1、第2課時組合數公式學習目標1.理解排列數與組合數之間的聯系，掌握組合數公式.2.能運用組合數公式進行計算.3.會用組合數公式解決一些簡單的組合問題知識點一組合數公式組合數公式乘積形式Ceq oal(m,n)eq f(nn1n2nm1,m！)，其中m，nN*，并且mn階乘形式Ceq oal(m,n)eq f(n！,m！nm！)規定：Ceq oal(0,n)1.知識點二組合數的性質性質1：Ceq oal(m,n)Ceq oal(nm,n).性質2：Ceq oal(m,n1)Ceq oal(m,n)Ceq oal(m1,n).1Ceq oal(2 019,2 020)_.答案2 0202Ceq oa

2、l(1,2)Ceq oal(2,2)_.答案33若Ceq oal(m,7)21，Ceq oal(m,6)15，則Ceq oal(m1,6)_.答案64方程Ceq oal(x,5)Ceq oal(2,5)，則x_.答案2或3一、組合數公式的應用命題角度1化簡與求值例11求值：(1)3Ceq oal(3,8)2Ceq oal(2,5)；(2)Ceq oal(38n,3n)Ceq oal(3n,21n).解(1)3Ceq oal(3,8)2Ceq oal(2,5)3eq f(876,321)2eq f(54,21)148.(2)eq blcrc (avs4alco1(38n3n，,3n21n，)9.

3、5n10.5.nN*，n10，Ceq oal(38n,3n)Ceq oal(3n,21n)Ceq oal(28,30)Ceq oal(30,31)Ceq oal(2,30)Ceq oal(1,31)466.命題角度2與組合數有關的證明例12證明：mCeq oal(m,n)nCeq oal(m1,n1).證明mCeq oal(m,n)meq f(n！,m！nm！)eq f(nn1！,m1！nm！)neq f(n1！,m1！nm！)nCeq oal(m1,n1).命題角度3與組合數有關的方程或不等式例13(1)(多選)若Ceq oal(4,n)Ceq oal(6,n)，則n的可能取值有()A6 B

4、7 C8 D9答案ABCD解析由Ceq oal(4,n)Ceq oal(6,n)得eq blcrc (avs4alco1(f(n！,4！n4！)f(n！,6！n6！)，,n6)eq blcrc (avs4alco1(n29n100，,n6)eq blcrc (avs4alco1(1n10，,n6，)又nN*，則n6,7,8,9.該不等式的解集為6,7,8,9(2)已知eq f(1,Coal(m,5)eq f(1,Coal(m,6)eq f(7,10Coal(m,7)，求Ceq oal(m,8)Ceq oal(5m,8).解eq f(1,Coal(m,5)eq f(1,Coal(m,6)eq f

5、(7,10Coal(m,7)，eq f(m！5m！,5！)eq f(m！6m！,6！)eq f(77m！m！,107！)，即eq f(m！5m！,5！)eq f(m！6m5m！,65！)eq f(7m！7m6m5m！,10765！)，1eq f(6m,6)eq f(7m6m,60)，即m223m420，解得m2或m21.0m5，mN*，m2，Ceq oal(m,8)Ceq oal(5m,8)Ceq oal(2,8)Ceq oal(3,8)Ceq oal(3,9)84.反思感悟(1)組合數公式Ceq oal(m,n)eq f(nn1n2nm1,m！)一般用于計算，而組合數公式Ceq oal(m,

6、n)eq f(n！,m！nm！)一般用于含字母的式子的化簡與證明(2)要善于挖掘題目中的隱含條件，簡化解題過程，如組合數Ceq oal(m,n)的隱含條件為mn，且m，nN*.(3)計算時應注意利用組合數的兩個性質：Ceq oal(m,n)Ceq oal(nm,n)；Ceq oal(m,n1)Ceq oal(m,n)Ceq oal(m1,n).跟蹤訓練1(1)計算：Ceq oal(98,100)Ceq oal(199,200)；(2)證明：Ceq oal(m,n)eq f(n,nm)Ceq oal(m,n1).(1)解Ceq oal(98,100)Ceq oal(199,200)Ceq oal

7、(2,100)Ceq oal(1,200)eq f(10099,2)2004 9502005 150.(2)證明eq f(n,nm)Ceq oal(m,n1)eq f(n,nm)eq f(n1！,m！n1m！)eq f(n！,m！nm！)Ceq oal(m,n).二、有限制條件的組合問題例2課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名隊長，現從中選5人主持某項活動，依下列條件各有多少種選法？(1)至少有一名隊長當選；(2)至多有兩名女生當選；(3)既要有隊長，又要有女生當選解(1)Ceq oal(5,13)Ceq oal(5,11)825(種)(2)至多有2名女生當選含有

8、三類：有2名女生當選；只有1名女生當選；沒有女生當選，所以共有Ceq oal(2,5)Ceq oal(3,8)Ceq oal(1,5)Ceq oal(4,8)Ceq oal(5,8)966(種)選法(3)分兩類：第一類女隊長當選，有Ceq oal(4,12)495(種)選法，第二類女隊長沒當選，有Ceq oal(1,4)Ceq oal(3,7)Ceq oal(2,4)Ceq oal(2,7)Ceq oal(3,4)Ceq oal(1,7)Ceq oal(4,4)295(種)選法，所以共有495295790(種)選法反思感悟有限制條件的抽(選)取問題，主要有兩類(1)“含”與“不含”問題，其解法

