1、第二次習題課 1 內容簡介2 習題第1頁，共70頁。 1 內容簡介（一）周期信號 可以展開為三角形和指數型傅里葉級數。三角型指數型傅里葉級數單邊譜功率譜雙邊譜第2頁，共70頁。是偶函數；是奇函數。1.2.3.偶函數；奇函數，奇虛函數和偶諧函數的特點。4.單邊頻譜、雙邊頻譜 會畫。實偶函數的頻譜是實偶函數；實奇函數的頻譜是虛奇函數。5.周期信號的功率譜平均功率:第3頁，共70頁。周期矩形脈沖：幅高A，周期 T，脈寬 f(t)-/2/2AT2T-T-2T第4頁，共70頁。（二）非周期信號1. 傅里葉變換 正反變換的定義式；2. 頻譜密度 的物理意義；3. 周期信號 的復系數 與非周期信號 的頻譜密

2、度 的關系；實奇函數的頻譜密度是虛奇函數。實偶函數的頻譜密度是實偶函數；實信號 有第5頁，共70頁。（1）典型信號(10對)的傅氏變換第6頁，共70頁。第7頁，共70頁。（2）傅氏變換的性質線性對稱性尺度變換性時移性頻移性第8頁，共70頁。時域卷積頻域卷積時域微分頻域微分則時域積分若第9頁，共70頁。（3）周期信號傅氏變換信號的頻帶寬度：0 第一個零交點； 其頻譜的 090能量。第10頁，共70頁。（三）傅氏變換分析法已知激勵 x(t)，求系統零狀態響應 y(t)(2)求系統函數H（）系統的頻帶寬度(下降到最大值的 處。)第11頁，共70頁。求 H（）：1.由微分方程2.由電路頻域模型3.由4

3、 . 由 ，求可以用來方便地求穩態響應。如：先假設：,應用4.,得再激勵、響應均取實部，再均移位 、放大 5 倍，即可。第12頁，共70頁。（四）非周期能量信號的能量譜密度：非周期能量信號的能量：信號的脈沖寬度和頻帶寬度單個矩形脈沖：第13頁，共70頁。（五）系統不失真傳輸的條件：時域表示：頻域表示：理想低通濾波器頻域表示：第14頁，共70頁。理想低通濾波是物理不可實現的，是 “非因果系統”。從階躍響應可以看出，即使信號通過這樣的理想系統，它也有可能發生失真。信號通過線性系統發生的失真稱為線性失真：1.幅度失真；2.相位失真。定義了“上升時間”：第15頁，共70頁。時，信號 要滿足兩條：1.有

4、限帶寬；即（六）取樣定理2.取樣頻率滿足：奈奎斯特取樣率:或:實現:或:其它非正弦周期信號第16頁，共70頁。2 . 習 題第17頁，共70頁。（一）信號f1(t)和f2(t) 、f3(t)的波形如圖所示。0tf1(t)11T01T-1Ttf3(t)2T-1-T-2T(1)試求f1(t)和f2(t)的頻譜密度函數F1()和F2()；(2)求f3(t)的傅里葉復系數F3(n0)和頻譜密度函數F3()。f2(t)t01T-1T第18頁，共70頁。解:(1)對于f1(t)，求其導數f1(t)0tf1(t)11Ttf1(t)101T(1)第19頁，共70頁。由圖可看出0tf1(t)11Tf2(t)t0

5、1T-1T第20頁，共70頁。（2）由圖可看出f3(t)是f2(t)的周期延拓函數并且TTT第21頁，共70頁。（二）用可變中心頻率的選頻回路能否從圖示的周期矩形信號中選取5KHZ，12KHZ，50KHZ，80KHZ和100KHZ頻率分量。(重復頻率f0=5KHZ，=20s, E=10V)f(t)-/2/2ET2T-T-2T第22頁，共70頁。解（1）已知基波頻率f0=5KHZ，依據f(t)頻譜中出現頻率為f0的整數倍，可判斷12KHzmf0(m為整數)，頻率為f0的整數倍所以不能選出。(2）f(t)的傅立葉復系數這里 A=E=10V ， T=1/f0=0.2ms ， =20s ，0=2f0=

