1、直線電機的電磁場分析在物理學中，某一物理的空間分布構成一個物理的“場”，像電磁場都具有大小和方向，他們由在它們的作用范圍內每一點的向量表示，這些向量產生一個向量場。描寫場各點的空間變化趨勢需用微分手段，矢量微分算符（哈密頓）就是為了這個目的引入的。引入哈密頓算符：=xix+yiy+ziz （1）通量設矢量函數A（x，y，z）構成矢量場，S為場中的某一曲面。設S為閉曲面，則=SAdS （2）對于閉曲面，規定其法矢量處處向外，于是，若0，則表示閉曲面S中流出的通量多于流入的通量，這表明S中源強于壑：若0，則表明S中源弱于壑。散度散度表示源在某點的詳細分布情況，所以可以在某一點取一小的閉曲面，然后令

2、其向這點無限收縮。在極限情況下，單位體積的通量就可以放映這點的詳細分布。divA=limV01VSAdS （3）divA=A=Axx+Ayy+Azz （4）對于靜電學中運用靜電場的coulomb定律，將點電荷推廣到任意電荷分布q情形，即電場的Gauss定律。=SEdS=q40r2SdS=q40r24r2q0 （5）SEdS=q0 （6）q為閉曲面S內所包含的凈自由電荷。所以E=00 （7）其中0為體電荷密度。對于磁學中SBdS=0 （8）即磁感應線B是閉合的，流入曲面S的磁感應線等于流出的。環量矢量場A(x，y，z)沿某閉合曲線C的環量，意義在于放映回路l中有無環量源。即表示了做功情況：W=l

3、Adl （9）這里的dl為l上的元位移，旋度旋度表示渦旋源在某點的詳細分布情況，所以可以在某點取一小面元，面元周界為C，在極限情況下，單位周界的環量就可以放映這點的詳細分布。規定最大的環量強度值為旋度矢量的量值，所以rotA=limS0nSlAdlmax （10）rotA=A=ixiyizxyzAxAyAz （11）n表示S的單位法矢量，它與C的繞行方向成右手螺旋。若某區域中處處divA=0，則稱A為無旋場。保守場就是無旋場。對于靜電場E的環量可以看做是電勢，因為電場力F=Eq0,CFdl即電場力對移動電荷做的功，可以假設一點電荷q的電場中，有一試驗電荷q0從a點經過任意路徑移到b點，做功w可

4、以表示為W=q0abEdl=q0rarbq40r2dr=q0q40（1ra-1rb） （12）由此可見，在點電荷電場中電場力做功與路徑無關。即靜電場力是保守力，靜電場是保守場。所以有CEdl=0 （13）表示靜電場E沿任意閉合路徑C的線積分，稱為場強E的環流，即靜電場的環流定律。對于磁場取無限長的載流直導線的磁場中，取一個與載流直導線垂直的平面，并以這個平面與導線的交點為圓心，在平面上取一半徑為r的圓，則通過畢奧-薩伐爾定律dB=04J0dlrr3求得在這圓周上任意一點的磁感應強度B=0J02r，方向為該點切線方向。則B沿該圓周為閉合路徑C=2r的積分為CBdl=C0J02rdl=0J02r2

5、r=0J0 （14）CBdl=0J0 （15）即稱為磁感應強度B的環流，其中J0為傳導電流。通過分子電流的觀點把此公式拓展到磁鐵上，把磁鐵在各個截面上的邊緣看成是環形電流（宏觀上叫它為磁化電流）。推導MAXWELL電磁方程組Maxwell場方程組放映了宏觀電磁現象所遵守的客觀規律，理論上研究電磁場問題就是求解滿足問題的初始與邊界條件的場方程組解。關于靜電場電荷通常劃分為自由電荷和極化電荷（又稱束縛電荷），自由電荷是指能夠被宏觀分離并能在宏觀范圍內運動的正電荷或負電荷，極化電荷是指不能被宏觀分離從而也不能在宏觀范圍內運動的正負等量電荷。設自由電荷的體密度為0，它產生的靜電場為E0，則E0是有源無

6、旋場，有E0=00（16）E0=0 （17）設極化電荷（束縛電荷）的體密度為，它產生的靜電場為E，則E，也是有源無旋場，有：E，=，0 （18）E，=0 （19）以上式子相加，得E0+E，=0+，0 （20）E0+E，=0 （21）設：=，+0 （22）E位=E0+E， （23）最后得：E位=0（24）E位=0（25）是總的電荷密度，E位是產生的靜電場，E位是有源無旋場即位場（勢場）。對于渦旋電場（法拉第定律）變化的磁場產生渦旋電場E旋，用faraday電磁感應定律（確切的是解釋其中的感生電動勢，感生電動勢產生的是渦旋電場力，通過F=q（E+vb）知道動生電動勢產生的是Lorentz力，廣泛應

