1、第三章 靜磁場（6課時） 靜磁場的典型解法：磁矢勢法，磁標勢法，泰勒展開法靜磁場兩條定理與畢奧薩伐爾定律的等效性 靜磁場能量靜磁場能量表達式的嚴格推導；2. 靜磁場熱力學節次節 名小節標題3.1基本方程和唯一性定理基本方程，磁矢勢及其微分方程，無限均勻線性各向同性磁介質中的磁矢勢解，邊值關系，邊界條件和唯一性定理 3.2二維二分量問題二維二分量靜磁場的定解問題，二維二分量靜磁場的定解問題求解舉例3.3從磁矢勢出發計算磁場圓環電流的磁場，任意小載流導體在遠處的磁場，磁偶極子在外磁場中所受的力和力矩 3.4磁標勢法磁標勢的引入、相關方程和邊值關系，磁標勢法與靜電場解法的對應關系，磁標勢法應用舉例3

2、.5磁能磁能基本公式，安培力做功與磁能變化，小載流導體在外磁場中的磁能和勢能，靜磁場熱力學【提示】對比靜電場的分析方法8/20/202213.1 基本方程和唯一性定理基本方程 (分區均勻線性各向同性介質)（3.1.1)（3.1.3)（3.1.2)二 磁矢勢及其微分方程（3.1.6)（3.1.7)為減小 A 的任意性，對其散度加上條件（又稱規范條件）：（3.1.5)（3.1.4)對比靜電勢的泊松方程：說明：(3.1.7)的解必須滿足(3.1.5)，才是磁矢勢解！8/20/202223.1 基本方程和唯一性定理 轉換之后的定解問題變得更加復雜： 偏微分方程由一階增至二階 對 A 提邊界條件缺乏物理

3、依據和實用價值 為何要引入磁矢勢 A ？在無限均勻介質中，可類比靜電場直接寫出磁矢勢解：（3.1.8)對于二維二分量問題，A 只有一個分量，且具有明確的物理意義，便于直接計算或求解（套用靜電場各種解法）對時變場源情況，從A（和）出發計算輻射場比較方便，且便于實現經典電動力學向相對論電動力學和量子力學過渡結論：一般不直接求解 A8/20/202233.1 基本方程和唯一性定理 檢驗 A 的解是否滿足規范條件 檢驗的必要性 檢驗過程： 作用于 rj0(r )= 0=8/20/202243.1 基本方程和唯一性定理（3.1.13)三 邊值關系（3.1.12)n【備注】齊次邊值關系用于直接求解；非齊次

4、關系事后用來計算界面電荷密度（題目給定非零 i0 的情況例外）21 導出畢奧沙伐爾定律：（3.1.9)【推論】靜磁場兩條定理與畢奧薩伐爾定律等效或CC：界面任一側閉合回路推論：切向分量連續的矢量場，其旋度法向分量連續8/20/202253.1 基本方程和唯一性定理邊界條件和唯一性定理同第一章1.1節的任意矢量場的唯一性定理：給定磁場的散度（等于零）和旋度，以及邊界上的法向分量，解唯一。靜磁場的定解問題：多數情況下給定滿足自洽條件(無孤立磁荷)： 實際情況給定星體（如地球和太陽）表面的法向磁場強度超導體或磁場為零的理想導體：Bn 0（自洽邊界條件）8/20/202263.2 二維二分量問題一 二

5、維二分量靜磁場的定解問題猜：A = A e3，則正交曲線坐標系：u1, u2, u3; 拉梅系數：h1, h2, h3；二維：磁場和拉梅系數僅與坐標 u1, u2 有關(u3稱為“可忽略坐標”)二分量：B3 0j0 = j0 e38/20/202273.2 二維二分量問題基本方程：限于直角坐標系(x, y, z)和圓柱坐標系(, , z)（3.2.1)（3.2.2)（3.2.3)邊值關系：引入局地正交坐標系(en,e, ez) 局地坐標eneez直角坐標exeyez圓柱坐標eeez（3.2.4)（3.2.5)（3.2.6)磁介質界面：理想導體表面:8/20/202283.2 二維二分量問題邊界

6、條件：設 C 為解域邊界與 z = 0 平面的交線(閉合曲線) 它即為二維問題的邊界（3.2.6)（3.2.11)物理意義：表示通過1和2之間、沿 z 軸方向單位長度邊界面的磁通量對內部磁場為零的理想導體邊界，AC 為常數 給定理想導體柱的電流強度：與靜電場情況給定單位長度導體柱的電量相對應AC 常數給定 Bn|C:8/20/202293.2 二維二分量問題二 二維二分量靜磁場問題求解舉例例3.1 半徑為 a、電流強度為 I0 的長圓柱超導體,置于均勻外磁場中,外場方向與柱軸垂直,求柱外空間(真空)的磁場. 圖31xzB0Oa解 取圓柱坐標(, , z); B0沿 x 軸方向，取列出邊界條件和

