1、幾何綜合題復習幾何綜合題是中考試卷中常見的題型，大致可分為幾何計算型與幾何論證型綜合題，它主要考查考生綜合運用幾何知識的能力。一、幾何論證型綜合題例1、(鹽城)如圖，已知：。0與OO2是等圓，它們相交于A、B兩點，。02在OO1上，AC是OO2的直徑，直線CB交0O于D,E為AB延長線上一點，連接DE。請你連結AD,證明：AD是OO1的直徑；若ZE=60，求證：DE是OO1的切線。分析：解幾何綜合題，一要注意圖形的直觀提示，二要注意分析挖掘題目的隱含條件，不斷地由已知想可知，發展條件，為解題創條件打好基礎。證明：E連接AD，VAC是OO2的直徑，AB丄DC.ZABD=90。，AAD是OO1的直

2、徑證法一：VAD是OO1的直徑，AO為AD中點連接O1O2，V點02在OO1上，00與OO2的半徑相等，AO1O2=AO1=AO2/.ao1o2是等邊三角形，?.ZAO1O2=60由三角形中位線定理得：002DC,?.ZADB=ZAO1O2=60VAB丄DC,ZE=60,.ZBDE=30,ZADE=ZADB+ZBDE=60+30=90。又AD是直徑，ADE是OO1的切線證法二：連接002，點02在OO1上,o1與02的半徑相等，.點01在oo2AO1O2=AO1=AO2，/.ZO1AO2=60*AB是公共弦，AAB丄0102,AZO1AB=30VZE=60AZADE=180(60+30)=90

3、由(1)知：AD是的00直徑，DE是00的切線.說明：本題考查了三角形的中位線定理、圓有關概念以及圓的切線的判定定理等。練習一如圖，梯形ABCD內接于00,ADBC,過點C作00的切線，交BC的延長線于點P,交AD的延長線于點E,若AD=5,AB=6,BC=9。求DC的長；求證：四邊形ABCE是平行四邊形。已知：如圖，AB是00的直徑，點P在BA的延長線上，PD切00于點C,BD丄PD,垂足為D,連接BC。D求證：(1)BC平分ZPBD；(2)BC2=ABBDCPAOB圖512PC切00于點C,過圓心的割線PAB交00于A、B兩點，BE丄PE,垂足為E,BE交00于點D,F是PC上一點，且PF

4、=AF,FA的延長線交00于點G。PCPO求證：(1)ZFGD=2ZPBC；(2),小=.AGAB已知：如圖，AABC內接于00,直徑CD丄AB,垂足為E。弦BF交CD于點M,交AC于點N,且BF=AC，連結AD、AM,求證：(1)AACM9ABCM；ADBE=DEBC；BM2=MNMF。已知：如圖，AABC中，AC=BC,以BC為直徑的00交AB于點D,過點D作DE丄AC于點E,交BC的延長線于點F.求證：(1)AD=BD；(2)DF是00的切線.二、幾何計算型綜合題解這類幾何綜合題,應該注意以下幾點：注意觀察、分析圖形,把復雜的圖形分解成幾個基本圖形,或通過添加輔助線補全或構造基本圖形；靈

5、活運用數學思想與方法.例2.如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點0,E、F分別是0A、0B的中點.(1)求證：ADE9ABCF；(2)若AD=4cm,AB=8cm,求CF的長.解：(1)V四邊形ABCD為矩形，例2題).AD=BC,0A=0C,0B=0D,AC=BD,ADBC,.0A=0B=0C,ZDAE=Z0CB,AZ0CB=Z0BC,AZDAE=ZCBF.又VAE=1OA,BF=1OB,：AE=BF,22ADE9ABCF.（2）解：過點F作FG丄CD于點G,則ZDGF=90,VZDCB=90,AZDGF=ZDCB,又VZFDG=ZBDC,ADFGDBC,.FG_DF_DGBCDBD

6、C由（1）可知DF=3FB，得DF3,D（例2）DB4.FG3DG,FG3,DG6,448GC=DC-DG=8-6=2.在RtAFGC中，CFFG2+GC2=9+4=13.說明：本題目考查了矩形的性質，三角形全等的判定以及相似三角形的判定及性質。練習二已知：如圖，直線PA交00于A、E兩點，PA的垂線DC切00于點C,過A點作00的直徑AB。求證：AC平分,DAB；若DC=4,DA=2，求00的直徑。已知：如圖，以RtABC的斜邊AB為直徑作00,D是00上的點，且有AC=CDO過點C作00的切線，與BD的延長線交于點E,E連結CDoCD試判斷BE與CE是否互相垂直?請說明理由；若CD=25，