7、用于電動力學）證得E旋是無源有旋（左旋）的電場。法拉第定律的積分形式表示為CE旋dl=-tSBdS （26）得：E旋=0 （27）E旋=-Bt （28）總電場E=E0+E，+E旋=E位+E旋 （29）所以，有：E=00+，0 （30）E=-Bt （31）關于恒定磁場在外電場作用下，自由電荷宏觀運動形成的電流稱為傳導電流j0。極化電流jp是在極化電荷非恒定的條件下才會出現的電流。磁化的宏觀效果等價于形成了磁化電流jm。恒定的傳導電流j0、極化電流jp、磁化電流jm（均是電流密度），分別產生恒定磁場B0、B0、Bm，他們都是無源有旋（右旋）場。B0=0 （32）B0=0j0 （33）Bp=0 （3

8、4）Bp=0jp （35）Bm=0 （36）Bm=0jm （37）上述結果適用于恒定磁場，后來被MAXWELL推廣到普遍情形，即認為在非恒定的普遍情形下，電流產生的磁場任遵循上式。關于變化的電場的磁場(安培環路定律)安培環路定律是奧斯特的電流產生磁場的實驗發現和麥克斯韋時變電場產生磁場的數學貢獻的結合。正是麥克斯韋的貢獻導致了電磁波的預言。安培環路定律的數學形式:CB0dl=SJ0dS+ddtS0EdS （38）引入H之后可以求得H=J0+DtxPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEX

9、XXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGE

10、XXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAG

11、EXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXX （39）現通過MAXWELL假設，變化電場Et產生的磁場BEt也是無源有旋（右旋）場，BEt=0 （40）BEt=00Et （41）總磁場總磁場B是上述各磁場總和，B=B0+Bp+Bm

12、+BEt （42）所以，有：B=0 （43）B=0j0+0jp+0jm+00Et （44）（22）、（23）式普遍適用，不受恒定條件限制。宏觀MAXWALL方程合并，得到宏觀MAXWALL方程為：E=00+，0 （45）E=-Bt （46）B=0 （47）B=0（J0+JP+JM+0Et） （48）式中：0自由電荷的體密度(cm3) 自由電荷運動產生的自由電流密度，極化電荷的體密度（cm3）E電場強度(Vm)B磁通密度(T)J0傳導電流密度(Am2)JP極化電流(Am2)JM磁化電流(Am2)由于，、JP、JM未知都無法測量或控制，需要消除。使方程組的場源只剩下可以測量及控制的自由電荷0和傳導

13、電流J0。對于消除，由于極化強度P與，存在著關系P=-， ，引入輔助物理量電位移矢量D，定義：D=0E+P （49）對式子（49）求散度：得到：D=0E+P=0 （50）由于引進了D，就多了一個變量，需加入一個方程，同時由于P和E存在著線性的關系P=e0E，e為介質磁化率，帶入到式子49得：D=1+e0E=E （51）對于消除JP和JM，由于M=Jm，引入輔助物理量電磁場強度H，定義：H=B0-M （52）對式子（52）求旋度，得H=B0-M=J0+JP+0Et （53）對式子（49）求t的導數，得：Dt=0Et+Pt=Jp+0Et （54）將54式帶入到（53）式，得：H=Dt+J0 （55

14、）由于引進了H，需補充H和B的關系式，由于B=r0mM，r=1+m,帶入到式子52，得：B=H （56）由上面的結論可以得到：PAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXX

15、XPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEX

16、XXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGE

17、XXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXD=0 （57）E=-Bt （58）B=0 （59）H=J0+DtxPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGE

18、XXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAG

19、EXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPA

20、GEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXX（60）D=E（61）B=H （62）J0=E （63）式中：H磁場強度(Am)D電位移矢量(cm2)媒質的介電常數（permittivity）媒質的磁導率（permeability）導電媒質的電導率（conductivity）需要說明媒質中各點的電磁特性與該點的線性各向同性和均勻的（三個參數則成為與時間無關的標量）即同性媒介。J0=E是歐拉定律的微分形式，在導體中的電流密度遵守歐姆定律，其中J0依托所討論的問題確定這里為傳導電流。由于一個矢量的旋度的散度等于零，故取58式的散度即可得59式，而取60式的散度，則有

21、J0+t=0 （64）此式稱為電流的連續方程，表明單位時間從單位體積流出的電流，其極限等于該點每單位體積內點電荷的減少率。恒定電流指電流場不隨時間變化，這就要求電荷的分布不隨時間發生變化，因而電荷產生的電場是恒定電場，即靜電場。即t=0，得：J0=0 （65）在把麥克斯韋方程組應用到電機時，需要作一些修改。首先電機的電源頻率一般很低，所以位移電流Dt可以忽略不計。其次上式是在導電媒質和磁場之間沒有相對運動的條件下推導出來的，當導電媒介（各向同性）在交變磁場中運動（其速度v比光速小得多）時，在導電媒質中除了由于磁場隨時間發生變化產生的感應電場E之外，還有由于導電媒質和磁場之間有相對運動產生的速度

