1、精選優質文檔-傾情為你奉上精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業專心-專注-專業精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業選修45不等式選講最新考綱：1.理解絕對值的幾何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號的條件：(1)|ab|a|b|(a，bR)(2)|ab|ac|cb|(a，bR).2.會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：|axb|c，|axb|c，|xc|xb|a.3.了解柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義，并會證明.4.通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數學歸納法1含有絕對值的不等式的解法(1)|f(x)|a

2、(a0)f(x)a或f(x)a；(2)|f(x)|0)af(x)b0時等號成立()(2)對|ab|a|b|當且僅當ab0時等號成立()(3)|axb|c(c0)的解等價于caxbc.()(4)不等式|x1|x2|1，xy2，則x0，y0.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2不等式|2x1|x1的解集是()Ax|0 x2 Bx|1x2Cx|0 x1 Dx|1x3解析解法一：x1時，滿足不等關系，排除C、D、B，故選A.解法二：令f(x)eq blcrc (avs4alco1(x1，xf(1,2)，,13x，xf(1,2)，)則f(x)1的解集為x|0 x2答案A3設|a|1，|b|2 B|a

3、b|ab|2C|ab|ab|2 D不能比較大小解析|ab|ab|2a|2.答案B4若a，b，c(0，)，且abc1，則eq r(a)eq r(b)eq r(c)的最大值為()A1 Beq r(2) C.eq r(3) D2解析(eq r(a)eq r(b)eq r(c)2(1eq r(a)1eq r(b)1eq r(c)2 (121212)(abc)3.當且僅當abceq f(1,3)時，等號成立(eq r(a)eq r(b)eq r(c)23.故eq r(a)eq r(b)eq r(c)的最大值為eq r(3).故應選C.答案C5若存在實數x使|xa|x1|3成立，則實數a的取值范圍是_解析

4、利用數軸及不等式的幾何意義可得x到a與到1的距離和小于3，所以a的取值范圍為2a4.答案2a4考點一含絕對值的不等式的解法解|xa|xb|c(或c)型不等式，其一般步驟是：(1)令每個絕對值符號里的代數式為零，并求出相應的根(2)把這些根由小到大排序，它們把定義域分為若干個區間(3)在所分區間上，去掉絕對值符號組成若干個不等式，解這些不等式，求出它們的解集(4)這些不等式解集的并集就是原不等式的解集解絕對值不等式的關鍵是恰當的去掉絕對值符號(1)(2015山東卷)不等式|x1|x5|2的解集是()A(，4) B(，1)C(1,4) D(1,5)(2)(2014湖南卷)若關于x的不等式|ax2|

5、3的解集為eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(f(5,3)xf(1,3)，則a_.解題指導切入點：“脫掉”絕對值符號；關鍵點：利用絕對值的性質進行分類討論解析(1)當x1時，不等式可化為(x1)(x5)2，即42，顯然成立，所以此時不等式的解集為(，1)；當1x5時，不等式可化為x1(x5)2，即2x62，解得x5時，不等式可化為(x1)(x5)2，即42，顯然不成立，所以此時不等式無解綜上，不等式的解集為(，4)故選A.(2)|ax2|3，1ax0時，eq f(1,a)xeq f(5,a)，與已知條件不符；當a0時，xR，與已知條件不符；當a0時，eq

6、 f(5,a)xeq f(1,a)，又不等式的解集為eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(f(5,3)xf(1,3)，故a3.答案(1)A(2)3用零點分段法解絕對值不等式的步驟：(1)求零點；(2)劃區間、去絕對值號；(3)分別解去掉絕對值的不等式；(4)取每個結果的并集，注意在分段時不要遺漏區間的端點值 對點訓練已知函數f(x)|xa|x2|.(1)當a3時，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范圍解(1)當a3時，f(x)eq blcrc (avs4alco1(2x5，x2，,1，2x3，,2x5，x3.)當

