1、第七節直接證明與間接證明1直接證明內容綜合法分析法定義利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的_，最后推導出所要證明的結論_從要_出發，逐步尋求使它成立的_，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件推理論證成立證明的結論充分條件2.間接證明反證法：假設原命題 _(即在原命題的條件下，結論不成立)，經過正確的推理，最后得出_因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法不成立矛盾1綜合法和分析法的區別和聯系是什么？【提示】綜合法的特點是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實際上是尋找它的必要條件分析法的特點：從“未知”看“需知”，逐步靠

2、攏“已知”其逐步推理實際上是尋求它的充分條件在解決問題時，經常把綜合法和分析法結合起來使用2反證法的關鍵是推出矛盾，所謂矛盾主要是指什么？【提示】反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾等 1(人教A版教材習題改編)用反證法證明命題“三角形三個內角至少有一個不大于60”時，應假設()A三個內角都不大于60B三個內角都大于60C三個內角至多有一個大于60D三個內角至多有兩個大于60【答案】B【答案】D【答案】b4定義一種運算“*”：對于自然數n滿足以下運算性質：1*11，(n1)*1n*11，則n*1_【解析】由(n1)*1

3、n*11，得n*1(n1)*11(n2)*121*1(n1)1n1n.【答案】n 定義在x0，1上的函數f(x)若x10，x20且x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，則稱函數f(x)為理想函數g(x)2x1(x0，1)是否為理想函數，如果是，請予證明；如果不是，請說明理由【思路點撥】根據理想函數的定義加以判定證明【嘗試解答】g(x)2x1(x0，1)是理想函數當x0，1時，g(x)2x1是增函數，201g(x)211，即0g(x)1，則函數g(x)(x0，1)滿足條件(1)，當x10，x20，且x1x21時，f(x1x2)2x1x21，f(x1)f(x2)2x12x22，f

4、(x1x2)f(x1)f(x2)2x1x22x12x212x1(2x21)(2x21)(2x21)(2x11)，x10，x20，2x110，2x210，f(x1x2)f(x1)f(x2)0，則f(x1x2)f(x1)f(x2)滿足條件(2)故函數g(x)2x1(x0，1)是理想函數 1綜合法是“由因導果”的證明方法，它是一種從已知到未知(從題設到結論)的邏輯推理方法，即從題設中的已知條件或已證的真實判斷(命題)出發，經過一系列的中間推理，最后導出所要求證結論的真實性2綜合法的邏輯依據是三段論式的演繹推理(2012湖南高考改編)已知函數f(x)rxxr(1r)，其中x0，r為有理數(1)若0r1

5、，求函數f(x)的最小值(2)試用(1)的結論證明命題：設a10，a20，b1，b2為正有理數，若b1b21，則a1b1a2b2a1b1a2b2.【解】(1)f(x)rrxr1r(1xr1)，令f(x)0，得x1，【思路點撥】從條件難以向結論轉化轉換角度從結論出發，尋找使結論成立的充分條件1對于無理不等式，常用分析法證明通過反推，逐步尋找結論成立的充分條件，正確把握轉化方向是使問題順利獲解的關鍵2對于較復雜的不等式，通常用分析法探索證明途徑，然后用綜合法加以證明，分析法的特點是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，優點是利于思考，因為它的方向明確，思路自然，而綜合法的優點是易于表述，條理清

6、晰，形式簡潔即證2a2acc20，即證(2ac)(ac)0.2acab0，ac0，(2ac)(ac)0成立，原命題成立. (2011安徽高考)設直線l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中實數k1，k2滿足k1k220.(1)證明：l1與l2相交；(2)證明：l1與l2的交點在橢圓2x2y21上【思路點撥】第(1)問采用反證法；(2)求直線l1與l2的交點坐標，代入橢圓方程驗證1當一個命題的結論是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出現時，直用反證法來證，反證法關鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛盾，與假設矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實矛盾等2用反證法證明不等式要把

7、握三點：(1)必須否定結論；(2)必須從否定結論進行推理；(3)推導出的矛盾必須是明顯的已知數列an的前n項和為Sn，且滿足anSn2.(1)求數列an的通項公式；(2)求證：數列an中不存在三項按原來順序成等差數列綜合法與分析法的關系：分析法與綜合法相輔相成，對較復雜的問題，常常先從結論進行分析，尋求結論與條件的關系，找到解題思路，再運用綜合法證明；或兩種方法交叉使用1.用分析法證明數學問題時，要注意書寫格式的規范性，常常用“要證(欲證)”“即要證”“就要證”等分析到一個明顯成立的結論2利用反證法證明數學問題時，要假設結論錯誤，并用假設命題進行推理，沒有用假設命題推理而推出矛盾結果，其推理過

8、程是錯誤的反證法證明的關鍵：(1)準確反設；(2)從否定的結論正確推理；(3)得出矛盾從近兩年高考試題看，綜合法、分析法是高考考查的熱點，主要考查考生的觀察、抽象概括、聯想等思維能力，同時也考查考生運用綜合分析法分析問題、解決問題的能力多在知識的交匯處命題，如數列、立體幾何中的平行垂直、不等式、函數、解析幾何等都可能考查在具體求解時，應注意運用轉化與化歸思想尋求解題思路【解析】中，a2b2(ab)(ab)1，a，b為正實數，若ab1，則必有ab1，不合題意，故正確【答案】易錯提示：(1)解題時不注意分析題目中條件與結論的差異之處，不能化異為同，從而導致無從下手或無的放矢(2)忽視命題真假不定，