6、10 k rad/s，所以第23頁，共70頁。包絡線是一取樣函數，其圖形如左零交點位置即當時，頻譜的幅值為0。第24頁，共70頁。此時頻率所以不能選出50 KHz，100 KHz頻率分量。綜合(1)(2)，只能選出5 KHz，80 KHz頻率分量。第25頁，共70頁。(三)已知圖中f1(t)的傅氏變換是寫出其余波形的傅氏變換式。01t2f1(t)01t2f2(t)-1解：第26頁，共70頁。t012f3(t)-101t-2f4(t)-1第27頁，共70頁。01t-2f5(t)-12013f6(t)-1t第28頁，共70頁。(四)求下列信號的傅氏變換(a)-3-1013tfa(t)1解：設則第2

7、9頁，共70頁。t(b)1-101fb(t)解：求 fb(t) 的導數圖形為t1-101(1)第30頁，共70頁。（c）已知,求解：而第31頁，共70頁。(d)解：由公式：利用對稱性取有有線性：第32頁，共70頁。(e)求fe(t)的傅氏變換的虛部fe(t)t1234-1-212-1解：因為（偶）（奇）其中而如圖所示。第33頁，共70頁。fe(t)t1234-1-212-10tfoe(t)1-14-4第34頁，共70頁。t1-1-/2/2(f)解：對于根據調制定理第35頁，共70頁。(五)求下列信號的傅氏反變換解：由公式由對稱性由公式第36頁，共70頁。由時域卷積定理：第37頁，共70頁。解：

8、由由頻移性第38頁，共70頁。解：由得 考慮到能量信號積分后成了功率信號。頻域多了一項。由時域積分性質第39頁，共70頁。又有得得第40頁，共70頁。f(t) 如圖所示-1/21/2-11tf(t)第41頁，共70頁。(4)00解：定義做：1第42頁，共70頁。(4)00解：用性質做：利用時移性其中， 為時移因子：1第43頁，共70頁。解：依據傅氏變換的定義001第44頁，共70頁。解：依據傅氏變換的性質001它有左、右兩邊的半個門組成，為其中 為頻移因子，同理，有第45頁，共70頁。得第46頁，共70頁。（六）限帶信號f(t)的頻譜密度如圖(a)所示，試作出當f(t)通過圖(b)的系統時，在

9、系統A，B，C，D各點的頻譜密度，圖(b)中兩濾波器的截止頻率均為0弧度/秒；（ 0 1 ），相移為零，即1(a)ABCD(b)第47頁，共70頁。解：A 是 f(t) 經過 cos0(t)調制01/2B是fA(t)經過H1()高通濾波器。0K/2第48頁，共70頁。C是fB(t)經過cos（ 1+ 0）t調制0K/4D是fC(t)經過H2()低通濾波0K2/4第49頁，共70頁。（七）已知某系統函數輸入試求系統的零狀態響應 ，并指出響應中的強制分量與自然分量。若系統函數激勵為周期信號試求 系統的零狀態響應y(t) , 并討論傳輸是否引起失真。第50頁，共70頁。解：強制響應自然響應全部是暫態

10、響應第51頁，共70頁。產生失真第52頁，共70頁。（八）已知周期矩形脈沖 f1(t) ，它的脈幅為E，脈寬為，其傅里葉變換以F()表示 ，若f1(t)被間隔為TS的沖激序列所取樣 ，令取樣后的信號為 fS(t) ，試求 其傅氏變換FS()。0第53頁，共70頁。解：設單個矩形波，其頻譜為連續函數；若時域周期化，則等價于頻域取樣；即第54頁，共70頁。若時域取樣，等價于頻域周期化。即如有興趣，見清華大學 “信號與系統” P.229.第55頁，共70頁。（九）理想高通濾波器的其中 C 為截止角頻率 ，td為延遲時間。求理想高通濾波器的沖激響應。一信號通過理想高通濾波器，若要求輸出信號能量為輸入信

11、號能量的50% ，試確定理想高通濾波器的截止角頻率C。第56頁，共70頁。解：輸入信號能量或第57頁，共70頁。輸出信號能量即第58頁，共70頁。教科書 p.170. 3-42. 要求在不計算頻譜的前提下進行：(1)頻譜的相位函數相移因子故得第59頁，共70頁。(2)由傅里葉正變換定義式取 =0 , 得第60頁，共70頁。(3)由傅里葉反變換定義式取 t=0 , 得第61頁，共70頁。(4)設則又設1-3 -1 t1-1 1 t第62頁，共70頁。得則1-4 -3 -2 -1 1 2 t第63頁，共70頁。1-4 -3 -2 -1 1 2 t類(3)，可得上圖積分后的 t=0 時的值第64頁，共70頁。(5)由能量等式得能量與信號的波形有關，與出現的時間無關。故把波形的一半畫成21-1 1 2 tf (t )：01 t+112 2f 2(t )：01 (t+1)