7、x2時，由f(x)3得2x53，解得x1；當2xc或|xa|xb|k的解集為R，則實數k的取值范圍是_解題指導切入點：絕對值的幾何意義；關鍵點：把恒成立問題轉化為最值問題解析(1)|x1|x2|(x1)(x2)|3，a2eq f(1,2)a23，解得eq f(1r(17),4)aeq f(1r(17),4).即實數a的取值范圍是eq blcrc(avs4alco1(f(1r(17),4)，f(1r(17),4).(2)解法一：根據絕對值的幾何意義，設數x，1,2在數軸上對應的點分別為P，A，B，則原不等式等價于PAPBk恒成立AB3，即|x1|x2|3.故當k3時，原不等式恒成立解法二：令y|

8、x1|x2|，則yeq blcrc (avs4alco1(3，x1，,2x1，1xk恒成立，從圖象中可以看出，只要k3即可故k3滿足題意答案(1)eq blcrc(avs4alco1(f(1r(17),4)，f(1r(17),4)(2)(，3)解含參數的不等式存在性問題，只要求出存在滿足條件的x即可；不等式的恒成立問題，可轉化為最值問題，即f(x)f(x)max，f(x)a恒成立acd，則eq r(a)eq r(b)eq r(c)eq r(d)；(2)eq r(a)eq r(b)eq r(c)eq r(d)是|ab|cd得(eq r(a)eq r(b)2(eq r(c)eq r(d)2.因此e

9、q r(a)eq r(b)eq r(c)eq r(d).(2)若|ab|cd|，則(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)得eq r(a)eq r(b)eq r(c)eq r(d).若eq r(a)eq r(b)eq r(c)eq r(d)，則(eq r(a)eq r(b)2(eq r(c)eq r(d)2，即ab2eq r(ab)cd2eq r(cd).因為abcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|eq r(c)eq r(d)是|ab|cd|的充要條件分析法是證明不等式的重要方法，當所證不等式不能使用比較法且與重要不等式、基本

10、不等式沒有直接聯系，較難發現條件和結論之間的關系時，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關鍵是推理的每一步必須可逆 對點訓練(2014新課標全國卷)設a、b、c均為正數，且abc1.證明：(1)abbcaceq f(1,3)；(2)eq f(a2,b)eq f(b2,c)eq f(c2,a)1.證明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca.由題設得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbccaeq f(1,3).(2)因為eq f(a2,b)b2a，eq f(b2,c)c2b，eq f(c2,a)a2c

11、，故eq f(a2,b)eq f(b2,c)eq f(c2,a)(abc)2(abc)，即eq f(a2,b)eq f(b2,c)eq f(c2,a)abc.所以eq f(a2,b)eq f(b2,c)eq f(c2,a)1.方法規律總結方法技巧1絕對值不等式求解的根本方向是去除絕對值符號2絕對值不等式在求與絕對值運算有關的最值問題時需靈活運用，同時還要注意等號成立的條件3在證明不等式時，應根據命題提供的信息選擇合適的方法與技巧如在使用柯西不等式時，要注意右邊為常數易錯點睛1對含有參數的不等式求解時，分類要完整2應用基本不等式和柯西不等式證明時要注意等號成立的條件 課時跟蹤訓練(七十)一、填空

12、題1不等式|2x1|3的解集為_解析|2x1|332x131x2.答案(1,2)2若不等式|kx4|2的解集為x|1x3，則實數k_.解析|kx4|2，2kx42，2kx6.不等式的解集為x|1x3，k2.答案23不等式|2x1|x1|2的解集為_解析當xeq f(1,2)時，原不等式等價為(2x1)(x1)2，即3xeq f(2,3)，此時eq f(2,3)xeq f(1,2).當eq f(1,2)x1時，原不等式等價為(2x1)(x1)2，即x0，此時eq f(1,2)x0.當x1時，原不等式等價為(2x1)(x1)2，即3x2，xeq f(2,3)，此時不等式無解，綜上，原不等式的解為e

