式中，

4、T為采樣周期。 另一種是將G(s)展開成部分分式形式，然后通過查Z變換表求得G(z) 。對于高階系統，采用這兩種轉換方法都不很容易。因此，應該設法找到一個直接將G(s) 轉換成G(z)的簡便方法。第6頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三5.1 替換法1替換法的基本思想2雙線性變換法3雙線性變換法步驟4雙線性變換法特性分析5雙線性變換法仿真實例第7頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三5.1 替換法1替換法的基本思想 根據控制理論，s域和z域之間的準確映射關系為（5.2）或（5.3）式中，T為采樣周期，亦為仿真計算時的步長。第8頁，共33頁，2022年，

5、5月20日，10點24分，星期三 5.1 替換法 5.3式是超越方程，如果直接將傳遞函數中的變量s用它替換，得到G(z)的也將是超越方程，很難由Y(z)=G(z)U(z)得到一個關于變量u和y的線性差分方程，因此必須另辟蹊徑。 替換法就是解決上述問題的一類方法。其基本思想是，設法找到s域與z域之間的某種簡單的映射關系（5.4）然后將G(s)中的變量s用s=f -1(z)替換，從而得到與G(s)相對應的G(z) 。 第9頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三5.1 替換法2雙線性變換法 ln(z)可以展開成下列的無窮級數（5.5） 取該級數的第一項，則可以得到s域與z域之間一

6、種近似映射關系（5.6）或（5.7）第10頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三5.1 替換法利用（5.7）式可以把G(s)轉換為G(z)。數學上稱這種變換方法為雙線性變換法（或Tustin法）。 雙線性變換法是否滿足相匹配原理呢？1） 穩定性的匹配（5.8）第11頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三則 5.1 替換法（5.9） 由（5.9）式可知,雙線性變換法將左半s平面映射到z平面的單位圓內。也就是說，如果原來系統的G(s)是穩定的，則通過雙線性變換法得到的G(z)必然是穩定的。第12頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三2.4

7、.2 替換法第13頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三 5.1 替換法2） 判斷雙線性變換后的穩態增益不變設連續系統的傳遞函數為（5.10）其穩態增益為bn/an 。若將G(s)進行雙線性變換，有（5.11）顯然， G(z)的穩態增益仍為bn/an 。第14頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三5.1 替換法3） 雙線性變換法具有一定的精度設有方程（5.12）（5.13）將（5.6）式代入上式，得 （5.14）第15頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三5.1 替換法由此可得差分方程（5.15）這和將AM2法（也稱為梯形法）應用于（

8、5.12）式所得結果相同。第16頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三 5.1 替換法結論：雙線性變換法符合相匹配原理，是一種具有一定計算精度的絕對穩定算法。雙線性變換法適合于以分子分母多項式形式描述的G(s)。 第17頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三 5.1 替換法例5.1 已知連續系統的傳遞函數為 （5.16）試采用雙線性變換法求出對應的脈沖傳遞函數和差分方程，并對所得結果進行分析。 解 將（5.6）式代入上式，得脈沖傳遞函數 （5.17）第18頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三5.1 替換法于是，差分方程為（5.18）

9、 因為由（5.17）式可知，G(z)是穩定的。 G(s)的分子多項式為1階，分母多項式為2階，而G(z)的分子、分母多項式的階次相同，均為2階。 G(s)的穩態增益為0， G(z)的穩態增益也為0。 第19頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三 5.1 替換法 為了考慮雙線性變換法所得仿真模型的精度，除了可以在時域中進行討論外，也可以從頻域的角度進行分析。事實上,將 (5.19)分別代入（5.16）式和（5.17）式，可得 (5.20) (5.21)第20頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三 5.1 替換法 取T=1s，分別求出（5.20）式和（5.2

10、1）式的幅頻特性和相頻特性，如表2.6所示。 表5.1 G(s)與G(z)的頻率特性比較 （rad/s）0.10.30.60.81.01.21.5幅頻特性連續系統模型0.099010.27520.44120.48780.500.49180.4615離散化模型0.09910.2770.4470.4930.4980.4760.417相頻特性連續系統模型78.5856.6028.0712.680-10.39-22.62離散化模型78.5756.3626.519.57-5.06-17.67-33.56 表5.1表明利用雙線性變換法得到的仿真模型既簡單，又有一定的精度。 第21頁，共33頁，2022年，