22、電場vB，這兩種電場在導電媒質中引起的感應電流J=（E+vB）。在我們這里選用第二種方法。在大多數機電裝置中，磁場源為繞組電流或者永磁體，為減少不必要的復雜性，可設磁場是準靜態場，即電場的時變量被忽略。忽略二次源Dt的作用，即JD=0。位移電流包括極化電流JP=Pt和變化的電場0Et兩部分。Maxwell方程將有如下形式D=0 （66）E=-Bt （67）H=J0 （68）B=0 （69）J0=0 （70）B=0（H+M） （71）M=mH （72）B=H （73）J0=E （74）矢量磁勢電磁場問題中，借助于某些輔助函數求解電磁場在某些情況下帶來的一定方便，由于B的無散性和矢量恒等式F=0可

23、將B通過輔助矢量函數A表示為B=A （75）通過庫侖規范定義A=0，所以B=A=A-2A=-2A （76）B=0H+M=0（J0+M） （77）0（J0+M）=-2A （78）2A=-0（J0+M） （79）和標量磁勢不同，矢量磁勢對磁場的所有區域都有效，并可簡化磁鏈的計算，故采用矢量磁勢來進行磁場計算。矢量磁勢的泊松方程矢量磁勢的泊松方程為2A=-0（J0+M） （80）其中：J0代表自由體電流密度，M為永磁體的等效體電流密度。在直線電機應用中，磁場被近似視為是2維的，如圖磁場分布是在x，-z，平面中，又是可推出磁矢勢A沿y方向的量。現在把矢量泊松方程簡化為標量方程。2x，2+2z，2Ay=

24、-0(J0+Mxz，-Mzx，) （81）傅立葉（Fourier）級數正弦函數在工程技術中占有特殊的地位，它是工程人最常用的函數，主要原因其一是正弦信號容易產生，更重要是一個任意周期函數都可以展成由許多正弦諧波成分組成的Fourier級數（離散譜），而一個非周期函數則可以用Fourier積分（連續譜）表示我們可以采用Fourier分析和變換法通過對各個頻率的響應，經過疊加確定出系統對任一種準靜態信號的響應。電機基本都是周期性的幾何結構，所以采用傅立葉級數法來分析源和場?，F假設直線電機長度無限，源和場都是周期函數，忽略場和源存在的邊端效應。考慮到函數是沿z軸正弦分布的，同時也具有時間正弦性，則可

25、以表示為：z，t=Reej（t-kz） （82）其中C為復常數，表示時間角頻率，時間周期T=2。其中k是空間角頻率k=2l，l為空間周期。表示復常數，以后帶有的量就是復常數。若只考慮沿z軸的正弦分布，為：z，t=Retejkz （83）其中為和時間相關的量，以后帶有的量就是和時間相關的量。所以使用傅立葉級數，表示空間周期為l的函數可以表示為：z，t=n-ntejknz，kn=2nl （84）幅值nt=1lzz+lz，tejknzdz （85）x，xab永磁鐵cz，dx0ef定子繞組gzh 直線電機x-z平面模型磁化強度M和電流密度J的傅立葉表示見圖，永磁陣列由磁化方向沿著z軸和X軸方向的磁體組

26、成，磁化強度可表示為M=n=-Mxnix+Mzniz=n=-Mxne-jknz,ix+Mzne-jknz,iz （86）同理，電流密度可以表示為J=n=-Jyniy=n=-Jyne-jknziy （87）分析方案的提出如圖，就是直線電機的幾何結構，為方便計算，現假設：初級鐵心的磁導率為無限大；電機x方向為無限寬；電機z方向為無限長。其中：高度的區域表示定子繞組層，繞組通有Y方向（垂直于表面向外）的電流密度J；高度的區域表示動子上的永磁陣列；空白區域為自由空間（即氣隙）：坐標系xyz固定在永磁陣列上，坐標系xyz固定在定子上，兩個坐標系平行，原點間的偏移可用矢量x0+ix+z0iz表示，其中x0

