1、有限元講義2.6四結(jié)點四邊形單元(Thefour-nodequadrilateralelement)前面介紹了四結(jié)點的矩形單元其位移函數(shù):UV12x3y4xy56x7y8xy為雙線性函數(shù)，應(yīng)力，應(yīng)變在單元內(nèi)呈線性變化，比常應(yīng)力三角形單元精度高。但它對邊界要求嚴(yán)格。本節(jié)介紹的四結(jié)點四邊形等參元，它不只擁有較高的精度，而且其網(wǎng)格區(qū)分也不受邊界的影響。對隨意四邊形單元（圖見下面）若仍直接采用前面矩形單元的位移函數(shù)，在邊界上它便不再是線性的（因邊界不與x,y軸一致），這樣會使得相鄰兩單元在公共邊界上的位移可能會出現(xiàn)不連續(xù)現(xiàn)象（非協(xié)調(diào)元），而使收斂性受到影響。能夠考證，利用坐標(biāo)變換就能解決這個問題，即能

2、夠經(jīng)過坐標(biāo)變換將整體坐標(biāo)中的四邊形（圖a）變換成在局部坐標(biāo)系中與四邊形方向無關(guān)的邊長為2的正方形。正方形四個結(jié)點i,j,m,p按反時鐘次序?qū)?yīng)四邊形的四個結(jié)點ijmp。正方形的1和1二條邊界，分別對應(yīng)四邊形的i，j邊界和p,m邊界；=-1和=+1分別對應(yīng)四邊形的i，p邊界和j，m邊界。如果用二組直線平分四邊形的四個邊界限段，使四邊形繪成一個非正交網(wǎng)格，那么該非正交網(wǎng)格在正方形上對應(yīng)著一個等距離的規(guī)則網(wǎng)格（見圖a,b）。自然,局部坐標(biāo)上的A點與整體坐標(biāo)的A點對應(yīng)。1有限元講義一、四結(jié)點四邊形等參單元的形函數(shù)及坐標(biāo)變換由于能夠?qū)⒄w坐標(biāo)下的四邊形單元變換成局部坐標(biāo)下的正方形單元，關(guān)于這種正方形單元

3、，自然仍取形函數(shù)為：UV12325678引入邊界條件，即可得位移函數(shù)：UNiUiijmpVNiViijmp寫成矩陣形式：feUNi0Np0eNdeV0Ni0dNp式中形函數(shù):Ni,11i1ii,j,m,p4按照等參元的定義,我們將坐標(biāo)變換式亦取為:xNixiNixiNjxjNmxmNpxpijmpyNiyiNiyiNjyjNmymNpyp261ijmp式中形函數(shù)N與位移函數(shù)中的完全一致。能夠考證，利用坐標(biāo)變換式(2-6-1)，能夠把整體坐標(biāo)系中的隨意四邊形單元（圖a）變換成在局部坐標(biāo)系中與四邊形對應(yīng)的邊長為的正方形。因此能夠?qū)⑸鲜鑫灰坪瘮?shù)和形函數(shù)用于隨意四邊形單元，并將形函數(shù)中的,理解為隨意四

4、邊形單元的局部坐標(biāo)。這樣由位移函數(shù)能夠獲得單元各點的位移。在四條邊界上分別有和，故邊界上的位移呈線性變化，位移的連續(xù)性可獲得保證。于是，我們能夠理解為：隨意四邊形單元是從基本的正方形單元變換過來的實際單元。因此又稱正方形單元為母體單元，或基本單元。例題：為了加深理解，現(xiàn)考察實際單元為矩形單元的坐標(biāo)變換，在2.4節(jié)中，我們定義局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)的關(guān)系是：2有限元講義1xx01yy0ab式中(x0,y0)為局部坐標(biāo)原點。由上第一式1x0得：xaxax1xx1xx02ji2ij將其從頭組合：x11x11xj2i2111x111xj111xm111xp4i444比較2.4中的形函數(shù)表達(dá)式,便知:xNi