13、q f(2,3)x0，即原不等式的解集為eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，0).答案eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，0)4已知關于x的不等式|x1|x|k無解，則實數k的取值范圍是_解析|x1|x|x1x|1，當k1時，不等式|x1|x|k無解，故k1.答案(，1)5(2015西安統考)若關于實數x的不等式|x5|x3|a無解，則實數a的取值范圍是_解析|x5|x3|(x5)(x3)|8，故a8.答案(，86(2015重慶卷)若函數f(x)|x1|2|xa|的最小值為5，則實數a_.解析當a1時，f(x)3|x1|0，不滿足題意；當a1時，f(x)

14、eq blcrc (avs4alco1(3x12a，xa，,x12a，a1，)f(x)minf(a)3a12a5，解得a6；當a1時，f(x)eq blcrc (avs4alco1(3x12a，x1，,x12a，1a，)f(x)minf(a)a12a5，解得a4.答案6或47若關于x的不等式|a|x1|x2|存在實數解，則實數a的取值范圍是_解析f(x)|x1|x2|eq blcrc (avs4alco1(2x1x1，,31x0的解集為R，則實數a的取值范圍是_解析若x1(x1)2對任意的x1，)恒成立，即(a1)(a1)2x0對任意的x1，)恒成立，所以eq blcrc (avs4alco1

15、(a10，,a12x，)(舍去)或eq blcrc (avs4alco1(a10，,a12x，)對任意的x1，恒成立，解得a1.綜上，a0時，將不等式5aeq f(4,a)整理，得a25a40，無解；當a0時，將不等式5aeq f(4,a)整理，得a25a40，則有a4或1a0.綜上可知，實數a的取值范圍是(，41,0)答案(，41,0)二、解答題13已知不等式2|x3|x4|2a.(1)若a1，求不等式的解集；(2)若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范圍解(1)當a1時，不等式即為2|x3|x4|2，若x4，則3x102，x4，舍去；若3x4，則x22，3x4；若x3，則103x2，eq

16、 f(8,3)x3.綜上，不等式的解集為eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(f(8,3)x4).(2)設f(x)2|x3|x4|，則f(x)eq blcrc (avs4alco1(3x10，x4，,x2，3x1，aeq f(1,2)，即a的取值范圍為eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，).14(2015新課標全國卷)已知函數f(x)|x1|2|xa|，a0.(1)當a1時，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍解(1)當a1時，f(x)1化為|x1|2|x1|10.當x1時，不等式

17、化為x40，無解；當1x0，解得eq f(2,3)x0，解得1x1的解集為eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(f(2,3)x2).(2)由題設可得，f(x)eq blcrc (avs4alco1(x12a，xa.)所以函數f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(2a1,3)，0)，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面積為eq f(2,3)(a1)2.由題設得eq f(2,3)(a1)26，故a2.所以a的取值范圍為(2，)15設函數f(x)|x1|xa|.(1)若a1，解不等式f(x)3；(

18、2)如果xR，f(x)2，求a的取值范圍解(1)當a1時，f(x)|x1|x1|，f(x)eq blcrc (avs4alco1(2x，x1.)作出函數f(x)|x1|x1|的圖象由圖象可知，不等式f(x)3的解集為eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xf(3,2)或xf(3,2).(2)若a1，f(x)2|x1|，不滿足題設條件；若a1，f(x)eq blcrc (avs4alco1(2xa1，xa，,1a，ax1，f(x)eq blcrc (avs4alco1(2xa1，x1，,a1，1x0，b0，c0，函數f(x)|xa|xb|c的最小值為4.(1)求abc的值；(2)求eq f(1,4)a2eq f(1,9)b2c2的最小值解(1)因為f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，當且僅當axb時，等號成立又a0，b0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值為abc.又已