27、為氣隙高度，z0表示z軸方向上坐標系xyz相對于坐標系xyz的位移；空間周期為l，第n次諧波的空間角頻率為kn=2nl，其中abcd、efgh分別表示永磁陣列、繞組電流層的邊界。由于永磁體和電流的場源通過傅立葉級數表示出來了，只要知道永磁體和定子電流的具體參數、分布情況，就可以通過泊松方程（式（80）求出在任意一點的磁場強度。現在我們假設每段l的磁源分布為Mn，電流源分布為Jn，分別用泊松方程求出永磁體和定子電流在某點的磁場強度，然后再疊加，就可以得到某點的磁場強度。磁場分析方法由于永磁鐵沒有自由電流，可推出2x，2+2z，2Ayn=-0(Mn)y， （88）Mn=ixiyizx，y，z，Mx

28、nMynMzn=ixiyizx，y，z，Mxn0Mzn=Mxny，ix-Mznx，-Mxnz，iy-Mxny，iz （89）由于Mxn=Mxne-jknz,；Mzn=Mzne-jknz,。所以Mxn、Mzn只與z，有關。得：Mn=Mnxz，iy=-jknMxne-jknz,iy （90）2x，2+2z，2Ayn=0jknMxne-jknz,iy （91）特解為：Aynp=-j0knMxne-jknz, （92）解為：Ayn=Aynp+Aynh （93）其中Aynp是特解，Aynh是通解。求通解Aynh，于是：2Aynhx，2+2Aynhz，2=0 （94）由于Aynh=Axnhe-jknz,

29、（95）2Aynhx2e-jknz,-kn2Aynhe-jknz,=0 （96）2Aynhx，2-kn2Aynh=0 （97）接著求解方程：s2-kn2=0 （98）所以： s=kn （99）所以求解的：Aynh=c1eknx，+c2e-knx， （100）由于sinhx=ex-e-x2 （101）coshx=ex+e-x2 （102）tanhx=sinhxcoshx （103）cothx=coshxsinhx （104）試圖用雙曲線函數表示Ayn，于是有：Aynh=c1eknx，+c2eknx，=c3sinhknx，+c4coshknx，=c3ex-e-x2+c4ex+e-x2=c3+c42

30、ex+c4-c32e-x （105）c3+c42，c4-c32都是常數。所以Ayn也可以表示為：Aynh=c3sinhknx+c4coshknx （106）所以由結論求解得：Aynh=（c1sinhknx+c2coshknx）e-jknz, （107）在b、c處的Aynh表示：Aynhx=0=c1sinhknx+c2coshknxx=0 （108）Aynhx=c1sinhknx+c2coshknxx= （109）得：c1sinhkn0+c2coshkn0=Aynhc （110）c1sinhkn+c2coshkn=Aynhb （111）求解，得：c2=Aynhc （112）c1=-Aynhcco

31、shhkn+Aynhbsinhkn （113）帶入：Aynh=-Aynhccoshkn+Aynhbsinhknsinhknx+Aynhccoshx （114）Aynh=Aynhbsinhknsinhknx-Aynhccoshknsinhknsinhknx+Aynhccoshknx （115）Aynh=Aynhbsinhknsinhknx+-Aynhccoshknsinhknx+Aynhcsinhkncoshknxsinhkn （116）Aynh=Aynhbsinhknsinhknx+Aynhc（sinhkn（-x）sinhkn （117）由于：Aynh=Ayn-Aynp （118）Aynh=A

32、yn+j0knMxn （119）得：Aynhb=Aynb+j0knMxn （120）Aynhc=Aync+j0knMxn （121）最終得到：Aynh=Aynb+j0knMxnsinhknsinhknx+（Aync+j0knMxn）（sinhkn（-x）sinhkn （122）可以求出Bx,By;由于：B=A （123）Aynh=（Aynb+j0knMxnsinhknsinhknx+（Aync+j0knMxn）（sinhkn（-x）sinhkn）e-jknz, （124）Ayn=Aynh-j0knMxn=（Aynb+j0knMxnsinhknsinhknx+（Aync+j0knMxn）（sin

33、hkn（-x）sinhkn-j0knMxn）e-jknz,（125）B=A=ixiyizx，y，z，0Ayn0=-Aynz，ix+Aynx，iz （126）Bxn=-Aynz， （127）Bzn=Aynx， （128）Bxn=jknAyn=jkn（Aynb+j0knMxnsinhknsinhknx+（Aync+j0knMxn）（sinhkn（-x）sinhkn-j0knMxn（129）Bzn=Aynx，=knAynb+j0knMxnsinhkncoshknx-kn（Aync+j0knMxn）（coshkn（-x）sinhkn （130）所以可以得到在b和c邊界上有Bzn=kn（Aynbcosh

34、knx-Aynccoshkn-xsinhkn+j0knMxncoshknx-j0knMxn（coshkn（-x）sinhkn）（131）BznxBznx=kncoshknxsinhkn-coshkn-xsinhkncoshknxsinhkn-coshkn-xsinhknAynbAync+coshknx-（coshkn（-x）sinhkncoshknx-（coshkn（-x）sinhknj0knMxn（132）在b邊界x=；在c邊界x=0；BznbBznc=kncoshknsinhkn-1sinhkncoshkn0sinhkn-coshkn-0sinhknAynbAync+coshkn-1sin

