1、數學模型 前言北京理工大學 李炳照/王宏洲一、關于這門課程1、本門課程的目的數學模型與數學軟件2、本門課程介紹的主要內容3、如何盡快掌握建模的方法和思路A、大量閱讀和參考現成的模型；B、親自動手，多做實際案例。講課方式第2周-第4周： 周一至周五 上午8：0012：00；每周20學時，三周共64學時的課程；其中周一、周三上午由我來講課； 周二、周四大家做試驗與寫論文； 9月8日、9月13日、9月14日大家講。 9月17日，本課程的結業考試。講課內容一、數學軟件-Matlab；二、數學建模的基本內容；三、往年數學建模競賽點評與講解。數學建模試驗和考試辦法2、數學建模試驗以數學建模論文、學術論文的

2、形式提交，論文中要說明每個小組成員的分工情況。重點考察數學建模、論文寫作以及數學軟件的使用情況；3、9月17日是最后的課程考試，考察是否掌握了數學建模的基本思想和方法。1、本課程會3-5次數學建模試驗，由大家自愿組成小組來完成，每個小組人數不能超過三人。其它情況說明1、參加9月全國數學建模競賽的同學可以不用上本課程，但要參加最后的結業考試；2、申請9月10前提交的全國大學生創新計劃項目的同學可獲得一定程度的加分；3、在上課期間撰寫出正式學術的論文的同學可以獲一定程度的加分。二、什么是數學模型？北京市區衛星城2衛星城1衛星城3衛星城4衛星城5制訂道路交通建設方案首先要確定方案的選擇原則和目標；其

3、次要量化評估不同方案的交通能力；第三要量化評估各個衛星城之間，以及與北京市區時間的交通流量；第四問題一：如何定義產品的壽命？問題二：如何設計低成本、快速的評估方案？問題三：哪些因素對產品壽命影響最大？如何制訂產品壽命評估辦法？什么是數學模型？數學模型不是我們從小學開始接觸到的數學應用題，正確的理解應該是一種“解決方案”，即從問題的原理到最終如何一步步的處理問題，給出的一套完整的解釋和可操作的方案.數學建模的另一個定義將現實世界中的實際問題提煉成數學問題，并運用數學方法進行分析、預測和控制實際問題。注意：這里的關鍵是如何把“實際問題”提煉成數學問題，至于接下來的“運用數學方法進行分析、預測和控制

4、”不是我們這門課程的主要內容。很多模糊的觀念讀書無用論長壽學說中國傳統文化無法適應現代生活股市是賺錢的地方數學模型課程對于我們對于理學專業的學生是一門專業實踐類的課程。對于非理學專業的學生是研究方法類課程；作用：了解所學數學知識的應用背景；克服對數學理論的一些片面認識；專門的一個機會，一段時間，重新考慮今后的個人發展思路。數學模型課程的發展三、數學建模競賽1985年開始由美國工業與數學學會舉辦數學建模競賽(MCM), 每個大學限4隊. 1989年我國大學生開始參加美國MCM.1992年，教育部高教司和中國工業與應用數學協會聯合舉辦“中國大學生數學建模競賽（CUMCM)”2000年，美國ICM(

5、跨學科競賽)開始. 我校成績近年來越來越好。2007年美國競賽中，7個參賽隊伍全部獲二等獎及以上的獎勵，同年全國競賽30個隊伍中有21個隊伍獲得北京市二等獎及以上的獎勵，其中三個全國一等獎；2008年全國競賽有兩個隊獲全國一等獎，四個隊獲全國二等獎。數學建模競賽的競賽題數學建模競賽題設計要求參賽選手運用數學、計算機技術和問題背景學科等方面知識，解決極富挑戰性的實際問題。競賽的題目一般來源于工程技術和管理科學等方面經過適當簡化加工的實際問題，不要求預先掌握深入的專門知識，而具有較大的靈活性供參賽者發揮。通常競賽題有A, B兩題，各參賽隊從中任選一題。國內外競賽的不同特點數學建模競賽的參賽形式開卷

6、形式的通訊比賽，可以使用任意圖書資料和互聯網，自由的收集資料、調查研究。由三名學生組成一隊，各參賽隊任選一競賽題。在三、四天時間內，團結合作、奮力攻關，完成一篇數學建模全過程的論文。沒有事先設定的標準答案，多名專家從以下幾個方面來綜合評定：（1）問題分析及假設的合理性；（2）模型的正確性和創造性；（3）運算結果的正確性；（4）結論和討論的科學性；（5）論文表達的清晰性等。今天有哪些數學建模競賽？全國大學生數學建模競賽（CUMCM）甲乙組美國數學建模競賽（MCM和ICM）全國部分高校研究生數學建模競賽電工數學建模競賽國際數學建模問題征答數學建模競賽的意義培養選手進行科學研究的能力培養選手通過研究

7、學習新知識的能力培養選手勇于創新、理論聯系實際的學風培養選手相互協調、團結合作的精神極富挑戰性的問題，給予選手高強度腦力勞動中挑戰極限的體驗素質教育的體現直接推動了數學的教學內容、課程體系的改革成功參賽的要素濃厚的興趣敏銳的洞察力和活躍的思維；獲取新知識的能力扎實的數學基礎熟練的計算機編程清晰的論文表達怎樣準備養成勤于研究的習慣；選修“數學建模”課程;學習相關數學知識：微積分、微分方程、線性代數、概率統計，運籌學、數學實驗、數學建模；熟練運用一門以上運算軟件：Matlab, Maple, Mathematica, Lindo, Sas, Spss, C等學會撰寫科學論文(說明文)。推薦參考書葉

