1、第四節 條件概率 全概率公式、條件概率 乘法公式 事件的相互獨立性1、條件概率的定義設A、B是兩個事件，且P(B)0,則稱 為在事件B發生的條件下,事件A的條件概率。 若事件B已發生，則為使A也發生,試驗結果必須是既在B中又在A中的樣本點 , 即此點必屬于AB。由于我們已經知道B已發生,故B變成了新的樣本空間 , 于是有(1)式。 擲骰子 已知事件B發生，此時試驗所有可能結果構成的集合就是B，于是P(A|B)= 1/3.B中共有3個元素，它們的出現是等可能的，其中只有1個在集A中，P(A )=1/6，B=擲出偶數點，P(A|B)=？ 例如，擲一顆均勻骰子A擲出2點，容易看到： 例1 設某種動物

2、由出生算起活到20歲以上的概率為0.8，活到25歲以上的概率為0.4。如果現在有一個20歲的這種動物，問它能活到25歲以上的概率是多少？ 解 設A表示“能活到20歲以上”， B表示“能活到25歲以上”。 則由已知從而所求的概率為由條件概率的定義：即若P(B)0,則P(AB)=P(B)P(A|B) (2)而 P(AB)=P(BA)2、 乘法公式若已知P(B), P(A|B)時, 可以反求P(AB).將A、B的位置對調，有故 P(A)0,則P(AB)=P(A)P(B|A) (3)若P(A)0,則P(BA)=P(A)P(B|A) (2)和(3)式都稱為乘法公式,利用它們可計算兩個事件同時發生的概率

3、例2 在100件產品中有5件是次品，從中連續無放回地抽取3次，問第三次才取得次品的概率。 解：設 表示“第i次取得次品”（i=1，2，3）,B表示“第三次才取到次品”，則3、 事件的相互獨立性 對乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A) ，有的問題中事件B發生的概率與事件A發生的條件下事件B發生的概率是相等的，即相當于無條件概率，B是否發生與A無關，從而此時稱A與B是相互獨立的。我們也稱A ，B，C 是相互獨立的事件。對三個事件A，B，C，如果成立：定理 若事件A與B是相互獨立的，則, 與 都是相互獨立的。與 例 3 一個均勻的正四面體,將第一面染成紅色,第二面染成白色,第三面染成黑色,第四

4、面同時染上紅、白、黑三種顏色，如果以A、B、C分別表示投擲一次正四面體時紅、白、黑顏色著地的事件，由于在四個面中兩面上著紅色，故 同理可知 對以上三事件A、B、C，成立: 對于多個隨機事件，若 是相互獨立的，則n 個事件中至少有一個發生的概率為但 所以A、B、C三事件不是相互獨立的,但它們是兩兩獨立的。 例4 若每個人的呼吸道中有感冒病毒的概率為0.002,求在有1500人看電影的劇場中有感冒病毒的概率。 解 以 表示事件“第i個人帶有感冒病毒”（i=1,2,，1500），假定每個人是否帶有感冒病毒是相互獨立的，則所求概率為 從這個例子可見，雖然每個帶有感冒病毒的可能性很小，但許多聚集在一起時

5、空氣中含有感冒病毒的概率可能會很大，這種現象稱為小概率事件的效應。衛生常識中,不讓嬰兒到人多的公共場所去就是這個道理。它們下方的數是它們各自正常工作的概率。 求電路正常工作的概率。 例5 下面是一個串并聯電路示意圖. A、B、C、D、E、F、G、H都是電路中的元件. 解 將電路正常工作記為W，由于各元件獨立工作，有代入得二 、全概率公式 貝葉斯公式 全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復雜事件的概率,它們實質上是加法公式和乘法公式的綜合運用. 綜合運用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)01、全概率公式:在一些教材中，常將全概率

6、公式敘述為：之一同時發生，則 是兩兩互斥的事件，且設另有一事件B, 它總是與設 為隨機試驗的樣本空間，是兩兩互斥的事件，且全概率公式: 例6 甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊, 三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7. 飛機被一人擊中而擊落的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的概率為0.6, 若三人都擊中, 飛機必定被擊落, 求飛機被擊落的概率。則對任一事件B，有稱滿足上述條件的為完備事件組。 設B=飛機被擊落 Ai=飛機被i人擊中, i=1,2,3，則B=A1B+A2B+A3B求解如下:由全概率公式為求P(Ai ), 設 Hi=飛機被第i人擊中i=1,2,3可求得:依題意，將數據代入計算得:

7、于是 即飛機被擊落的概率為0.458。 例7 有一批產品是由甲、乙、丙三廠同時生產的.其中甲廠產品占50%,乙廠產品占30%,丙廠產品占20%,甲廠產品中正品率為95%,乙廠產品正品率為90%,丙廠產品正品率為85%,如果從這批產品中隨機抽取一件,試計算該產品是正品的概率多大? 解 設A、B、C分別表示抽得產品是甲廠、乙廠、丙廠生產的，D 表示抽得產品為正品，從而任取一件產品為正品的概率可由全概率公式得到：則由已知，該球取自哪號箱的可能性最大? 實際中還有下面一類問題，是“已知結果求原因”。 某人從任一箱中任意摸出一球，發現是紅球,求該球是取自1號箱的概率.1231紅4白或者問:接下來我們介紹

8、為解決這類問題而引出的貝葉斯公式 這一類問題在實際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結果發生條件下，求各原因發生可能性大小。是兩兩互斥的事件，且設另有一事件B, 它總是之一同時發生，則 與 該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出. 它是在觀察到事件B已發生的條件下，尋找導致B發生的每個原因的概率. 在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分別稱為原因的驗前概率和驗后概率. P(Ai)(i=1,2,n)是在沒有進一步信息（不知道事件B是否發生）的情況下，人們對諸事件 當有了新的信息（知道B發生），人們對諸事件發生可能性大小P(Ai|B)有了新的估計。貝葉斯公式從數量上刻劃了這種變

9、化。 例8 同一種產品由甲、乙、丙三個廠供應。由長期的經驗知，三家的正品率分別為0.95、0.90、0.80，三家產品數所占比例為2:3:5，混合在一起。（1）從中任取一件，求此產品為正品的概率；（2）現取到一件產品為正品，問它是由甲、發生可能性大小的認識。乙、丙三個廠中哪個廠生產的可能性大？解 設事件A表示“取到的產品為正品”，分別表示“產品由甲、乙、丙廠生產”由已知（1）由全概率公式得： 由貝葉斯公式得由以上3個數作比較，可知這件產品由丙廠生產的可能性最大，由甲廠生產的可能性最小。 例9 假定具有癥狀 中一個或數個的疾病為其中 S1=食欲不振 S2=胸痛 S3=呼吸急促 S4=發熱現從20000份患有疾病 的病歷卡中統計得到下列數字：疾病人數出現S中一個或幾個癥狀人數 775075005250420070003500試問當一個具有S中癥狀的病人前來要求診斷時，他患有疾病的可能性是多少？在沒