1、 線性控制系統(tǒng)工程 第13 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 1 保角映射：柯西定理 考慮一個(gè) F(s):例如ReIm-1-2-3圖.13.12S-平面F(s)-平面例如 s1E(-1.5,j0) E(-0.667,j0)G(0.5 , j0) G(0.48 , j0)ReImReIm-3-2-11/2ABCDFDCFBAS 平面F(s) 平面圖.13.4 等高線的映射3例 s2例 s3CEDABFImReA BCD-3-2-11/2-1/2E-5/2F-3/2sImRes 平面F(s)平面圖.13.5 包圍 F(s)的一個(gè)極點(diǎn)的軌跡11/2-1-2-3ReImsABCDDBACs平面F(s)平面ImRe圖.

2、13.6 不包圍 F(s)的一個(gè)極點(diǎn)的軌跡4在復(fù)平面上繪制矢量，矢量的長(zhǎng)度為幅值M ，矢量的相角是與正實(shí)軸所成的夾角為。圖: 當(dāng)sp在S平面繞封閉曲線移動(dòng)時(shí)，在F（s）平面也有一個(gè)相應(yīng)的封閉曲線。5保角變換: 雖然F(s)平面內(nèi)封閉曲線的形狀可能與s平面內(nèi)封閉曲線的形狀有所不同，但是相鄰線之間的夾角保持不變。柯西定理:如果在s平面內(nèi)給定的一條封閉曲線按照順時(shí)針?lè)较虬鼑瘮?shù)F(s)的 P 個(gè)極點(diǎn)和 Z 個(gè)零點(diǎn)，6那么在 F(s) 平面內(nèi)得到的封閉曲線將按照順時(shí)針?lè)较蚬舶鼑c(diǎn) N 次, 其中 N = Z - P注意: s平面的封閉曲線上禁止穿過(guò)一個(gè)零點(diǎn)或者一個(gè)極點(diǎn)，因?yàn)檫@將使得相角值無(wú)法確定。7

3、 穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用假設(shè) F(s) = 1+GH(s) 在s平面選擇一個(gè) s s 一個(gè)包圍s平面的整個(gè)右半平面的順時(shí)針?lè)较虻那€。(奈奎斯特路徑). s GH(s) a. 0 S+j (正虛軸): GH(j) b. -j S0 (虛軸): -GH(j) c. 原點(diǎn): GH(j0) = K 或 8ReIm-j+jFig.13.7 奈奎斯特曲線9d. 半圓: GH(s) F(s) F(s) = 1+GH(s) 在1+GH(s) 平面包圍其原點(diǎn)等同于在 GH(s) 平面內(nèi)包圍點(diǎn)（-1，j0）。10ImReImReFig.13.8 包圍原點(diǎn)改為包圍點(diǎn) -1+j0GH(s)1+GH(s)114. 如何使用

4、 N = Z P如下:F(s)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)和閉環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)相同。b. F(s)的極點(diǎn)個(gè)數(shù)和開(kāi)環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)相同。12 Z 在右半平面內(nèi) 1+GH(s)的根的個(gè)數(shù)。 P在右半平面內(nèi) GH(s) 的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)。 N 按順時(shí)針?lè)较虬鼑R界點(diǎn)的次數(shù)。13奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù) :對(duì)于一個(gè)在s平面的右半平面內(nèi)有 P個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的穩(wěn)定系統(tǒng)，在GH(s) 平面的開(kāi)環(huán)頻率響應(yīng)就必須按逆時(shí)針?lè)较驀c(diǎn)(-1, j0) P次。奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù) :14或者判據(jù)可寫(xiě)為: 如果 Z0時(shí)的開(kāi)環(huán)頻率曲線一直行走。如果臨界點(diǎn)(-1,+0j)是在右邊經(jīng)過(guò)的，那么系統(tǒng)就不穩(wěn)定；但如果臨界點(diǎn)是在左邊經(jīng)過(guò)的，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。說(shuō)明 #1.23例

5、: ( P253 )A-1ReImFig.13.15 開(kāi)環(huán)頻率響應(yīng)24說(shuō)明 #2: 為了計(jì)算包圍臨界點(diǎn)的圈數(shù)，從臨界點(diǎn)(-1,0j)徑向畫(huà)出切割奈奎斯特圖的所有曲線的一條射線。(2) 順時(shí)針包圍的圈數(shù)可通過(guò) Ncw-Nccw得到， Ncw 為曲線按順時(shí)針?lè)较虼┻^(guò)該射線的次數(shù)， Nccw 為曲線按逆順時(shí)針?lè)较虼┻^(guò)該射線的次數(shù)。25例 Ncw-Nccw=2-2=0 Z=N+P=(2-2)+0=0. 這個(gè)系統(tǒng)穩(wěn)定.ImReBCDAC-1dbcaXFig.13.17 完整的奈奎斯特圖26 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的另一種方法考慮一個(gè)系統(tǒng). 初始狀態(tài)為 r = e = c = b = 0cRBGH-27GH(j

6、)=0.5 1) t = 0+ , r=1, b=0, e=1 2) b=0.5, e=1.5 3) b=0.75, e=1.75 e 2, 系統(tǒng)穩(wěn)定28GH(j)=2 4) t = 0+ , r=1, b=0, e=1 5) b=2, e=3 6) b=6, e=7 e , 系統(tǒng)是不穩(wěn)定的當(dāng)系統(tǒng) GH(j)1, 系統(tǒng)是穩(wěn)定的, 否則系統(tǒng)不穩(wěn)定.291 假設(shè) r 是單位幅值的正弦信號(hào)， B相對(duì)于r的相位恰好為 -180。 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)有如下規(guī)定 :如果一個(gè)系統(tǒng)穩(wěn)定，那么當(dāng)沿著頻率增加的方向觀察，臨界點(diǎn)必須從頻率響應(yīng)的左邊經(jīng)過(guò)。ttte(t)b(t)r(t)1|b|e|圖.13.19 諧波輸

7、入作用下的時(shí)域信號(hào)30問(wèn)題 : 在GH平面，計(jì)算和畫(huà)出相應(yīng)的路徑 F 。 例題 13.1Solution: Case (A)PointsGH(s)CDAB2j1ReImFig.SP13.1.1CDAB1-123Fig.SP13.1.2ImRe31例 13.2情形 (a) z=1, p=232-2ImReABCDEF-1圖.SP13.2.1ImReE F AD圖.SP13.2.233在原點(diǎn)有2個(gè)開(kāi)環(huán). 畫(huà)出其完整的奈奎斯特曲線 . 可見(jiàn)并沒(méi)有包圍(-1,0j) 點(diǎn)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的.-1ReEFADBImFig.SP13.2.4GH(s)34畫(huà)出其根軌跡證明該結(jié)論. 3 個(gè)極點(diǎn), 1 個(gè)零點(diǎn), 2 條漸近線, 漸近線之間的角度為180.漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn):ReIm-2-1-1/2圖.SP.13.2.535 情形 (b) z=2, p=1 ImABCDEF-1Re-2圖.SP13.2.636開(kāi)環(huán)頻率特性從保證 總是在第二個(gè)象限. 37 其頻率響應(yīng)如下: DBReImE F A圖.SP13.2.738其在原點(diǎn)有2個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn). 畫(huà)出其完整的奈奎斯特曲線. 可見(jiàn)包圍(-1,0j) 2次, 該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的.BDEFAReImGH(s)