1、第三節圓的方程課程標準解讀回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程. 知識排查微點淘金知識點一圓的定義與方程知識點二點與圓的位置關系圓的標準方程為(xa)2(yb)2r2(r0)，圓心C的坐標為(a，b)，半徑為r，設M的坐標為(x0，y0)微思考1二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的條件是什么？提示：eq blcrc (avs4alco1(AC0，,B0，,D2E24AF0.)2寫出圓x2y2DxEyF0和兩坐標軸都相切的條件提示：eq blcrc (avs4alco1(D2E24F0，,D2E24F.)常用結論以A(x1，y1)，B(x2，y

2、2)為直徑端點的圓的方程為(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.小試牛刀自我診斷1思維辨析(在括號內打“”或“”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑()(2)已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則以AB為直徑的圓的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.()(3)若點M(x0，y0)在圓x2y2DxEyF0外，則xeq oal(2,0)yeq oal(2,0)Dx0Ey0F0.()(4)方程(xa)2(yb)2t2(tR)表示圓心為(a，b)，半徑為t的圓()答案：(1)(2)(3)(4)2已知圓C經過A(5,2)，B(1，4)兩點，圓心在x軸上，則圓C的方程為_.答案：

3、(x1)2y2203點M(3，6)到圓(x3)2(y2)216上點的最大距離為_.答案：84(忽視圓的充要條件)若方程x2y2mx2y30表示圓，則m的取值范圍是_.解析：將x2y2mx2y30化為圓的標準方程得eq blc(rc)(avs4alco1(xf(m,2)2(y1)2eq f(m2,4)2.由其表示圓可得eq f(m2,4)20，解得m2eq r(2).答案：(，2eq r(2)(2eq r(2)，)5(錯用點與圓的位置關系判定)若點(1,1)在圓(xa)2(ya)24的內部，則實數a的取值范圍是_.解析：因為點(1,1)在圓內，所以(1a)2(1a)24，即1a0)，因為點A(4

4、,1)，B(2,1)在圓上，故eq blcrc (avs4alco1(4a21b2r2，,2a21b2r2，)又因為eq f(b1,a2)1，解得a3，b0，req r(2)，故所求圓的方程為(x3)2y22.答案(x3)2y22求圓的方程時，應根據條件選用合適的圓的方程一般來說，求圓的方程有兩種方法：(1)幾何法：通過研究圓的性質進而求出圓的基本量確定圓的方程時，常用到的圓的三個性質：圓心在過切點且垂直切線的直線上；圓心在任一弦的中垂線上；兩圓內切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線(2)代數法：即設出圓的方程，用待定系數法求解學會用活1(2021湖北八校聯考)已知圓C的圓心在y軸上，點M(3,

5、0)在圓C上，且直線2xy10經過線段CM的中點，則圓C的標準方程是()Ax2(y3)218Bx2(y3)218Cx2(y4)225Dx2(y4)225解析：選C設圓C的圓心坐標為(0，b)，則線段CM的中點坐標為eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(b,2)，因為直線2xy10經過線段CM的中點，所以2eq f(3,2)eq f(b,2)10，解得b4，所以圓C的圓心坐標為(0,4)，半徑r|CM| eq r(032402)5，所以圓C的標準方程是x2(y4)225.故選C二、綜合探究點與圓有關的軌跡問題(思維拓展)典例剖析例2(1)點P(4，2)與圓x2y24上任意一

6、點連線的中點的軌跡方程是()A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24D(x2)2(y1)21解析選A設圓上任意一點的坐標為(x1，y1)，其與P點連線的中點坐標為(x，y)，則eq blcrc (avs4alco1(xf(x14,2)，,yf(y12,2)，)即eq blcrc (avs4alco1(x12x4，,y12y2，)代入x2y24，得(2x4)2(2y2)24，化簡得(x2)2(y1)21.(2)已知圓C：(x1)2(y1)29，過點A(2，3)作圓C的任意弦，則這些弦的中點P的軌跡方程為_.解析設P(x，y)，圓心C(1,1)因為P點是過點A的弦的

7、中點，所以eq o(PA,sup6()eq o(PC,sup6().又因為eq o(PA,sup6()(2x,3y)，eq o(PC,sup6()(1x,1y)所以(2x)(1x)(3y)(1y)0.所以點P的軌跡方程為eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,2)2(y2)2eq f(5,4).答案eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,2)2(y2)2eq f(5,4)拓展變式變條件若將本例(2)中點A(2,3)換成圓上一點B(1,4)，其他條件不變，則這些弦的中點P的軌跡方程為_.解析：設P(x，y)，圓心C(1,1)當點P與點B不重合時，因為P點是過點B的弦的中點