7、tanZDCE=1，求00的半徑長。2如圖，AB是00的直徑，BC是00的切線，D是00上的一點，且ADC0。(1)求證：AADBsAOBC；(2)若AB=2,BC=2，求AD的長。(結果保留根號)4.如圖，AD是ABC的角平分線，延長AD交ABC的外接圓O于點E，過C、D、E三點的圓O交AC的延長線于點F，連結EF、DF.1(1)求證：AEFsFED；若AD=6,DE=3,求EF的長；(3)若DFBE，試判斷ABE的形狀，并說明理由.OiF5.如圖，已知四邊形ABCD內接于0O,A是BDC的中點，AE丄AC于A,與0O及CB的延長線分別交于點F、E,且BF=AD，EM切0O于M。(2)AC2

8、=2BCCE；如果AB=2,EM=3,求cotZCAD的值。能力提咼1、如圖矩形ABCD中，過A,B兩點的00切CD于E,求證：ZCEF=ZBAH若BC=2CE=6,求BF的長。如圖，00的弦AB=10,P是弦AB所對優弧上的一個動點，tanZAPB=2,若厶APB為直角三角形，求PB的長；P若厶人卩為等腰三角形，求AAPB的面積。OAB如圖1,已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點0，E是AC上一點，連結EB，過點A作AM丄BE,垂足為M,AM交BD于點F.求證:0E=0F；如圖2,若點E在AC的延長線上，AM丄BE于點M,交DB的延長線于點F,其它條件不變，則結論“0E=0F”還成立

9、嗎?如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由.如圖11，在ABC中，ZABC=90,AB=6,BC=8。以AB為直徑的00交AC于D,E是BC的中點，連接ED6并延長交BA的延長線于點F。求證：DE是00的切線;求DB的長；求S“ad：Safdb的值5已知：ABCD的對角線交點為0,點E、F分別在邊AB、CD上，分別沿DE、BF折疊四邊形ABCD,A、C兩點恰好都落在0點處，且四邊形DEBF為菱形(如圖).求證：四邊形ABCD是矩形；AB在四邊形ABCD中，求的值.BC如圖，AB是00的直徑，點C在BA的延長線上，CA=A0，點D在00上,ZABD=30.求證：CD是00的切線；若點P在直

10、線AB,0P與00外切于點B,與直線CD相切于點E,設00與0P的半徑r分別為r與R,求的值.EREDCAOBp7、知直線L與O相切于點A,直徑AB=6,點P在L上移動，連接0P交0O于點C,連接BC并延長BC交直線L于點D.若AP=4，求線段PC的長；（4分）若APA0與ABAD相似，求ZAP0的度數和四邊形0ADC的面積.（答案要求保留根號）/閣78、如圖7,已知BC是00的直徑，AH丄BC,垂足為D,點A為BF的中點，BF交AD于點E,且BEEF=32,AD=6.求證：AE=BE；(2)求DE的長；求BD的長.9、如圖1：00的直徑為AB,過半徑0A的中點G作弦CE丄AB,在CB上取一點

11、D,分別作直線CD、ED交直線AB于點F、Mo求ZC0A和ZFDM的度數；求證：FDMsCOM；如圖2：若將垂足G改取為半徑0B上任意一點，點D改取在EB上,仍作直線CD、ED,分別交直線AB于點F、M,試判斷：此時是否仍有FDMsCOM?證明你的結論。10、已知：如圖12,在直角梯形ABCD中，ADBC,BC=5cm,CD=6cm,ZDCB=60,ZABC=90。等邊三角形MPN(N為不動點)的邊長為acm,邊MN和直角梯形ABCD的底邊BC都在直線1上，NC=8cm。將直角梯形ABCD向左翻折180,翻折一次得到圖形，翻折二次得圖形，如此翻折下去。（1）將直角梯形ABCD向左翻折二次，如果

12、此時等邊三角形的邊長a2cm，這時兩圖形重疊部分的面積是多少？（2）將直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形與等邊三角形重疊部分的面積等于直角梯形ABCD的面積，這時等邊三角形的邊長a至少應為多少？（3）將直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形與等邊三角形重疊部分的面積等于直角梯形面積的一半，這時等邊三角形的邊長應為多少？圖1211、如圖，ABC是等邊三角形，00過點B,C，且與BA,CA的延長線分別交于點D,E.弦DFAC，EF的延長線交BC的延長線于點G.（1）求證：BEF是等邊三角形；（2）若BA=4，CG=2，求BF的長.12、已知：如圖，BD是