5、xiNjxjNmxmNpxp自然同理可得:yNiyiNjyjNmymNpyp由此知,矩形單元能夠看作是四結(jié)點四邊形單元的特例，自然，它也是等參元。有限元法概論（第二版）P172中，是這樣解釋等參元的基本觀點和推導(dǎo)方法的：圖形變換四結(jié)點正方形(母元)圖形變換四結(jié)點四邊形(等參元)(-平面內(nèi))(x,y平面內(nèi))進(jìn)行圖形變換的重點是進(jìn)行圖形結(jié)點坐標(biāo)之間的變換：正方形結(jié)點坐標(biāo)坐標(biāo)變換四邊形結(jié)點坐標(biāo)(i,i)(x,y)i=i,j,m,pi=i,j,m,p為了實現(xiàn)上述結(jié)點坐標(biāo)之間的變換，可利用母元的形函數(shù)，得出(,)和(x,y)之間的坐標(biāo)變換式。圖形變換擁有如下性質(zhì):母元中的坐標(biāo)線對應(yīng)于等參元的直線；四結(jié)點

6、正方形母元對應(yīng)于四個結(jié)點能夠隨意布置的直邊四邊形等參元；變換式(2-6-1)能保證相鄰等參元的邊界位移彼此協(xié)調(diào)。3有限元講義二、幾何矩陣B已知單元的應(yīng)變與結(jié)點位移之間的關(guān)系是:x00Np00Ni262yNi0dy0Npx形函數(shù)矩陣N只是局部坐標(biāo),的顯函數(shù),為求形函數(shù)對整體坐標(biāo)x,y的偏導(dǎo)數(shù)，必須用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式:NiNixNiyxyNiNixNiy263xyNiNi或?qū)懗桑篔x263aNiNiyxy式中:Jy263bxx稱為雅可比矩陣，而把它的隊列式稱為雅可比隊列式。把式(2-6-1)代入J得:JNixiNiNiNjNmNpxiyiyixjyjijmpijmpNixiNiNiNjNmNpxm

7、ymyixpypijmpijmp將形函數(shù)Ni141i1ii,j,m,p代入，分別對,求偏導(dǎo)，即可得到四結(jié)點四邊形等參元的雅可比矩陣：J1143A2B65A24B式中常數(shù)記為:AiixiijmpixiijmpBiiyiijmpiyiijmp4有限元講義3ixi4iyiijmpijmp該雅可比矩陣的逆:114B2BJ4JAA31雅可比隊列式:J1A2A143161B1A2A4142316AB3能夠證明，如果四結(jié)點四邊形的四個內(nèi)角都小于180的話，雅可比隊列式|J|大于零，其逆陣J-1是存在的。換句話說，為了使上述等參元能保持較好的精度，整體坐標(biāo)系下所劃分的隨意四邊形單元必須是凸四邊形，即隨意內(nèi)角都

8、不能大于180。四邊形也不能太歪斜，否則會影響其精度。利用雅可比的逆矩陣，即可求出整體坐標(biāo)系下形函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：NiNix1JiJ11Ni4iNiyi11i266i(i,j,m,p)求出全部偏導(dǎo)，即代回（2-6-2）右側(cè)，即可獲得幾何矩陣B,B是,的函數(shù),即:Ni0Nj0Np00 xxxxNiNjNpB0yN0y00yyyxNiNiNjNjNpNpyxyxyx將(2-6-6)代入即可獲得B,B是,的函數(shù)。三、單元剛度矩陣獲得B后,便可由單剛的一般表達(dá)式:TKtBDBdxdy求出四結(jié)點四邊形的單元剛度矩陣。在按上述公式作積分運算時,必須把面積元dxdy變換成dd,圖a上的面積元abdc的面積等于矢

9、量ab與矢量ac的矢量積的模，5有限元講義即微元dAabacxy沿軸對應(yīng)于d的矢量增量是:abdidj沿軸對應(yīng)于的矢量增量是:acxdiydj式中i,j是坐標(biāo)x,y的單位矢,注意到:iijj0ij1則有:dAxdiydjxdiydjxyyxddijJdd因此剛度矩陣的積分式:11DJtddKBT26711在計算單元剛度矩陣K中元素時，由于被積函數(shù)中出現(xiàn)了雅可比隊列式，使得它用解析法很難求其積分，故常采用高斯數(shù)值積分法.6有限元講義四、數(shù)值積分bd1一維數(shù)值積分Fa基本思想:結(jié)構(gòu)一個多項目式，使在i(i=1,2n)上有iFi，bd來近似原被積函數(shù)Fb然后用近似函數(shù)的積分a的積分Fd。i稱為積a分