11、5月20日，10點24分，星期三 5.1 替換法 3雙線性變換法步驟 設連續系統的傳遞函數為（5.22）采用雙線性變換法求取仿真模型的步驟如下： 將中的s 按（5.6）式替換得到，并整理成有理分式形式（5.23）第22頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三 5.1 替換法 根據得到的G(z)，由Y(z)=G(z)U(z)，兩邊取Z反變換，得到便于計算機遞推計算的差分方程 (5.24)第23頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三 5.1 替換法4雙線性變換法特性分析 雙線性變換法是一種絕對穩定的算法，允許采用大步長。 由于雙線性變換法是由（5.3）式取一次

12、項近似得到的，所以 得到的差分方程雖具有一定的精度，但當取得太大時精度會降低。因此在選取時，主要應考慮計算精度和仿真速度的需求。經驗表明，若取(5.25)式中， 為被仿真系統的自然頻率，可以保證較好的仿真精度。第24頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三5.1 替換法 雙線性變換法得到的差分方程的每項系數，都是預先一次計算確定的，在仿真遞推過程中不需要重新計算，因此仿真遞推的計算量較小。事實上，由（5.24）式可知，對于n階連續系統，每步計算量約為(2n+1)次乘法。所以，該法適合于快速仿真。 雙線性變換法中由G(s)到G(z)的轉換， 以及由G(z)到差分方程的轉換，都可

13、以很容易地編程實現。第25頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三 5.1 替換法 雙線性變換法具有串聯性。如圖5.1所示， G1(s)和G2(s)相串聯。若令(5.26)（5.27）式中，G(s) ，G1(s), G2(s)分別是G(z) ，G1(z)，G2(z)的雙線性變換結果。圖5.1第26頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三 雙線性變換公式不僅可以方便地應用于傳遞函數，也可以應用于狀態空間模型。 雙線性變換后系統的階次不變，且分子、分母多項式具有相同的階次。事實上，將（5.6）式代入（5.22）式，有（5.28）5.1 替換法第27頁，共33頁，

14、2022年，5月20日，10點24分，星期三5.1 替換法 可見， G(z)的分子、分母多項式均為n次，即在分子上增添了(nm)個z= -1的零點。由此得到的差分方程是多步關系式（當n1時）。由于被仿真系統一般僅給出在初始時刻t = 0處的系統的初始值，而在t 0以前各采樣點處的信息需要經過變換求得，這就可能給雙線性變換法的應用帶來一定的麻煩。 可以證明，雙線性變換后得到的脈沖傳遞函數頻率特性與原連續系統的頻率特性在低頻段相差較小，在高頻段差別較大。這一點也可以從表5.1看出。所以，雙線性變換法主要用于有限帶寬的系統。第28頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三化簡得到解：

15、將 轉換成差分方程例51 已知一線性系統的傳遞函數為 求：利用圖士汀公式的仿真模型。第29頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三3.3 采樣控制系統的快速數字仿真 快速數字仿真目的：減小計算工作量，加快仿真速度，即：原來的T1（采樣周期）較小，現希望用一個較大的T1來仿真。 這時，需要數字控制器部分的仿真模型做必要的修改。這是因為當離散部分仿真模型的采樣周期與原來的實際采樣周期不同時，會導致仿真模型與原型兩者脈沖傳函對應著不同的零點、極點和終值，導致仿真結果與原來的實際情況不符，所以，必須修改仿真模型的脈沖傳函。 做法：只需對離散部分的仿真模型進行修改。第30頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三例： 若要求T1 =0.1，那么，仿真模型應如何變化？ 解：確定差分模型原則，在控制系統的Z域分析中已經知道，如果兩個脈沖傳函映射到S平面上時，具有相同的零、極點，且具有相同的穩態值，則這兩個系統等價。 利用D(z)| T1 =0.04 和D(z) | T1 =0.1在S平面上的映射，具有相同的零、極點，同時穩態值相同，得 第31頁，共33