13、00的直徑，過圓上一點A作00的切線交DB的延長線于P,過B點作BCPA交00于C，連結AB、AC。求證：AB二AC；若PA=10,PB=5，求00的半徑和AC的長。13、如圖，AB是AABC的外接圓00的直徑，D是00上的一點，DE丄AB于點E,且DE的延長線分別交AC、00、BC的延長線于F、M、G.求證：AEBE=EFEG；連結BD，若BD丄BC,且EF=MF=2，求AE和MG的長.答案：練習一解：TAD/BC.ABDCDC=AB=6證明：TAD/BC,.ZEDC=ZBCD又TPC與00相切，.ZECD=ZDBC.CDEsbcdDCDE.BCDC.DEDC2BC62.AE=AD+DE=5

14、+4=9.A止BC四邊形ABCE是平行四邊形。證明：（1）連結0C。TPD切00于點C,又TBD丄PD,.0CBD。?.Z1=Z3o又T0C=0B,?.Z2=Z3o?.Z1=Z2,即BC平分ZPBDo連結ACoTAB是00的直徑，ZACB=90又TBD丄PD,ZACB=ZCDB=90.ABCsCBDBC2=ABBD又TZ1=Z2,.AB_BCCBBD(1)連結OCoTPC切00于點C,.OC丄PCoTBE丄PE,0CBEoCzPBEo又TZPBE=ZFGD,.ZP0C=ZFGDoTZP0C=2ZPBC,.ZFGD=2ZPBCo(1)連結BGTAB是的直徑，ZAGB=90o又T0C丄PC,ZPC

15、0=90,.ZAGB=ZPC0oG5-1-3圖TFP=FA,.ZFPA=ZPAF=ZBAGo.PC0sAAGBoPC_POAGAB4.證明：（1）丁直徑仞丄個，二由垂徑定理，知仞是弦佔的垂直罕分線-在ACM和砌f中，都是侶的垂直平分線如匕的點，.AMBM.ACBC.又vOlf=GW,AAAdfABOtf.（2）在和翩中*.ZAED=ZCEB=9GP,DAE=BCE.ZAEDsACER.人需二瓠即個低二冊冊G）連結AF.BFAC,/.RAFAFC,ABFCt,.CBF=ZAFB.由(小有金乂伽蘭厶月儷*/,ZCffllf=Z(W,AZ4ffl=Z/VW.在AMV和中，丁ZAJM=ZAtOf,ZA

16、MF=ZNMA,MANAfE4鬻二器，即AhtMNMF./AM-BM,二時=MNMF.5.(1)證法一：連結CD,BC為00的直徑，.CD丄ABVAC=BC,AD=BD.證法二：連結CD,BC為00的直徑.ZADC=ZBDC=90AC=BC,CD=CD.ACD9ABCD,.AD=BD(2)證法一：連結0D,ADEBOCFAD=BD,0B=0C.0DACDE丄AC.DF丄0DDF是00的切線.證法二：連結0D,OB=OD,/.ZBD0=ZBVZB=ZA,/.ZBD0=ZAVZA+ZADE=90,.ZBDO+ZADE=90Z0DF=90,.DF是00的切線.練習二1.(1)證法一：連結BCAB為0

17、0的直徑.ACB=90又7DC切00于C點DCA=BDC丄PE2.DAC=CAB(2)解法一：在RtAADC中，AD=2,DC=4.AC=AD2+DC2=25由(1)得RtAADCsRtAACBABac*ac=adAC2即Ab=ad202=10/.OO的直徑為10(1)證法二：連結0C.OA=OC.ACO=CAO又VCD切OO于C點OC丄DCVCD丄PA/OCPA.ACO=DAC.DAC=CAO(2)解法二：過點O作OM丄AE于點M,連結OCVDC切OO于C點/OC丄DC又VDC丄PA四邊形OCDM為矩形.OM=DC=4又DC2=DADEDE=8，AE=6，AM=3在RtAAMO中,0A=OM

18、2+AM2=5即OO的直徑為10。B宓丄CE.;朋為0的直徑，tZACB=9CP.vAC=CDtCE是00的切線,.ECD=ZCW=ZASC.又tZcde二厶*ZCED=AACB=9Cf.二施丄CE.(2)在IUACKE中，vZCED=90jt：*tanDCE=+-設ED=t,JB|C=2A+由勾股定理，得DE2+CE2即*2+4A2=(2/5)2=ZPx4F=10ftao/X=2t代tanZP工-=2.,P2BAB102=2.RtAB0E9RtAAOF.OE=OF*PB=AP2-V+P-71(f+?=575.(2)側為等BS三角形時有三種情況：B4=PB.方袪一:作CW丄他，垂足為的反向延長