7、正則條件：周期邊界條件（已體現在通解的選擇之中）遠處漸近條件: 均勻場長直線電流場（部分體現）導體電流強度和導體表面為等磁矢勢面（尚未使用）利用電流強度為I0 的條件：利用超導體表面等勢的條件：利用遠處（ ）均勻場條件：8/20/2022103.2 二維二分量問題(續解例3.1)式中無關緊要的常數 0 可通過適當選擇磁矢勢零點確定.解畢由磁矢勢A求得磁場分量如下：8/20/2022113.3 從磁矢勢出發計算磁場 一般情況下，從 B 的表達式出發更為直接、簡便 對于二維二分量問題，從 A (僅有一個分量)出發簡單一 圓環電流的磁場圖32yzOaxPrSrQRI取圓柱坐標(, , z); 圓環位

8、于 z 0 平面，半徑為a，電流強度為I，z 軸與電流方向成右手螺旋關系場點P：r (, , z); 源點S：r (a, , 0);關鍵在于寫出的表達式考察直角三角形PQS,成立, ,電流元：8/20/2022123.3 從磁矢勢出發計算磁場下面要解決兩個問題：磁矢勢只有一個分量：A=Ae (基于對稱性分析或解析證明）計算積分：一般使用泰勒展開法，求遠處的磁場由eze = 0,可知Az = ezA = 0； 再由證畢；這與二維二分量問題的磁矢勢只有第3分量的結論自洽8/20/2022133.3 從磁矢勢出發計算磁場遠場近似（泰勒展開）：圓環電流的磁矩磁偶極子場：（3.3.7)8/20/2022

9、143.3 從磁矢勢出發計算磁場二 任意小載流導體在遠處的磁場(對比電多級子場的分析過程)（3.3.8)（3.3.1)（3.3.9)由得由得第一項為零；8/20/2022153.3 從磁矢勢出發計算磁場任意載流導體的磁矩注意：磁矩計算結果與參考點選擇無關：將參考點由原點移至 r0，相應r r - r0：8/20/2022163.3 從磁矢勢出發計算磁場磁偶極子在外磁場中所受的力和力矩 (對比電偶極子受力分析） rOr圖33Or0dVB（3.3.15)（3.3.14)求導時視 m 為常矢量! 力：8/20/2022173.3 從磁矢勢出發計算磁場由磁偶極子受力公式：(求導時視 m 不變) 力矩：

10、僅保留 Be 展開式的主項【說明】以上略去了對磁四極子的力和力矩的分析8/20/2022183.4 磁標勢法一 磁標勢的引入、相關方程和邊值關系 在沒有傳導電流的空間,磁場滿足與沒有自由電荷的靜電場方程和邊值關系具有同樣的數學形式m：磁標勢磁標勢單值條件：限于單連通空間，避免C 與電流相互環繞單連通空間示例IC多連通空間示例CI8/20/2022193.4 磁標勢法分區均勻線性各向同性磁介質（3.4.8)（3.4.9) 邊值關系： 基本方程：永磁體（3.4.15) 邊值關系： 基本方程：8/20/2022203.4 磁標勢法二 磁標勢法與靜電場解法的對應關系 限于分區均勻線性各向同性介質(可含

11、永磁體，但不含傳導電流)表31 分區均勻各向同性介質和永電、磁體中的靜電場和靜磁場方程表32 電學量和磁學量的對應關系電學量ED0Pp磁學量HBmmm00M0m8/20/2022213.4 磁標勢法三 磁標勢法應用舉例 例3.2 半徑為a、磁導率為 的均勻介質球置于均勻磁場B0 之中,球外真空,求空間磁標勢和磁場分布.解 本問題與2.2節例2.3的靜電場問題對應,其電勢和電場分布如下：.轉換為磁場解：電學量EE00Pp磁學量HH0=B0/0m00M0m符號替換表：8/20/2022223.4 磁標勢法 (3.4.20)例3.2（續）由磁場強度求磁感應強度： (3.4.21)磁化介質球（磁化強度

12、M）產生的磁感應強度：8/20/2022233.4 磁標勢法例3.3 求半徑為 a、磁化強度為M 的永久磁鐵球產生的磁場.解 采用球坐標(r,）,原點位于球心，取嘗試分離變量解：滿足邊值關系：確定待定系數：代回嘗試解得： (3.4.24)(3.4.25)8/20/2022243.4 磁標勢法例3.4 半徑為 a 的長導體薄圓柱殼,沿軸線切成兩半,彼此絕緣,電勢分別為V，求該柱面內外的電勢分布。解 本問題的兩半圓柱殼均為等電勢面.在兩狹縫處置入長直線電流，強度相同，流向相反。可證明磁力線與圓柱面垂直，該面為等磁勢面。因此，待求電場與該磁場具有同樣的形式，即 ,xyOaII從上述兩式積分得到同樣結

13、果：理由： / x 和 / y 為同一個電勢函數(x,y)的偏導數8/20/2022253.4 磁標勢法例3.4（續）積分過程中用到如下不定積分公式：利用恒等式：上述兩式導致相同結果：8/20/2022263.4 磁標勢法例3.5 兩無限長任意截面的平行傳輸線,其間填滿均勻各向同性介質,介電常量為，磁導率為，單位長度電容和電感分別為L 和C，證明LC= .圖34C1PC2CQIEBdlezdl解 本題技巧性強,證明步驟如下：取直角坐標（x, y, z），z 軸與傳輸線平行。設傳輸線電流強度為I，單位尺度電量為，則式中V 和 與PQ連線C的選取無關：傳輸線表面為等電勢面和磁（力線）面（理想導體近