9、而一味地證明其為真，導致事倍功半，甚至出現錯誤防范措施：(1)注意培養觀察能力，即觀察條件、結論，且能從數學的角度揭示其差異，如“高次低次”、“分式(根式)整式”、“多元一元”等，從而為我們的化歸轉化指明方向，奠定基礎(2)注意這類判斷命題真假的題目，其解法上既要規范，又要靈活當判斷為真時，需嚴格地推理證明；而判斷為假時，只需舉一反例即可1(2012江西高考改編)下列命題中，假命題為()A存在四邊相等的四邊形不是正方形Bz1，z2C，z1z2為實數的充分必要條件是z1，z2互為共軛復數C若x，yR，且xy2，則x，y至少有一個大于1D對于任意nN*，2n都是偶數【解析】選項B中，若z1z2為實

10、數，則保證z1，z2虛部互為相反數即可，并不需要z1，z2互為共軛復數，如z11i，z22i.故B不對【答案】B第八節數學歸納法及其應用1數學歸納法證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：(1)(歸納奠基)證明當n取_時命題成立；(2)(歸納遞推)假設nk(kn0，kN*)時命題成立，證明當_時命題成立只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立第一個值n0(n0N*)nk12數學歸納法的框圖表示 1數學歸納法的第一步n取第一個值n0(nN*)是否一定為1呢？【提示】不一定n0的取值應取命題成立的第1個值，不一定是1.2數學歸納法的兩個步驟的作用分別是什么？【提示

11、】數學歸納法中兩個步驟體現了遞推思想，第一步是遞推基礎，也叫歸納奠基，第二步是遞推的依據，也叫歸納遞推兩者缺一不可另外，在第二步中證明nk1時命題成立，必須利用歸納假設，否則就不是數學歸納法【解析】三角形是邊數最少的凸多邊形，故第一步應檢驗n3.【答案】C【答案】C【答案】2k【審題視點】(1)第一步驗證n1時等式成立(2)第二步假設nk(kN*)時等式成立，證明nk1時，等式成立1用數學歸納法證明等式問題，要“先看項”，弄清等式兩邊的構成規律，等式兩邊各有多少項，初始值n0是多少2由nk時命題成立，推出nk1時等式成立，一要找出等式兩邊的變化(差異)，明確變形目標；二要充分利用歸納假設，進行

12、合理變形，正確寫出證明過程求證：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*)【證明】(1)當n1時，左邊2，右邊2112，n1時，等式成立(2)假設當nk(kN*)時，等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)當nk1時，左邊(k2)(k3)2k(2k1)(2k2)2(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)22k135(2k1)(2k1)2k1135(2k1)(2k1)這就是說當nk1時，等式成立根據(1)、(2)知，對nN*，原等式成立.1從特殊發現一般性規律，特別是左邊最后一項分母的變化在由nk推出nk1時命題成立時，關鍵抓住兩點：(1)項數與分母的變化；(2)將

13、分母放大，從而向nk1時的目標靠攏2用數學歸納法證明不等式的關鍵是由nk時命題成立證nk1時命題也成立，在歸納假設使用后可運用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來加以證明，充分應用基本不等式、不等式的性質等放縮技巧，使問題得以簡化【審題視點】根據求出的前n項，抽象出一般性的規律，然后利用數學歸納法證明1猜想an的通項公式是一個由特殊到一般的過程，注意兩點：(1)準確計算a1，a2，a3發現規律(必要時可多計算幾項)；(2)證明ak1時，ak1的求解過程與a2、a3的求解過程相似，注意體會特殊與一般性的辨證關系2“歸納猜想證明”的模式，是不完全歸納法與數學歸納法綜合應用的解題模式，這種方法在解決探

14、索性問題、存在性問題時起著重要作用，它的模式是先由合情推理發現結論，然后經邏輯推理證明結論的正確性，這種思維方式是推動數學研究和發展的重要方式【解】f(x)x21，且an1f(an1)，an1(an1)21，函數g(x)(x1)21在1，)上單調遞增于是由a11，得a2(a11)21221，進而a3(a21)21241231，由此猜想：an2n1.下面用數學歸納法證明這個猜想：當n1時，a12111，結論成立；假設nk(k1且kN*)時結論成立，即ak2k1.由g(x)(x1)21在區間1，)上單調遞增知，ak1(ak1)2122k12k11，即nk1時，結論也成立由知，對任意nN*，都有an2n1.即1an2n.數學歸納法是一種重要的數學思想方法，主要用于解決與正整數有關的數學命題證明時步驟(1)和(2)缺一不可，步驟(1)是步驟(2)的基礎，步驟(2)是遞推的依據運用數學歸納法應注意：(1)第一步驗證nn0時，n0不一定為1，要根據題目要