19、線交齊于P計則pa=p3bOT=畑-血=7i?-25|毗今+竽=呼*仏”如時片和1呼二呼I方法二:做線段AB的垂貢平分線，交0于點厲、&由相交孩定理得，P/HE,即25=(P3O+Off)(P3O-OH)=PjO2-耐,解得OH=.以上同方祛一.BABP方袪一:在00上取一點梗BPRA，連結AP4交P.B于G則AP4LPxB,AGP4G./*tanzB4C=tanzP=2.Air設加A趴則W=2*,由川爐+加=硏得、F十4以“00./,k-25*AG=2/5ffiG=475.ASxfB=AP4*BC-x45x4v3=40.方送二:作BG丄訊于6；心沁諾二乙C=2GP4.設CP4=x,則GB=2

20、aSP4-V5x.AB=BP4f：r/5x=lO,a*=275aAP4=2GP4=475.二也3(A40AB=AP與吩BP情況相同，免加二姒3.證明：四邊形ABCD是正方形.BOE=A0F=90.0B=0A又TAM丄BE,MEA+MAE=90=AFO+MAEMEA=AFO(2)0E=0F成立證明：四邊形ABCD是正方形，B0E=A0F=90.0B=0A又TAM，BE,F+MBF=90=B+0BE又MBF=0BE4.(1)證明：略(2)在RtAABC中，AB=6,325F=E.RtAB0E9RtAAOF.OE=OF.BC2=CDAC：CD=BC=8/.AC=1018AD=5又ADBBDC3218

21、.BD2=ADCD=55.FDAsAFBD24.BD=5(3)VZFDA=ZFBD/AD、.S:S=()2FADFDB5、(1)證明：連結0E四邊形ABCD是平行四邊形，D0=0B,.DE=BE,E0丄BD/.ZD0E=90即ZDAE=90又四邊形ABCD是平行四邊形，.四邊形ABCD是矩形(2)解：四邊形DEBF是菱形D/.ZFDB=ZEDB又由題意知ZEDB=ZEDA由(1)知四邊形ABCD是矩形/.ZADF=90。，即ZFDB+ZEDB+ZADE=90ZF=ZF916四邊形DEBF是菱形,則ZADB=60.在RtAADB中，有AD:AB=1:3即ABBC6、證明：連結0D、DA,AB是0

22、0的直徑，.ZBDA=90又ZABD=30,.AD=1AB=0A2方法一：連結PE，由(1)又AC=A0,Z0DC=90.CD切00于點D又VDE切0P于E,.PEICE知ZDAB=60，又AD=AC.PE=1CP2.ZC=30又PE=BP=R,CA=A0=0B=r.3r=R,即r1R3r2r即R3r+R方法二：連結PE,又TDE切0P于E,.PE丄CEODCO.0DPE=EPCP7、解：(1)l與O相切于點A,.OP2OA2+AP2PLFDOP=OC=1AB=3,AP=42,OP2=3242,OP二5,PC二5-3二2(2)PAOsABAD，且Z1Z2,Z4=Z4=90,2二APO,OB=O

23、C,2二31二2+3,1二2Z2二2ZAPO,4=900,1+ZAPO=9Oo,3APO=9Oo,APO=3Oo在RtABAD中，2=ZAPO=3Oo,AD二6tan3Oo二6x-2二233方法一：過點0作0E丄BC于點E,2=3Oo,BO=3,OE=3,BE=3xcon3Oo=口22,BC二2BE二33,S四邊形OADC二SSBADBOC=1ABAD-1BCOETOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark12022 HYPERLINK l bookmark9613=_x6x23_x33x HYPERLINK l bookmark10229=6334154方法二：在Rt

24、A0AP中，AP=6tan60o=33,0P=20A=6,，DP=AP一AD=3323=3,PC=OPOC=63=3,過點C作CF丄AP于F,ZCPF=3Oo,cf=2pc=3S四邊形OADC=S一SAOAPACDP11=2APA一2DPCF過點C作CF丄AP于F,ZCPF=3Oo,cf=2pc=3過點C作CF丄AP于F,ZCPF=3Oo,cf=2pc=31534&連AF,因A為的BF中點，：ZABE=ZAFB,又ZAFB=ZACB,ZABE=ZACB.BC為直徑，：ZBAC=90,AH丄BC,AZBAE=ZACB,AZABE=ZBAE,AE=BE.設DE=x(x0),由AD=6,BE-EF=32,AE-EH=BE-EF,有(6-x)(6+x)=32,由此解得x=2,即DE的長為2.由(1)、(2)有：BE=AE=6-2=4,在RtABDE中，BD=42-2=239、解(1)TAB為直徑，CE丄AB.AC=AE,CG=EG在RtACOG中，1TOG=OC2AZOCG=30o,ZCOA=60o又TZCD