35、hkncoshkn0+coshkn-0sinhknj0knMxn=kncothkn-1sinhkn1sinhkn-cothknAynbAync+coshkn-1sinhkn1-（coshkn）sinhknj0knMxn （133）再考慮a以上區域，由上式結果得：Aynh=（c1sinhknx+c2coshknx）e-jknz, （134）Aynhx=+=c1sinhknx+c2coshknxx=+ （135）Aynhx=c1sinhknx+c2coshknxx= （136）再考慮a以上區域，由于a以上區域為氣隙，不存在磁源，由上式結果得： BznxBznx=kncoshknxsinh(+)-c

36、oshkn-xsinhkncoshknxsinh(+)-coshkn-xsinh(+)Ayn+Ayna+coshknx-（coshkn（-x）sinh(+)coshknx-（coshkn（-x）sinh(+)j0knMxnBzn（+）Bzna=kncothkn（+）-1sinhkn（+）1sinhkn（+）-cothkn（+）Ayn（+）Ayna （137）上式limxcothknx=1，limxsinhknx=，Ayn（+）=0.當kn0時，Bzn（+）Bzna=kn1-1+1+-1Ayn（+）Ayna=kn100-10Ayna （138）Bzna=-knAyna （139）當kn0時，Bz

37、n（+）Bzna=kn-1-1-1-1Ayn（+）Ayna=kn-10010Ayna （140）Bzna=knAyna （141）綜合，最后可求得：Bzna=-knAyna （142）同理得：Bznd=knAynd （143）由于磁矢勢在邊界連續:Ayna=Aynb （144）Aync=Aynd （145）確定b、c邊界上的邊界條件如圖，在磁鐵表面上下邊界上，分別去閉合環路abcd和a，b，c，d，并使初級的正向與坐標y軸的正向一致，因為ad=bc=a，d，=b，c，0；ab=dc=a，b，=d，c，=dx；由式H=J0，B=0可導出磁場的兩個邊界條件。nBa-Bb=0K0+n0Ma-0Mb；

38、nBa-Bb=0.其中n是邊界法向量，方向指向x正方向；K0是邊界上的自由面電流密度。對于磁鐵，Ke=nMa-Mb，Ke為等效磁化面電流密度。于是在bc邊界上的邊界條件是：HanCabHbC為曲面的周線，為閉合曲線。n為界面法線方向的單位矢量，自1側指向2側。H=j0+DtcHdl=j0d+dDddtHasin1l-Hbsin2l=（J+Dt）lhHasin1-Hbsin2=limh0J+Dth=i0寫成矢量形式為nHa-Hb=i0回路C橫越界面的跨度趨于零，C所圍曲面的面積趨于零，所以dDddt等于零。由電磁學原理得：nHa-Hb=i0i0為傳導電流面密度，有限理想導體界面，對絕緣介質面和一

39、般有限電導率導體界面，i0為零。見圖，我們可以得到B的邊界條件。n-Bzna+Bznb=i0 （146）-Bzna+Bznb=0Kyb （147）同理，得：-Bznc+Bznd=0Kyc （148）Kyb=Mix=Mzne-jknz, （149）Kyc=M（-ix）=-Mzne-jknz, （150）-Bzna+Bznb=0Mzn （151）-Bznc+Bznd=-0Mzn （152）有上面8個方程式解8個未知數，得：Ayna=0Mznsinhknknsinhkn+（coshkn+1）+j0Mxn（coshkn-1）-knsinhkn+kn（1-coshkn） （153）當kn0時，Ayna=

40、0Mznsinhknknsinhkn+kncoshkn+1+j0Mxn（coshkn-1）-knsinhkn+kn1-coshkn=0Mznekn-e-kn2knekn-e-kn2+knekn+e-kn2+1+j0Mxn（ekn+e-kn2-1）-knekn-e-kn2+kn1-ekn+e-kn2=0Mzn(ekn-e-kn)2kn(ekn+1)+j0Mxn（ekn+e-kn-2）2kn(1-ekn)=0Mzn(ekn+1-1-e-kn)2kn(ekn+1)+j0Mxn（ekn+1ekn-2）2kn1-ekn=0Mzn2kn1-1+1eknekn+1+j0Mxn（e2kn+1-2ekn）2kn