10、點或取樣點，積分點i的數(shù)值和地點決定了近似F的程度，亦即決定數(shù)值積分的精度。關(guān)于n個積分點,按照積分點地點的不同選擇，平時采用兩種不同的數(shù)值積分方法，Newton-Cotes積分和高斯積分方案。二者方法基真相同，只是前者的積分點i是等間距散布,今后者不是等間距散布。高斯積分的積分點地點由下述方法確定：定義n次多項式P12n由下列條件確定n個積分點地點bia由上二式可見，Pd0i0,1n1有以下性質(zhì)：在積分點上Pi0；多項式P與0,1,2,.n1在（a,b）域內(nèi)正交。由此可見n個積分點的地點0,1,2,.n1正交的n次多項式P組成方程i是在求積域（a,b）內(nèi)與biPd0的解。a于是,被積函數(shù)F可

11、由2n-1次多項式來近似。nn1lin1FiiPi1i0llii1i2ni是n-1階Lagrange插值函數(shù)1nbb用ad近似aFd,并考慮上面確定n個積分點地點的約定條件得:7有限元講義bndHiFiRFai1bn1式中HilidaHi稱為積分的權(quán)系數(shù)(加權(quán)系數(shù),權(quán))，可見加權(quán)系數(shù)H與被積函數(shù)F無關(guān)，只與積分i點個數(shù)和地點相關(guān)。為便于計算積分點地點i和加權(quán)系數(shù)Hi,常將上式中的積分限規(guī)格化，即令:a1b1由此計算出的i,Hi對應(yīng)于原積分域(a,b)的關(guān)系為:ababibaHi222關(guān)于多重積分，按重積分規(guī)則，計算內(nèi)層時，保持外層為常數(shù)，逐層計算即可。相關(guān)數(shù)值積分更詳細(xì)的資料可參閱其教科書。等

12、參元計算中數(shù)值積分階次的選擇數(shù)值積分中，怎樣選擇積分階次將直接影響計算精度、工作量，選擇不當(dāng)則有可能使計算失敗。選擇積分階次的原則首先是要保證積分的精度能知足所求問題的要求。如一維問題：設(shè)：插值函數(shù)中的多項式階數(shù)為p，微分算子中導(dǎo)數(shù)的最高階為m，則有限元獲得的近似能量是2(p-m)次多項式。若被積函數(shù)是2(p-m)次多項式，應(yīng)選高斯積分的階次為n=p-m+1。三結(jié)點三角形單元（線性單元）剛度矩陣中被積函數(shù)是常數(shù)，故只要一個積分點。雙線性單元22p-m+1=1,但插值函數(shù)將包含有二次項（,）中的項，所以要達(dá)到精準(zhǔn)積分應(yīng)采用22階的高斯積分。有的有限元書中列出了不同插值函數(shù)的高斯積分點數(shù)n及相應(yīng)積

13、分點坐標(biāo)i和權(quán)系數(shù)Hi的值，可供編寫有限元程序時參照。五、四邊形等參元的荷載等效變換四邊形等參元等效結(jié)點荷載的計算，仍舊利用局部坐標(biāo)體系。1集中力PPx設(shè)在單元上隨意一點C作用有一集中力,根據(jù)荷載等效變換的一般公式，其等Py效結(jié)點荷載計算公式是：RNCTP式中，NTC是形函數(shù)N在集中力作用點C上的值。2體積力Wx設(shè)在單元上作用有單位體積力WWy，其等效結(jié)點荷載的計算公式是：8有限元講義11RNTWtJdd113散布力qx設(shè)單元的某一邊界上承受的散布表面力是qqy，其等效結(jié)點荷載的計算公式是，當(dāng)散布力作用在單元ij,mp邊界上時：RNTqt(x)2(y)2d11當(dāng)散布力作用在單元ij,mp邊界上

