1、 7/72021北京卷理科數學高考真題+答案 2018年普通高等學校招生全國統一考試 數學（理）（北京卷） 本試卷共5頁，150分。考試時長120分鐘。考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。 第一部分（選擇題共40分） 一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目 要求的一項。 （1）已知集合A=x|x|-則 （A ）對任意實數a ，(2,1)A （B ）對任意實數a ，（2，1）A ? （C ）當且僅當a 與圓=2cos 相切，則a =_ （11）設函數f （x ）=cos()(0)6x -，若 ()()4 f

2、 x f 對任意的實數x 都成立，則的 最小值為_ （12）若x ，y 滿足x +1y 2x ，則2y?x 的最小值是_ （13）能說明“若f （x ）f （0）對任意的x （0，2都成立，則f （x ）在0，2上是增 函數”為假命題的一個函數是_ （14）已知橢圓22221(0)x y M a b a b +=：，雙曲線22 221x y N m n -=：若雙曲線N 的兩條漸近線 與橢圓M 的四個交點及橢圓M 的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓M 的離心率為_；雙曲線N 的離心率為_ 三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。 （15）（本小題13分） 在

3、ABC 中，a =7，b =8，cos B =1 7 （）求A ； （）求AC 邊上的高 （16）（本小題14分） 如圖，在三棱柱ABC ?111A B C 中，1CC 平面ABC ，D ，E ，F ，G 分別為1AA ，AC ， 11AC ，1BB 的中點，AB=BC ，AC =1AA =2 （）求證：AC 平面BEF ； （）求二面角B?CD ?C 1的余弦值； （）證明：直線FG 與平面BCD 相交 （17）（本小題12分） 電影公司隨機收集了電影的有關數據，經分類整理得到下表： 好評率是指：一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值 假設所有電影是否獲得好評相互獨立 （）從電影公司

4、收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率； （）從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率； （）假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等，用“1k =”表示第k 類電影得到人們喜歡，“0k =”表示第k 類電影沒有得到人們喜歡（k =1，2，3，4，5，6）寫出方差1D ，2D ，3D ，4D ，5D ，6D 的大小關系 （18）（本小題13分） 設函數()f x =2(41)43ax a x a -+e x （）若曲線y= f （x ）在點（1，(1)f ）處的切線與x 軸平行，求a ； （）若()f x 在x =2處取得

5、極小值，求a 的取值范圍 （19）（本小題14分） 已知拋物線C ：2y =2px 經過點P （1，2）過點Q （0，1）的直線l 與拋物線C 有兩個不同的交點A ，B ，且直線P A 交y 軸于M ，直線PB 交y 軸于N （）求直線l 的斜率的取值范圍； （）設O 為原點，QM QO =，QN QO =，求證： 1 1 + 為定值 （20）（本小題14分） 設n 為正整數，集合A =12|(,),0,1,1,2,n k t t t t k n =對于集合A 中的 任意元素12(, ,)n x x x =和12(, ,)n y y y =，記 M （，）=111122221 (|)(|)(|

6、)2 n n n n x y x y x y x y x y x y +-+-+ +- （）當n =3時，若(1,1,0)=，(0,1,1)=，求M （,）和M （,）的值； （）當n =4時，設B 是A 的子集，且滿足：對于B 中的任意元素,，當,相同時，M （，）是奇數；當,不同時，M （，）是偶數求集合B 中元素個數的最大值； （）給定不小于2的n ，設B 是A 的子集，且滿足：對于B 中的任意兩個不同的元素,， M （，）=0寫出一個集合B ，使其元素個數最多，并說明理由 絕密啟用前 2018年普通高等學校招生全國統一考試 理科數學試題參考答案 一、選擇題 （1）A （2）D （3）B

7、 （4）D （5）C （6）C （7）C （8）D 二、填空題 （9）63n a n =- （10）1+ （11） 23 （12）3 （13）()f x =sin x （答案不唯一） （1412 三、解答題 （15）（共13分） 解：（）在ABC 中，cos B = 17，B （2，），sin B 由正弦定理得sin sin a b A B =?7sin A ，sin A B （ 2，），A （0，2），A =3 （）在ABC 中，sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A 11()72-+ 如圖所示，在ABC 中，sin C =h BC ，h =s

8、in BC C ?=7=， AC （16）（共14分） 解：（）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中， CC 1平面ABC ， 四邊形A 1ACC 1為矩形 又E ，F 分別為AC ，A 1C 1的中點， AC EF AB =BC AC BE ， AC 平面BEF （）由（I ）知AC EF ，AC BE ，EF CC 1 又CC 1平面ABC ，EF 平面ABC BE ?平面ABC ，EF BE 如圖建立空間直角坐標系E -xyz 由題意得B （0，2，0），C （-1，0，0），D （1，0，1），F （0，0，2），G （0，2，1） =(201)=(120)CD CB u u u r

