1、專題強化圓周運動的綜合分析學習目標1.會分析豎直面內的圓周運動，掌握輕繩、輕桿作用下圓周運動的分析方法.2.掌握圓周運動臨界問題的分析方法.一、豎直面內的圓周運動1.豎直面內圓周運動的輕繩(過山車)模型如圖1所示，甲圖中小球受繩拉力和重力作用，乙圖中小球受軌道的彈力和重力作用，二者運動規律相同，現以甲圖為例.圖1(1)最低點動力學方程：FT1mgmeq f(voal( 2,1),L)所以FT1mgmeq f(voal( 2,1),L)(2)最高點動力學方程：FT2mgmeq f(voal( 2,2),L)所以FT2meq f(voal( 2,2),L)mg(3)最高點的最小速度：由于繩不可能對

2、球有向上的支持力，只能產生向下的拉力，由FT2mgeq f(mvoal( 2,2),L)可知，當FT20時，v2最小，最小速度為v2eq r(gL).討論：當v2eq r(gL)時，拉力或壓力為零.當v2eq r(gL)時，小球受向下的拉力或壓力.當v2eq r(gL)，桿或管的外側對球產生向下的拉力或彈力，mgFmeq f(v2,L)，所以Fmeq f(v2,L)mg，F隨v 增大而增大；veq r(gL)，球在最高點只受重力，不受桿或管的作用力，F0，mgmeq f(v2,L)；0veq r(gL)，桿或管的內側對球產生向上的彈力，mgFmeq f(v2,L)，所以Fmgmeq f(v2,

3、L)，F隨v的增大而減小.如圖4，長為0.5 m的輕桿OA繞O點在豎直面內做圓周運動，A端連著一個質量m2 kg的小球(半徑不計).求在下述的兩種情況下，通過最高點時小球對桿的作用力的大小和方向(g取10 m/s2，取210)：圖4(1)桿做勻速圓周運動的轉速為2 r/s；(2)桿做勻速圓周運動的轉速為0.5 r/s.答案(1)140 N方向豎直向上(2)10 N方向豎直向下解析假設小球在最高點受到輕桿的作用力豎直向下，則小球受力如圖所示：(1)桿的轉速為2 r/s時，2n4 rad/s，由牛頓第二定律得FmgmL2，故小球所受桿的作用力FmL2mg2(0.542210) N140 N，即桿對

4、小球有140 N的拉力，由牛頓第三定律可知，小球對桿的拉力大小為140 N，方向豎直向上.(2)桿的轉速為0.5 r/s時，2n rad/s，同理可得小球所受桿的作用力FmL2mg2(0.5210) N10 N.力F為負值表示它的方向與受力分析中假設的方向相反，即桿對小球有10 N的支持力，由牛頓第三定律可知，小球對桿的壓力大小為10 N，方向豎直向下.二、圓周運動的臨界問題物體做圓周運動時，若物體的線速度大小、角速度發生變化，會引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)發生變化，進而出現某些物理量或運動狀態的突變，即出現臨界狀態，分析圓周運動臨界問題的方法是讓角速度或線速度從小逐漸增大，分析各量的

5、變化，找出臨界狀態.通常碰到較多的是涉及如下三種力的作用：(1)與繩的彈力有關的臨界條件：繩彈力恰好為0.(2)與支持面彈力有關的臨界條件：支持力恰好為0.(3)因靜摩擦力而產生的臨界問題：靜摩擦力達到最大值.如圖5所示，用一根長為l1 m的細線，一端系一質量為m1 kg的小球(可視為質點)，另一端固定在一光滑錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角37，當小球在水平面內繞錐體的軸做勻速圓周運動的角速度為時，細線的張力為FT.(g取10 m/s2，sin 370.6，cos 370.8，結果可用根式表示)圖5(1)若要小球離開錐面，則小球的角速度0至少為多大？(2)若細線與豎直方向的夾角為60，則小球的

6、角速度為多大？答案(1)eq f(5,2)eq r(2) rad/s(2)2eq r(5) rad/s解析(1)若要小球剛好離開錐面，則小球只受到重力和細線的拉力，受力分析如圖所示.小球做勻速圓周運動的軌跡圓在水平面上，故向心力水平，在水平方向運用牛頓第二定律及向心力公式得mgtan m02lsin 解得0eq r(f(g,lcos )eq f(5,2)eq r(2) rad/s(2)同理，當細線與豎直方向成60角時，小球已離開錐面，由牛頓第二定律及向心力公式得mgtan m2lsin 解得eq r(f(g,lcos )2eq r(5) rad/s(2019鄭州市高一下學期期末)如圖6甲所示，

