1、第四 章 樣本及抽樣分布引言隨機樣本抽樣分布4.1 隨機樣本一、總體與樣本 1. 總體：我們把研究對象的全體稱為總體（母體）。總體通常指研究對象的某項數量指標，如：產品的使用壽命，學生的身高等等。2.個體:組成總體的每個單元（或元素）稱為個體。從本質上講，總體就是所研究的隨機變量或隨機變量的分布。 為推斷總體分布及各種特征，按一定規則從總體中抽取若干個體X1，X2,Xn進行觀察試驗，以獲得有關總體的信息，這一抽取過程稱為 “抽樣”，所抽取的部分個體稱為樣本. 樣本中所包含的個體數目n稱為樣本容量.2. 樣本 當抽樣還未進行時，樣本是隨機變量，容量為n的樣本可以看作n維隨機變量(X1,X2,Xn

2、).但是，一旦取定一組樣本，得到的是n個具體的數 (x1,x2,xn)，稱為樣本的一次觀察值，簡稱樣本值 .2. 獨立性： X1,X2,Xn是相互獨立的隨機變量. 由于抽樣的目的是為了對總體進行統計推斷，為了使抽取的樣本能很好地反映總體的信息，必須考慮抽樣方法. 最常用的一種抽樣方法叫作“簡單隨機抽樣”，它要求抽取的樣本滿足下面兩點:1. 代表性： X1,X2,Xn中每一個與所考察的總體有相同的分布. 由簡單隨機抽樣得到的樣本稱為簡單隨機樣本，它可以用與總體獨立同分布的n個相互獨立的隨機變量X1,X2,Xn表示.常見的簡單隨機抽樣是隨機放回抽樣，在實際問題中，當總體很大，而樣本容量很小時，隨機

3、不放回抽樣也可看成是簡單隨機抽樣。今后，如未加說明。凡是提到樣本都是指簡單隨機樣本。 若總體的分布函數為F(x)，則其簡單隨機樣本(X1,X2,Xn)的聯合分布函數為F(x1,x2 xn)=PX1 x1,X2 x2,Xn xn = PX1 x1 PX2 x2 PXn xn =F(x1) F(x2) F(xn)總體（理論分布） ？ 樣本 樣本值 統計是從手中已有的資料-樣本值，去推斷總體的情況-總體分布F(x)的性質. 總體分布決定了樣本取值的概率規律，也就是樣本取到樣本值的規律，因而可以由樣本值去推斷總體. 樣本是聯系二者的橋梁二、統計量定義4.1：設(X1,X2,Xn)是來自總體X的一個樣本

4、， g(X1， ，Xn )是樣本X1， ，Xn 的函數，若g是連續函數，且g中不含任何未知參數，則稱g(X1， ，Xn )為一個統計量。 若(x1,x2,xn)是樣本(X1,X2,Xn)的一個觀察值，則g(x1,x2,xn)是統計量g(X1， ，Xn )的一個觀察值. 2.幾個常見統計量樣本均值樣本方差-它反映了總體均值的信息-它反映了總體方差的信息樣本k階原點矩樣本k階中心矩 k=1,2,樣本標準差 三. 統計量的三大分布分布1、分布是由正態分布派生出來的一種分布.記為定義: 設 相互獨立, 都服從正態分布N(0,1), 則稱隨機變量： 所服從的分布為自由度為 n 的 分布.2.2分布的密度

5、函數f(y)曲線由 分布的定義，不難得到以下性質：2. 設 且X1,X2相互獨立，則這個性質叫 分布的可加性.1. 設 ,則3. 設 ,則當n充分大時的分布近似正態分布N(0,1).記為Tt(n). 定義: 設XN(0,1) , Y , 且X與Y相互獨立，則稱變量所服從的分布為自由度為 n的 t 分布.2、t 分布t(n)的概率密度為當n充分大時，其圖形類似于標準正態分布密度函數的圖形.由定義可見，3、F分布F(n2,n1)定義: 設 X與Y相互獨立，則稱統計量服從自由度為n1及 n2 的F分布，n1稱為第一自由度，n2稱為第二自由度，記作 FF(n1,n2) .若XF(n1,n2)， X的概

6、率密度為3. 分位點 設X為連續型隨即變量，其概率密度為f(x),對于給定的：011).解 因為XN(10,32), 設 又從而所以例2：設X1， ，X10是取自N（0，0.32)的樣本,求解 因為所以則從而查表得所以例3：設X1， ，Xn是取自N（,2)的樣本,求樣本方差S2的期望。解4.2.3 直方圖 設X是一個隨機變量，如何根據樣本值x1,x2,xn近似求出它的概率密度(或分布函數)呢？現在介紹一種近似求概率密度的圖解法直方圖(1)先把樣本值x1,x2,xn進行分組：(i)找出樣本值x1,x2,xn的最小值與最大值，分別記為a=t0t1t2tmtm+1=b其中(iii) 數出樣本值落在區

7、間(ti,ti+1中的個數，記為ni(i=0,1,2,m)為了掌握分組的三個步驟(i),(ii),(iii),看104頁例4.4下面根據分組情況來做直方圖。(2) 記則fi是樣本值落入區間(ti,ti+1的頻數。 由于n個樣本的抽取是獨立的，有概率的統計定義可知， fi近似等于隨機變量X落入區間(ti,ti+1的概率，即現假設X的概率密度為f(t),則有在上式中， fi(i=0,1,m)是已知的，而 f(x)是未知，但它們之間有近似關系。怎樣由fi去近似得出f(x)呢？為直觀起見，我們借助于圖形。 (3) 在平面上，畫一排豎著的長方形：對每個i(0i m) ,以ti,ti+1為底，以oxyt1titi+1直方圖這個圖的好處就在于，它大致地描述了X的概率分布情況，因為每個長方形的面積，剛好近似地代表了X取值落入“底邊”的概率。只要有了直方圖，就可大致畫出概率密度曲線：讓曲線大致經過每個豎著的長方形的“上邊”。 上面介紹的直方圖法對于連續型的隨機變量才用得上，現在介紹一種方法，無論對連續型的或離散性的隨機變量