14、似）。運用靜電場的高斯定理和靜磁場的安培環路定理分別推得C1：傳輸線界面周線. ?8/20/2022273.4 磁標勢法(續解例3.5)?思路：在E 和B 之間建立某種關系依據：靜磁場解的唯一性定理； E 和B 同為勢場，彼此垂直嘗試：作矢量場比例系數 應與電流強度I 成正比，與電荷密度 成反比。（A）代入（A）式右邊，證得該式成立，證畢。于是成立8/20/2022283.5 磁 能 從電磁場能量和能量守恒普遍結果出發，導出磁場的能量表達式及守恒定理 靜磁場熱力學基本知識及簡單應用一 磁能基本公式(線性無損耗、無色散介質）靜磁場近似：略去輻射項(S = 0)，設電能始終為零(E = 0)，則外

15、界對靜磁場的功率：磁場的能量：能量守恒定理：1. 推導 (3.5.1) (3.5.4) (3.5.3) (3.5.2)； 重要說明：靜磁場線性磁介質系統的磁能8/20/2022293.5 磁 能2. 磁能公式轉換注意(1) 能量密度中包含介質極化能:(2) 因而介質必須是線性無色散、無損耗介質，但可非均勻(3) 在靜電能表達式(3.5.7)中，A 為總磁矢勢，j0 為傳導電流！(4) 可放心在非均勻（一般分區均勻）介質中使用(3.5.7)及相關能量守恒定理(3.5.4)： (3.5.7) (3.5.4) (靜電能密度）8/20/2022303.5 磁 能推導載流線圈的磁能公式 電磁學的結果（N

16、 個線圈的磁能）： 由一般磁能公式證明上述線圈磁能公式：證畢Ci ：第 i 個線圈回路i : 第 i 個線圈所圍面積Vi ：第 i 個線圈導線體積8/20/2022313.5 磁 能安培力做功與磁能變化1. 洛倫茲力不做功，為何安培力做功？BIvuFF+FAvv+l安培力來自洛倫茲力的宏觀平均：安培力對運動載流導線做功：8/20/2022323.5 磁 能安培力做功與磁能變化（續）rOr圖35Or0dVB2. 安培力做功與系統磁能變化的關系不出現非電磁力時，安培力做功等于磁能減小外接電池維持系統傳導電流不變時，安培力做功等于系統磁能增加；相應電池做兩倍的正功證 系統磁能（相互作用能）：(3.5

17、.8)(3.5.9)維持電流不變，安培力移動線圈做功：r0：載流導體參考點O 的位置矢量；r0 由 移至原點O(r00),求功;r：載流導體體積元dV 相對O的位置矢量（載流導體運動過程中不變）；r：載流導體體積元dV 相對O位置矢量；8/20/2022333.5 磁 能代入(3.5.9)得對體積分貢獻為零(3.5.9)證畢即當維持系統傳導電流不變時，安培力做功等于系統磁能增加。僅需考慮上式右邊第一項的貢獻，將該項對r0積分：8/20/2022343.5 磁 能三 小載流導體在外磁場中的磁能和勢能 前提：載流導體的傳導電流和外磁場維持不變 1. 磁能（相互作用能）表達式為上式右邊第一項為零，第

18、二項化為8/20/2022353.5 磁 能三 小載流導體在外磁場中的磁能和勢能（續）第一項為F，第二項化為面積分后證其消失。2. 安培力與磁能的關系：3. 勢能：定義為外界克服安培力所做的功：說明：分析具固有磁矩的基本粒子在外磁場中的運動時， 采用勢能取代磁能證明：8/20/2022363.5 磁 能四 靜磁場熱力學在非線性介質中，無法針對外界對傳導電流做功定義相對應的能量，怎么辦？一旦碰到這種情況，采用熱力學方法進行處理：承認能量守恒，一般伴隨功熱轉換的不可逆過程 靜磁場熱力學方程對可逆過程： (3.5.17) (3.5.18) 第一章第4節的一般結果 電磁場熱力學方程8/20/2022373.5 磁 能圖36OHM例3.6 計算各向同性鐵磁體的磁滯損耗, 證明磁滯回線只可能逆時針運行. 解 按圖示磁滯回線運行方向，對絕熱過程有在反復磁化過程中，功全部轉化為熱能.若磁滯回線運行方向改為順時針，則上述積分變負，即系統損失熱能（冷卻），并全部轉化為功；換言之，從單一熱源取熱，全部轉換為功 違反熱力學第二定律！結論：任何各向同性鐵磁體的磁滯回線只可能逆時針運行證畢8/20/2022383.5 磁 能例2.13 證明線性各向異性磁介質的磁導率為對稱張量。 證 引入熱力學函數 d 為全微分： 證畢8/20/2022393.5 磁 能