8、，所以eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()，又因為eq o(PB,sup6()(1x,4y)，eq o(PC,sup6()(1x,1y)所以(1x)(1x)(4y)(1y)0.所以點P的軌跡方程為(x1)2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(5,2)2eq f(9,4)；當點P與點B重合時，點P滿足上述方程綜上所述，點P的軌跡方程為(x1)2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(5,2)2eq f(9,4).答案：(x1)2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(5,2)2eq f(9,4)求與圓有關的軌跡問題的方法(1)直接法，直接根據題目提

9、供的條件列出方程；(2)定義法，根據圓、直線等定義列方程；(3)幾何法，利用圓的幾何性質列方程；(4)代入法，找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式等學會用活2已知RtABC的斜邊為AB，且A(1,0)，B(3，0)，求：(1)三角形直角頂點C的軌跡方程；(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程解：(1)法一：設C(x，y)，因為A，B，C三點不共線，所以y0.因為ACBC，且BC，AC斜率均存在，所以kACkBC1，又kACeq f(y,x1)，kBCeq f(y,x3)，所以eq f(y,x1)eq f(y,x3)1，化簡得x2y22x30.因此，直角頂點C的軌跡方程為x2y22x30

10、(y0)法二：設AB的中點為D，由中點坐標公式得D(1，0)，由直角三角形的性質知|CD|eq f(1,2)|AB|2.由圓的定義知，動點C的軌跡是以D(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點不共線，所以應除去與x軸的交點)所以直角頂點C的軌跡方程為(x1)2y24(y0)(2)設M(x，y)，C(x0，y0)，因為B(3,0)，M是線段BC的中點，由中點坐標公式得xeq f(x03,2)，yeq f(y00,2)，所以x02x3，y02y.由(1)知，點C的軌跡方程為(x1)2y24(y0)，將x02x3，y02y代入得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此動點M的軌跡

11、方程為(x2)2y21(y0)三、應用探究點與圓有關的最值問題(多向思維)典例剖析思維點1幾何法求與圓有關的最值問題例3已知實數x，y滿足方程x2y24x10，則(1)eq f(y,x)的最大值和最小值分別為_和_；(2)yx的最大值和最小值分別為_和_；(3)x2y2的最大值和最小值分別為_和_.解析原方程可化為(x2)2y23，表示以(2,0)為圓心，eq r(3)為半徑的圓(1)eq f(y,x)的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設eq f(y,x)k，即ykx.當直線ykx與圓相切時(如圖)，斜率k取最大值或最小值，此時eq f(|2k0|,r(k21)eq r(3)，解得ke

12、q r(3).所以eq f(y,x)的最大值為eq r(3)，最小值為eq r(3).(2)yx可看作是直線yxb在y軸上的截距如圖所示，當直線yxb與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時eq f(|20b|,r(2)eq r(3)，解得b2eq r(6)，所以yx的最大值為2eq r(6)，最小值為2eq r(6).(3)x2y2表示圓上的一點與原點距離的平方由平面幾何知識知，在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值又圓心到原點的距離為2，所以x2y2的最大值是(2eq r(3)274eq r(3)，x2y2的最小值是(2eq r(3)274eq r(3).答案(1)eq r

13、(3)eq r(3)(2)2eq r(6)2eq r(6)(3)74eq r(3)74eq r(3)借助幾何性質求與圓有關的最值問題，根據代數式的幾何意義，借助數形結合思想求解(1)形如eq f(yb,xa)形式的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題；(2)形如taxby形式的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題；(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值問題，可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題思維點2代數法求與圓有關的最值問題例4設點P(x，y)是圓：x2(y3)21上的動點，定點A(2,0)，B(2,0)，則eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()的最大值為_.解析

14、由題意，知eq o(PA,sup6()(2x，y)，eq o(PB,sup6()(2x，y)，所以eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()x2y24，由于點P(x，y)是圓上的點，故其坐標滿足方程x2(y3)21，故x2(y3)21，所以eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()(y3)21y246y12.由圓的方程x2(y3)21，易知2y4，所以，當y4時，eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()的值最大，最大值為641212.答案12根據題中條件列出相關的函數關系式，再根據函數知識或基本不等式求最值學會用活3(2021桂林一模)已知A(0,2

15、)，點P在直線xy20上，點Q在圓C：x2y24x2y0上，則|PA|PQ|的最小值是_.解析：因為圓C：x2y24x2y0，故圓C是以C(2,1)為圓心，半徑req r(5)的圓設點A(0,2)關于直線xy20的對稱點為A(m，n)，則eq blcrc (avs4alco1(f(m0,2)f(n2,2)20，,f(n2,m0)1，)解得eq blcrc (avs4alco1(m4，,n2，)故A(4，2)連接AC交圓C于Q，由對稱性可知，|PA|PQ|AP|PQ|AQ|AC|r2eq r(5).答案：2eq r(5)4(2021銀川一模)設點P(x，y)是圓：(x3)2y24上的動點，定點A(0,2)，B(0，2)，則|eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()|的最大值為_.解析：由題意，知eq o(PA,sup6()(x,2y)