7、水平轉盤上放有質量為m的物塊，物塊到轉軸的距離為r，物塊和轉盤間的動摩擦因數為，設物塊受到的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，已知重力加速度為g.圖6(1)當水平轉盤以角速度1勻速轉動時，物塊與轉盤剛好能相對靜止，求1的值；(2)如圖乙，將物塊和轉軸用細繩相連，當轉盤的角速度2eq r(f(g,3r)時，求細繩的拉力FT2的大小；(3)將物塊和轉軸用細繩相連，當轉盤的角速度3eq r(f(5g,3r)時，求細繩的拉力FT3的大小.答案(1)eq r(f(g,r)(2)0(3)eq f(2,3)mg解析(1)當水平轉盤以角速度1勻速轉動時，物塊與轉盤剛好能相對靜止，則此時物塊所需向心力恰好完全由最大靜

8、摩擦力提供，則mgmr12解得：1eq r(f(g,r)(2)由于21，物塊受到的最大靜摩擦力不足以提供所需的向心力，此時繩對物塊有拉力，則mgFT3m32r，可得此時繩子對物塊拉力的大小為FT3eq f(2,3)mg.1.(輕繩模型)雜技演員表演“水流星”，在長為1.6 m的細繩的一端，系一個與水的總質量為m0.5 kg的大小不計的盛水容器，以繩的另一端為圓心，在豎直平面內做圓周運動，如圖7所示，若“水流星”通過最高點時的速率為4 m/s，則下列說法正確的是(g取10 m/s2)()圖7A.“水流星”通過最高點時，有水從容器中流出B.“水流星”通過最高點時，繩的張力及容器底部受到的壓力均為零

9、C.“水流星”通過最高點時，處于完全失重狀態，不受力的作用D.“水流星”通過最高點時，繩子的拉力大小為5 N答案B解析“水流星”在最高點的臨界速度veq r(gL)4 m/s，由此知繩的拉力恰好為零，且水恰好不流出，故選B.2.(過山車模型)(多選)如圖8所示，質量為m的小球在豎直平面內的光滑圓環內側做圓周運動.圓環半徑為R，小球半徑不計，小球經過圓環內側最高點時剛好不脫離圓環，則其通過最高點時下列表述正確的是()圖8A.小球對圓環的壓力大小等于mgB.重力mg充當小球做圓周運動所需的向心力C.小球的線速度大小等于eq r(gR)D.小球的向心加速度大小等于g答案BCD解析因為小球經過圓環內側

10、最高點時剛好不脫離圓環，故在最高點時小球對圓環的壓力為零，選項A錯誤；此時小球只受重力作用，即重力mg充當小球做圓周運動所需的向心力，則有mgmeq f(v2,R)ma，即veq r(gR)，ag，選項B、C、D正確.3.(輕桿模型)如圖9所示，質量為m的小球固定在桿的一端，在豎直面內繞桿的另一端O做圓周運動.當小球運動到最高點時，瞬時速度大小為veq r(f(1,2)Lg)，L是球心到O點的距離，則球對桿的作用力是()圖9A.eq f(1,2)mg的拉力 B.eq f(1,2)mg的壓力C.零 D.eq f(3,2)mg的壓力答案B解析當重力完全充當向心力時，球對桿的作用力為零，所以mgme

11、q f(v2,L)，解得：veq r(gL)，而eq r(f(1,2)gL)eq r(gR)，則小球對管內上壁有壓力C.若0 v0eq r(f(g,ltan )，b繩將出現彈力D.若b繩突然被剪斷，則a繩的彈力一定發生變化答案AC解析對小球受力分析可得a繩的彈力在豎直方向的分力平衡了小球的重力，解得FTaeq f(mg,sin )，為定值，A正確，B錯誤.當FTacos m2l，即eq r(f(g,ltan )時，b繩的彈力為零，若角速度大于該值，則b繩將出現彈力，C正確.由于b繩可能沒有彈力，故b繩突然被剪斷，a繩的彈力可能不變，D錯誤.7.(多選)如圖6所示，兩個質量均為m的小木塊a和b(

12、可視為質點)放在水平圓盤上，a與轉軸OO的距離為l，b與轉軸的距離為2l，木塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g.若圓盤從靜止開始繞轉軸緩慢地加速轉動，用表示圓盤轉動的角速度，下列說法正確的是()圖6A.b一定比a先開始滑動B.a、b所受的摩擦力始終相等C.eq r(f(kg,2l)是b開始滑動的臨界角速度D.當eq r(f(2kg,3l)時，a所受摩擦力的大小為kmg答案AC解析小木塊a、b做勻速圓周運動時，由靜摩擦力提供向心力，即Ffm2R.當角速度增大時，靜摩擦力增大，當增大到最大靜摩擦力時，發生相對滑動，對木塊a：Ffama2 l，當Ffakmg時，kmgma

13、2l，可得aeq r(f(kg,l)；對木塊b：Ffbmb22l，當Ffbkmg時，kmgmb22l，可得beq r(f(kg,2l)，所以b先達到最大靜摩擦力，即b先開始滑動，選項A正確；兩木塊滑動前轉動的角速度相同，則Ffam2l，Ffbm22l，FfaFfb，選項B錯誤；當eq r(f(kg,2l)時b剛要開始滑動，選項C正確；eq r(f(2kg,3l)a時，a沒有滑動，則Ffam2leq f(2,3)kmg，選項D錯誤.8.(2019六安一中期中考試)如圖7所示，在水平圓盤上，沿半徑方向放置用平直細線相連的質量相等的兩物體A和B，它們與圓盤間的動摩擦因數相同，設最大靜摩擦力等于滑動摩