14、時：RNTqt(x)2(y)2d119有限元講義2.7八結(jié)點曲線四邊形等參元在常例有限元程序的單元庫內(nèi)，當(dāng)前工程上對平面問題最合用的是八結(jié)點等參元。下面作一簡要介紹。單元及結(jié)點編號如圖a所示，位移和力列向量仍采用與前面近似的排列方式。為了結(jié)構(gòu)其位移函數(shù)，按照前面等參元的觀點，可先結(jié)構(gòu)八結(jié)點正方形母體單元的位移函數(shù)（圖b），并取為雙二次插值位移函數(shù)：U222212345678V2222910111213141516代入邊界條件，獲得用結(jié)點位移d表示的位移場:8Ui1NiUi2718NiVi1式中的形函數(shù):Ni11i1iii1i1,2,3,4427212222Nj11ij5,6,7,82jji按照

15、等參元的定義，實際單元映射成正方的母體單元的坐標(biāo)變換式與式2-7-2等同,得:8xNixii12738yNiyii110有限元講義前面我們在推導(dǎo)單元剛度矩陣時，都是假設(shè)單元結(jié)點編號從左下角開始，逆時針編號。從有限元理論上說，其編號應(yīng)當(dāng)是能夠隨意的。下面給出一種不同結(jié)點編號的例子。實際單元基本單元11有限元講義12有限元講義13有限元講義14有限元講義15有限元講義16有限元講義17有限元講義18有限元講義19有限元講義20有限元講義2.8幾個問題的補充一、變厚問題各單元取不同t。二、不同材料問題各單元取不同E,三、平面應(yīng)力與平面應(yīng)變問題在前面三角形單元的推導(dǎo)中，我們假設(shè)其為平面應(yīng)力問題。工程中

16、，還有另一類情形平面應(yīng)變狀態(tài)。比方，在對壩體或遂洞等長柱體進(jìn)行解析時，如果取xoy坐標(biāo)平面與其橫截平面行,而Z軸與其長度方向一致（如圖）那么，由于所考察物體在Z方向的尺寸很大，且又受到平行于xoy平面，且不沿長度方向變化的荷載作用，便可認(rèn)為各個橫截面應(yīng)處于同樣的狀況，即近似認(rèn)為Z方向的位移分量W=0,(位移與Z無關(guān))于是，由彈性力學(xué)知，在六個應(yīng)力分量中也僅有三個獨立分量x,y和xy,而zxy不獨立。并可獲得平面應(yīng)變問題的物理方程。1221xxy，yyxE1E1xy2xy1E112比較平面應(yīng)力問題：11xy2xy(1)y，yyx，ExExEE得悉只要把應(yīng)力問題中的E換成1，換成1即得應(yīng)變問題。所

17、以在這類問題的程序設(shè)計中，平時能夠同時求解應(yīng)力和應(yīng)變問題，只要設(shè)置一開關(guān)變量便能夠?qū)崿F(xiàn)。四、各向異性材料在彈性矩陣D中反響。如正交各向異性時的彈性矩陣D為：21ExxEy有限元講義01xy1xyDxEyEy01xy01xyGxy（見凱維奇有限元法，中P102104，英P98109）五、設(shè)置不同種類的單元在工程中，同一構(gòu)件經(jīng)常要用到一種以上材料。如利用角、槽鋼等在開洞板內(nèi)作加強筋用。另一種情況是鋼筋混凝土構(gòu)件的全過程解析中，縱向受拉筋的單元區(qū)分，如圖。混凝土被劃成若干平面三角形單元，而將縱向受力鋼筋（或箍筋）看作線單元（圖中紅線所示），也可把鋼筋等效成與混凝土疊合的三角形單元，但此時均為兩種不同材料。有限元解析時，可認(rèn)為結(jié)構(gòu)是由若干（面）單元（三角形或矩形）和線（桿）單元（二力桿）共同組成，區(qū)分網(wǎng)格時，若遇到線單元，便將結(jié)點取在