41、1-eknekn=0Mzn2kn1-1ekn+j0Mxne-kn-12kn=0Mzn2kn1-1ekn+j0Mxne-kn-12kn=(0Mzn2kn-j0Mxn2kn)1-e-kn（154）當kn0時，Ayna=0Mznsinhkn-knsinhkn+kncoshkn+1+j0Mxn（coshkn-1）knsinhkn+kn1-coshkn=0Mznekn-e-kn2-knekn-e-kn2+knekn+e-kn2+1+j0Mxn（ekn+e-kn2-1）knekn-e-kn2+kn1-ekn+e-kn2=0Mzn(ekn-e-kn)2kn(e-kn+1)+j0Mxn（ekn+e-kn-2）

42、2kn(1-e-kn)=0Mzn(ekn+1-1-e-kn)2kn(e-kn+1)+j0Mxn（ekn+1ekn-2）2kn1-e-kn=0Mzn2kn-1+1+ekn1ekn+1+j0Mxn（e2kn+1-2ekn）2knekn-1=0Mzn2kn-1+ekn+j0Mxnekn-12kn=0Mzn2kn-1+ekn+j0Mxnekn-12kn=-0Mzn2kn-j0Mxn2kn(1-ekn)（155）所以Ayna可以表示成這樣：Ayna=0Mzn2kn-j0Mxn2kn(1-e-kn) （156）同理，可求得：Aynd=-0Mzn2kn-j0Mxn2kn(1-e-kn) （157）Bdxn=

43、-j0knMzn2kn+0Mxn2(1-e-kn) （158）Bdzn=-0Mzn2-j0knMxn2kn(1-e-kn) （159）繞組電流層磁場電機定子電流繞組電流層的泊松方程，氣隙磁場用拉普拉斯方程式表示：2A=-0J0 （160）2x，2+2z，2Ayn=-0Jyne-iknz （161）解為：Ayn=Aynp+Aynh （162）其中Aynp是特解，Aynh是通解。Aynp=0kn2Jyn （163）通解類似于永磁鐵的解法：在f邊界x=；在g邊界x=0；BznfBzng=kncoshknxsinhkn-coshkn-xsinhkncoshknxsinhkn-coshkn-xsinhk

44、nAynfAyng+-coshknx+coshkn-xsinhkncoshknx-coshkn-xsinhkn0knJyn=kncothkn-1sinhkn1sinhkn-cothknAynfAyng+1-coshknsinhkncoshkn-1sinhkn0kn （164）Bze=-knAyne （165）Bzh=knAynh （166）通過磁矢勢的邊界處連續，得：Ayne=Aynf （167）Ayng=Aynh （168）定子繞組表面無面電流，邊界條件：-Bzna+Bzna=0 （169）-Bznc+Bznd=0 （170）由上面8個方程式解8個未知數，得：Ayne=0Jyn2kn2(1-

45、e-kn) （171）Aynh=0Jyn2kn2(1-e-kn) （172）Bxne=j0Jyn2kn(1-e-kn) （173）Bzne=-0Jyn2kn(1-e-kn) （174）最后考慮中間的部分。由于中間部分是氣隙，沒有磁源，所以繞組和永磁陣列分別的磁場強度表達式：BzndBzne=kncothknx0-1sinhknx01sinhknx0-cothknx0AyndAyne （175）總磁場永磁陣列和繞組的磁場在氣隙處的疊加就是要求的合磁場永磁陣列和繞組電流的磁場在自由空間里都沿著x軸呈指數衰減，繞組電流在邊界d處產生的磁場在x，y，z，坐標系中表示。需先求出繞組電流在邊界d處產生的磁

46、場，由于BzndBzne=kncothknx0-1sinhknx01sinhknx0-cothknx0AyndAyne （176）其中Ayne=0Jyn2kn2(1-e-kn) （177）Bzne=-0Jyn2kn(1-e-kn) （178）最后求得Bznd=j0Jyn2kne-knx0(1-e-kn) （179）再將繞組電流在邊界d處產生的磁場在x，y，z，坐標系中表示，只需變換z坐標Bznd=-0Jyn2kne-knx0(1-e-kn)e-jknz （180）z=z，+z0Bznd=-0Jyn2kne-knx01-e-kne-jknz，+z0-0Jyn2kne-knx0(1-e-kn)e-

47、jknz0e-jknz， （190）Bznd=-0Jyn2kne-knx0(1-e-kn)e-jknz0 （191）同理求得Bxnd；最后結果是：Bxnd=j0Jyn2kne-knx0(1-e-kn)e-jknz0 （192）Bznd=-0Jyn2kne-knx0(1-e-kn)e-jknz0 （193）將它和永磁陣列在d處的磁場疊加，求出合磁場：Bxnd=j0Jyn2kne-knx0(1-e-kn)e-jknz0+-j0knMzn2kn+0Mxn2(1-e-kn) （194）Bznd=-j0Jyn2kne-knx01-e-kne-jknz0+-0Mzn2-j0knMxn2kn(1-e-kn)