8、其孝主編, 大學生數學建模競賽輔導教材(一、二、三、四), 湖南教育出版社，2001CUMCM優秀論文匯編（1992-2000），中國物價出版社，2002姜啟源等，數學模型(第三版)，高等教育出版社，2003劉來福等， 數學模型與數學建模(第二版)， ，北京師范大學出版社，2002. 楊啟帆等， 數學建模，浙江大學出版社，1999. 袁震東等，數學建模，華東師范大學出版社，1997. 朱道元等，數學建模案例精選, 科學出版社，2003胡良劍等，數學實驗，上海科學技術出版社，2001數學建模競賽網上資源國際數學模型網：http:/MCM和ICM網站: http:/CUMCM網站: http:/

9、國防科大 浙江大學數學建模基地 數學建模的基本方法機理分析測試分析根據對客觀事物特性的認識，找出反映內部機理的數量規律將對象看作“黑箱”,通過對量測數據的統計分析，找出與數據擬合最好的模型機理分析沒有統一的方法，主要通過實例研究 (Case Studies)來學習。以下建模主要指機理分析。二者結合用機理分析建立模型結構,用測試分析確定模型參數四、數學建模的方法和步驟 數學建模的一般步驟模型準備模型假設模型構成模型求解模型分析模型檢驗模型應用數學建模的全過程現實對象的信息數學模型現實對象的解答數學模型的解答表述求解解釋驗證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗證根據建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數學

10、問題選擇適當的數學方法求得數學模型的解答將數學語言表述的解答“翻譯”回實際對象用現實對象的信息檢驗得到的解答實踐現實世界數學世界理論實踐五、什么是好的數學模型？1、數學模型沒有對和錯，只有好和更好。2、經得起實踐檢驗，盡可能淺顯，便于實用。六、數學模型的應用領域經典物理、力學問題基于精確計算和分析的科技研發工程設計、實施數量經濟學、金融領域、企業管理生物、醫學和藥物研究在結合了高性能計算技術之后，數學模型已經被廣泛應用于現代社會的所有層面、所有領域數學模型 幾個簡單實例北京理工大學 王宏洲速度大小為 2v, 方向始終指向A , 解: 設 t 時刻 B 位于 ( x, y ), 如圖所示, 則有

11、B在 t 時刻走過的路程設敵坦克 A 從點( 0, 1 )出發, 以恒速 v 沿 y 軸示例1：正向運動, 我軍反坦克導彈 B 從 (1, 0 ) 出發, 請給出 B 的運動軌跡.代入消去t 得兩邊對 x 求導, 得其初始條件為解方程得到軌跡示例2 商人們怎樣安全過河問題(智力游戲)： 3名商人 3名隨從隨從們密約, 在河的任一岸, 一旦隨從的人數比商人多, 就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?問題分析：多步決策過程決策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求在安全的前提下(兩岸的隨從數不比商人多),經有限步使全體人員過河.河小船(至多2人)建立模型xk第

12、k次渡河前此岸的商人數yk第k次渡河前此岸的隨從數xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, sk=(xk , yk)過程的狀態S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S 允許狀態集合uk第k次渡船上的商人數vk第k次渡船上的隨從數dk=(uk , vk)決策D=(u , v) u+v=1, 2 允許決策集合uk, vk=0,1,2; k=1,2, sk+1=sk dk +(-1)k狀態轉移律求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按轉移律由 s1=(3,3)到達 sn+1=(0,0).多步決策問題模型求解xy3322110 窮

13、舉法 編程上機 圖解法狀態s=(x,y) 16個格點 10個 點允許決策 移動1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.s1sn+1d1, ，d11給出安全渡河方案評注和思考規格化方法,易于推廣考慮4名商人各帶一隨從的情況d1d11允許狀態S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口(億) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增長概況中國人口增長概況 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口(億) 3.0

14、 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0問題：研究人口變化規律，控制人口過快增長示例3 如何預報人口的增長指數增長模型馬爾薩斯提出 (1798)常用的計算公式x(t) 時刻 t 的人口基本假設 : 人口(相對)增長率 r 是常數今年人口 x0, 年增長率 rk年后人口隨著時間增加，人口按指數規律無限增長指數增長模型的應用及局限性 與19世紀以前歐洲一些地區人口統計數據吻合 適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用于短期人口增長預測 不符合19世紀后多數地區人口增長規律 不能預測較長期的人口增長過程19世紀后人口數據人口增長率r不是常數(逐漸下降)阻滯增長模型(Lo

15、gistic模型)人口增長到一定數量后，增長率下降的原因：資源、環境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數量增加而變大假設r固有增長率(x很小時)xm人口容量（資源、環境能容納的最大數量）r是x的減函數dx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x(t)S形曲線, x增加先快后慢x0 xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)參數估計用指數增長模型或阻滯增長模型作人口預報，必須先估計模型參數 r 或 r, xm 利用統計數據用最小二乘法作擬合例：美國人口數據（單位百萬） 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4阻滯增長模型(Logistic模型)r =0.2557