9、 u u r ， 設平面BCD 的法向量為()a b c =， n ， 00 CD CB ?=? ?=?uu u r uur n n ，2020a c a b +=?+=?， 令a =2，則b =-1，c =-4， 平面BCD 的法向量(214)=-， ，n ， 又平面CDC 1的法向量為=(020)EB u u r ， cos =| EB EB EB ?=- uu r uu r uu r n n n 由圖可得二面角B -CD -C 1為鈍角，所以二面角B -CD -C 1 的余弦值為 （）由（）知平面BCD 的法向量為(214)=-，n ，G （0，2，1），F （0，0， 2）， =(02

10、1)GF -u u u r ，2GF ?=-uu u r n ，n 與GF uuu r 不垂直， GF 與平面BCD 不平行且不在平面BCD 內，GF 與平面BCD 相交 （17）（共12分） 解：（）由題意知，樣本中電影的總部數是140+50+300+200+800+510=2000， 第四類電影中獲得好評的電影部數是2000.25=50 故所求概率為 50 0.0252000 = （）設事件A 為“從第四類電影中隨機選出的電影獲得好評”， 事件B 為“從第五類電影中隨機選出的電影獲得好評” 故所求概率為P （AB AB +）=P （AB ）+P （AB ） =P （A ）（1P （B ）+

11、（1P （A ）P （B ） 由題意知：P （A ）估計為0.25，P （B ）估計為0.2 故所求概率估計為0.250.8+0.750.2=0.35 （）1D 4D 2D =5D 3D 6D （18）（共13分） 解：（）因為()f x =2(41)43ax a x a -+e x ， 所以f （x ）=2ax （4a +1）e x +ax 2 （4a +1）x +4a +3e x =ax 2（2a +1）x +2e x f (1)=(1a )e 由題設知f (1)=0，即(1a )e=0，解得a =1 此時f (1)=3e 0 所以a 的值為1 （）由（）得f （x ）=ax 2 （2a

12、+1）x +2e x =（ax 1）(x 2)e x 若a 12，則當x (1 a ，2)時，f (x )0 所以f (x )在x =2處取得極小值 若a 12，則當x (0，2)時，x 20 所以2不是f (x )的極小值點 綜上可知，a 的取值范圍是（1 2 ，+） （19）（共14分） 解：（）因為拋物線y 2=2px 經過點P （1，2）， 所以4=2p ，解得p =2，所以拋物線的方程為y 2=4x 由題意可知直線l 的斜率存在且不為0， 設直線l 的方程為y =kx +1（k 0） 由241 y x y kx ?=?=+?得22(24)10k x k x +-+= 依題意22(24

13、)410k k ?=-?，解得k 0或0k 1 又P A ，PB 與y 軸相交，故直線l 不過點（1，-2）從而k -3 所以直線l 斜率的取值范圍是（-，-3）（-3，0）（0，1） （）設A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 由（I ）知12224k x x k -+=- ，12 2 1 x x k = 直線P A 的方程為1 12 2(1)1y y x x -=- 令x =0，得點M 的縱坐標為111121 2211 M y kx y x x -+-+=+=+- 同理得點N 的縱坐標為221 21 N kx y x -+= +- 由=QM QO u u u r u u u r

14、，=QN QO u u u r u u u r 得=1M y -，1N y =- 所 以 1212121212224112()111111=2111(1)(1)11 M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k -+=+=+=?=? 所以 1 1 + 為定值 （20）（共14分） 解：（）因為=（1，1，0），=（0，1，1），所以 M (，)= 1 2 (1+1?|1?1|)+(1+1?|1?1|)+(0+0?|0?0|)=2， M(，）=1 2 (1+0|1?0|)+(1+1|11|)+(0+1|01|)=1 （）設=（x1，x2，x3，x4）B，

15、則M(，）= x1+x2+x3+x4 由題意知x1，x2，x3，x40，1，且M(，)為奇數， 所以x1，x2，x3，x4中1的個數為1或3 所以B (1，0，0，0），（0，1，0，0)，（0，0，1，0)，（0，0，0，1)，（0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0). 將上述集合中的元素分成如下四組： （1，0，0，0)，(1，1，1，0)；（0，1，0，0)，(1，1，0，1)；（0，0，1，0)，（1，0，1，1)；（0，0，0，1)，（0，1，1，1). 經驗證，對于每組中兩個元素，均有M(，）=1. 所以每組中的兩個元素不可能同時是集合B的元素 所以集合B中元素的個數不超過4. 又集合（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1)滿足條件， 所以集合B中元素個數的最大值為4. （）設S k=(x1，x2，x n）|(x1，x2，x n）A，x k =1，x1=x2=x k1=0)（k=1，2