48、 （195）Halbach陣列的磁場分析1973年在對永磁體進行拼裝實驗時，美國學者Mallinson發現了一種奇特的永磁體結構，他把這種結構稱作magnetic curiosity，當時他沒有意識到這種結構的應用價值。1979年在利用各種永磁體結構產生的磁場做電子加速實驗時，美國勞倫斯伯克利國家實驗室的KlausHalbach也發現了這種特殊的永碰體結構，他逐步完善這一結構，最終形成了Halbach陣列的概念，目前該陣列已在很多領域中得到了席用。并在八、九十年代被許多研究機構相繼應用于新一代的粒子加速器、自由電子激光裝置、同步輻射裝置等高能物理領域，因其具有很多優良特性，20世紀90年代中期

49、，國際上逐漸開始重視其在電機領域的應用。通常的永磁電機設計，永磁體多采用徑向與切向陣列，Halbach永磁體陣列將徑向與切向陣列結合在一起，合成的結果使一側磁場增強而另一側磁場減弱，從而能夠達到對磁場能的最大利用。而且一些應用中磁屏蔽是必須的(例如在磁懸浮列車應用中，車廂里必須實現碰屏蔽，否會對乘客的健康造成負面影響)，因此具有單邊磁特性的永磁陣列或者繞組結構很有實用價值。但是，理想的Halbach磁體陣列是不存在的，而準Halbach結構永磁陣列則由不同的結構而具有不同的性能，其參數，磁化角度，材料等對陣列產生磁場的優劣有著十分重要的影響。Halbach永磁體陣列具有一些適用于電機的優良特性

50、：Halbach永磁體陣列可以得到在空間按理想正弦分布的磁場，可大大減弱電機的齒槽效應力矩。即使采用每極較少的永磁體段數，也可以得到和理想Halbach永磁體陣列類似的磁場分布。這些特點使得采用Halbach永磁體陣列的電機齒槽效應第二章基于Halbach陣列楔形氣隙盤式無鐵心永磁同步電機的結構力矩幾乎可以忽略不計，有利于提高電機的性能。采用較少段數的Halbach陣列以及簡單繞組和定、轉子非斜槽結構，就可以得到理想的正弦分布的磁場，制造電機的成本降低。Halbach永磁體陣列的一側磁場很強，另一側很弱。這一特性有助于提高電機氣隙中的磁密，從而提高電機的力能密度和縮小電機體積。同時，可以大大減

51、弱電機軛部的磁通，即該陣列具有磁自屏蔽特性。既可以大大減小電機本體的漏磁現象，減少電機對外部環境的電磁干擾；又可以減少軛部鐵心的質量，有助于降低成本；還可以使電機轉子的質量和轉動慣量相應變小，有助于提高電機的動態特性。Halbach永磁體陣列可以提高電機的效率。與常規的永磁體徑向勵磁結構的電機相比，采用Halbach陣列電機的空載損耗降低。采用Halbach永磁體陣列，可以降低電機的電磁力矩脈動，降低對電機軸承的要求。Halbach永磁體陣列按其加工方式，主要有兩種：一種是整體環形充磁；另一種是拼裝。在本設計中采用的是拼裝Halbach永磁體陣列。雖然理論上來說，整體環形充磁的效果要理想，但就

52、現有技術來說整體環形充磁的工藝還不完善，技術性能達不到，而且拼裝工藝也能得到比較滿意的結果，是目前主要采用的方法。Halbach陣列磁化強度的傅立葉系數可由下公式求出。Mxn=1l0lMxejknzdz （196）Mzn=1l0lMzejknzdz （197）Mz-M0M0zl2l0-M0M0z0l2lMxlz0lx=l4Halbach陣列的磁化強度分布情況如圖，可以求得Mx、Mz：Mx=M0，ml-l8zml+l8-M0，ml+3l8zml+5l80，even （198）Mz=M0，ml+l8zml+3l8-M0，ml+5l8zml+7l80，even （199）可以知道，Mx、Mz為周期函

53、數，現把這個周期函數看成是許多不同頻率的簡諧振動的疊加。圖給出了Halbach陣列的磁化強度分布，每對磁極由四段永磁體構成，空間周期l=mm,陣列厚度=l4=mm。永磁體采用釹鐵硼永磁體，剩磁Br=1.03T，磁化強度M0=Br0。通過歐拉公式ejknz=cosknz+jsinknz，可以求得傅立葉系數：Mxn=1l0lMxejknzdz=1l0lMxcosknz+jsinknzdz=2M0n，n=8m+1or8m+3-2M0n，n=8m+5or8m+70，even（200）Mzn=1l0lMzejknzdz=1l0lMzcosknz+jsinknzdz=jnMxn （201）求永磁體在d邊界