14、擦力，當圓盤轉速增大到兩物體剛要發生滑動時燒斷細線，則兩個物體將要發生的運動情況是()圖7A.兩物體仍隨圓盤一起轉動，不會發生滑動B.只有A仍隨圓盤一起轉動，不會發生滑動C.兩物體均沿半徑方向滑動，A靠近圓心、B遠離圓心D.兩物體均沿半徑方向滑動，A、B都遠離圓心答案B解析當兩物體剛要滑動時，A、B所受靜摩擦力都是最大靜摩擦力Ffm.對A有FfmFTm2rA，對B有FfmFTm2rB，燒斷細線的瞬間，FT消失，A的向心力由圓盤的靜摩擦力提供，且Ffm2rAh，小球可隨轉動軸轉動，并在光滑水平面上做勻速圓周運動，如圖8所示，要使小球不離開水平面，轉動軸的轉速的最大值是(重力加速度為g)()圖8A

15、.eq f(1,2)eq r(f(g,h) B.eq r(gh)C.eq f(1,2)eq r(f(g,l) D.2eq r(f(l,g)答案A解析如圖所示，設細繩與轉動軸夾角為，以小球為研究對象，小球受三個力的作用；重力mg、水平面支持力FN、細繩拉力F，在豎直方向合力為零，則有Fcos FNmg，在水平方向上由牛頓第二定律有Fsin m(2n)2Rm(2n)2htan ，則neq f(1,2 )eq r(f(Fcos ,mh)，當小球即將離開水平面時FN0，F有最大值eq f(mg,cos )，轉速n有最大值，則有nmaxeq f(1,2)eq r(f(g,h)，故A正確，B、C、D錯誤.

16、10.(多選)如圖9甲所示，輕桿一端固定在O點，另一端固定一小球(大小不計)，現讓小球在豎直平面內做半徑為R的圓周運動.小球運動到最高點時，桿與小球間彈力大小為F，小球在最高點的速度大小為v，其Fv2圖像如圖乙所示.則()圖9A.小球的質量為eq f(aR,b)B.當地的重力加速度大小為eq f(R,b)C.v2c時，小球對桿的彈力方向向上D.v22b時，小球受到的彈力與重力大小相等答案ACD解析當小球受到的彈力方向向下時，有Fmgeq f(mv2,R)，解得Feq f(m,R)v2mg；當彈力方向向上時，有mgFmeq f(v2,R)，解得Fmgmeq f(v2,R).對比Fv2圖像可知，a

17、mg，當v2b時，F0，可得bgR，則geq f(b,R)，meq f(aR,b)，A正確，B錯誤；v2c時，小球受到的彈力方向向下，則小球對桿的彈力方向向上，C正確；v22b時，小球受到的彈力與重力大小相等，D正確.二、非選擇題11.如圖10所示，半徑為R、內徑很小的光滑半圓管豎直放置，兩個質量均為m的小球A、B從水平地面上以不同速率進入管內，A通過最高點C時，對管壁上部的壓力為3mg，B通過最高點C時，對管壁下部的壓力為0.75mg.g為重力加速度，忽略空氣阻力，求A、B兩球落地點間的距離.圖10答案3R解析兩個小球在最高點時，受重力和管壁的作用力，這兩個力的合力提供向心力，離開軌道后兩球

18、均做平拋運動，A、B兩球落地點間的距離等于它們平拋運動的水平位移之差.對A球由牛頓第二定律得3mgmgmeq f(voal( 2,A),R)解得A球通過最高點C時的速度大小為vA2eq r(gR)對B球由牛頓第二定律得mg0.75mgmeq f(voal( 2,B),R)解得B球通過最高點C時的速度大小為vBeq f(r(gR),2)A、B球做平拋運動的時間相同，由2Req f(1,2)gt2可得teq r(f(22R,g)2eq r(f(R,g)兩球做平拋運動的水平分位移分別為xAvAt4RxBvBtRA、B兩球落地點間的距離xxAxB3R.12.如圖11所示，水平轉盤的中心有一個光滑的豎直小圓孔，質量為m的物體A放在轉盤上，物體A到圓孔的距離為r，物體A通過輕繩與物體B相連，物體B的質量也為m.若物體A與轉盤間的動摩擦因數為(1)，則轉盤轉動的角速度在什么范圍內，才能使物體A隨轉盤轉動而不滑動？(已知最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g)圖11答案eq r(f(g1,r)eq r(f(g1,r)解析當A將要沿轉盤背離圓心滑動時，A所受的摩擦力為最大靜摩擦力，方向指向圓心，此時A做圓周運動所需的向心力為繩的拉力與最大靜摩擦力的合力，即FFfmaxmr12由于B靜止，故有Fmg又FfmaxFNmg