54、下方x處（設為i點）產生的磁場，由于BzndBzni=kncothknx-1sinhknx1sinhknx-cothknxAyndAyni （202）其中Aynd=-0Mzn2kn-j0Mxn2kn(1-e-kn) （203）Bdzn=-0Mzn2-j0knMxn2kn(1-e-kn) （204）最后求得：Bzni=-0Mzn2-j0knMxn2kn(1-e-kn)ekn （205）同理求得：Bzn=-0Mzn2-j0knMxn2kn1-e-knekn，x0-0Mzn2+j0knMxn2kn1-e-kne-knx-，x （206）Bxn=-j0knMzn2kn+0Mxn2(1-e-kn)ekn

55、，x0-j0knMzn2kn+0Mxn2(1-e-kn)e-knx-，x （207）式（207）為永磁陣列x方向磁感應強度的傅立葉系數，式（206）為z方向磁感應強度的傅立葉系數。把（200）、（201）式代入式（206）、（207），并代入x=和X=0，可計算出邊界a和d處x方向磁感應強度的諧波，同理可計算出邊界d下方和邊界a上方各處的磁場。計算出了磁場的分布，就可以根據實際情況求得垂直力和驅動力的大小。從而進行后續的設計以至于達到精確度要求。M=n=-Mxnix+Mzniz=n=-Mxne-jknz,ix+Mzne-jknz,iz參考文獻1陳秉乾，舒幼生，胡望雨：電磁學專題M.高等教育出版

56、社，2001,12.2勞（Rao，N，N）美（邵小桃，郭勇，王國棟譯）:電磁場基礎M.電子工業出版社,2010,1.3鐘江帆：大學物理M.高等教育出版社，2004,1.4趙凱華，陳熙謀：電磁學M.高等教育出版社，2003,4. 5Kim W J.High-Precision Planar Magnetic LevitationD.MIT,1997.6周贛，基于Halbach永磁陣列的高精度平面電機的研究D.東南大學，2009.7電磁力的分析在把麥克斯韋方程組應用到電機時，需要做一些修改。首先，因為電機的電源頻率一般比較低，所以位移電流Dt可以忽略不計。其次式E=-Bt是在導電煤質和磁場之間沒有

57、相對運動的條件下推導出來的，當導電煤質（各向同性）在交變磁場中運動（其速度比光速小很多）時，在導電煤質中除了由于磁場隨時間發生變化產生的感應電場E之外，還有導電煤質和磁場間有相對運動產生的速度電場vB,這兩種電場在導電煤質中引起的感應電流為J=（E+vB）。在電機電磁場中，常常需要計算電磁場對電流的作用力。在靜電場E和磁場B同時存在的空間，運動電荷受到的總力F由洛倫茲力方程決定，即F=q（E+vB）式中：v電荷在磁場中的運動速度。在電機中實際不存在自由電荷，故式可以修改成為F=qvB=JB該式就是計算電機電磁力（磁場對電流的作用力）的一個基本公式。Maxwell應力張量法這里采用Maxwell

58、應力張量法求解電磁力，Maxwell應力張量法是計算力和力矩的有效工具，通過它計算電磁力可以避免復雜的體積分。由于張力密度能被寫成應力張量的散度形式。假設力密度的第i個分量可以寫成下面的形式：Fi=Tijxj；（F=T）這里運用了愛因斯坦求和約定（Einstein summation convention）。為了避免復雜的體積分，我們可以通過高斯定理輕松地把體積分變成面積分，現在通過定義一個矢量Gi=Ti1i1+Ti2i2+Ti3i3由上1式有：VFidV=VGidV=sGinda帶入2式，有：VFidV=sTijnjda于是作用在封閉面S上的電磁力可通過下式積分表示出來。fi=sTijnjd

59、a其中：fi為待求力的分量；nj是面積微元da法向矢量的第j個分量。在這里我們對下標是重復的重復復數在整個坐標系中采用愛因斯坦求和約定（Einstein summation convention）。比如：fx=sTxxnx+Txyny+Txznzda. 通過Kornteweg-Helmholtz力密度公式Maxwell應力張量TijTij=HiHj-2ijHkHk這里ij是Kornecker三角ij=1, i=j0, ij于是可以求得：Tij=2（H2x-H2y-H2z）(HxHy)(HxHz)(HxHy)2（H2y-H2x-H2z）(HyHz)(HxHz)(HyHz)2（H2z-H2y-H2x）電磁力的解析在分析電磁力時，可以假設永磁鐵為一個封閉的立方體曲面，該曲面包含Halbach的一對磁極，底面邊界為d，通過式 來計算電磁力。為了分析的目的，需做如下的假設：假設立方體在x方向無限寬，即上表面在無限遠處，這時上表面場強為零。由于y軸方向磁場為零，所以法線沿y軸方向的兩個側面的積分和為零。由于場的