9、常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步計數(2)“至多”“至少”問題，其解法常有兩種解決思路：一是直接分類法，但要注意分類要不重不漏；二是間接法，注意找準對立面，確保不重不漏跟蹤訓練2某食堂每天中午準備4種不同的葷菜，7種不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任選兩種葷菜、兩種蔬菜和白米飯；(2)任選一種葷菜、兩種蔬菜和蛋炒飯則每天不同午餐的搭配方法共有()A210種 B420種 C56種 D22種答案A解析由分類加法計數原理知，兩類配餐的搭配方法之和即為所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有Ceq oal(2,4)Ceq oal(2,7)Ceq o

10、al(1,4)Ceq oal(2,7)210(種)三、分組、分配問題命題角度1平均分組例31(1)6本不同的書，分給甲、乙、丙三人，每人兩本，有多少種方法？(2)6本不同的書，分為三份，每份兩本，有多少種方法？解(1)先從6本書中選2本給甲，有Ceq oal(2,6)種方法；再從其余的4本中選2本給乙，有Ceq oal(2,4)種方法；最后從余下的2本書中選2本給丙，有Ceq oal(2,2)種方法，所以分給甲、乙、丙三人，每人2本，共有Ceq oal(2,6)Ceq oal(2,4)Ceq oal(2,2)90(種)方法(2)分給甲、乙、丙三人，每人兩本，有Ceq oal(2,6)Ceq o

11、al(2,4)Ceq oal(2,2)種方法，這個過程可以分兩步完成：第一步，分為三份，每份兩本，設有x種方法；第二步，再將這三份分給甲、乙、丙三名同學，有Aeq oal(3,3)種方法根據分步乘法計數原理，可得Ceq oal(2,6)Ceq oal(2,4)Ceq oal(2,2)xAeq oal(3,3)，所以xeq f(Coal(2,6)Coal(2,4)Coal(2,2),Aoal(3,3)15.因此分為三份，每份兩本，一共有15種方法命題角度2不平均分組例32(1)6本不同的書，分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本，有多少種方法？(2)6本不同的書，分給甲、乙、丙三人，一人一本，一

12、人兩本，一人三本，有多少種不同的方法？解(1)這是“不平均分組”問題，一共有Ceq oal(1,6)Ceq oal(2,5)Ceq oal(3,3)60(種)方法(2)在(1)的基礎上再進行全排列，所以一共有Ceq oal(1,6)Ceq oal(2,5)Ceq oal(3,3)Aeq oal(3,3)360(種)方法命題角度3分配問題例336本不同的書，分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少種不同的方法？解可以分為三類情況：“2,2,2型”，有Ceq oal(2,6)Ceq oal(2,4)Ceq oal(2,2)90(種)方法；“1,2,3型”，有Ceq oal(1,6)Ceq oal(

13、2,5)Ceq oal(3,3)Aeq oal(3,3)360(種)方法；“1，1,4型”，有Ceq oal(4,6)Aeq oal(3,3)90(種)方法，所以一共有9036090540(種)方法反思感悟“分組”與“分配”問題的解法(1)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：完全均勻分組，每組的元素個數均相等，均勻分成n組，最后必須除以n！；部分均勻分組，應注意不要重復，有n組均勻，最后必須除以n！；完全非均勻分組，這種分組不考慮重復現象(2)分配問題屬于“排列”問題，分配問題可以按要求逐個分配，也可以分組后再分配跟蹤訓練3將4個編號為1,2,3,4的小球放入4個編號為1,2,3,

14、4的盒子中(1)有多少種放法？(2)每盒至多1個球，有多少種放法？(3)恰好有1個空盒，有多少種放法？(4)每個盒內放1個球，并且恰好有1個球的編號與盒子的編號相同，有多少種放法？(5)把4個不同的小球換成4個相同的小球，恰有一個空盒，有多少種放法？解(1)每個小球都可能放入4個盒子中的任何一個，將小球一個一個放入盒子，共有444444256(種)放法(2)這是全排列問題，共有Aeq oal(4,4)24(種)放法(3)方法一先將4個小球分為3組，有eq f(Coal(2,4)Coal(1,2)Coal(1,1),Aoal(2,2)種方法，再將3組小球投入4個盒子中的3個盒子，有Aeq oal

15、(3,4)種投放方法，故共有eq f(Coal(2,4)Coal(1,2)Coal(1,1),Aoal(2,2)Aeq oal(3,4)144(種)放法方法二先取4個球中的2個“捆”在一起，有Ceq oal(2,4)種選法，把它與其他2個球共3個元素分別放入4個盒子中的3個盒子，有Aeq oal(3,4)種投放方法，所以共有Ceq oal(2,4)Aeq oal(3,4)144(種)放法(4)1個球的編號與盒子編號相同的選法有Ceq oal(1,4)種，當1個球與1個盒子的編號相同時，用局部列舉法可知其余3個球的投入方法有2種，故共有Ceq oal(1,4)28(種)放法(5)先從4個盒子中選

16、出3個盒子，再從3個盒子中選出1個盒子放入2個球，余下2個盒子各放1個，由于球是相同的即沒有順序，所以屬于組合問題，故共有Ceq oal(3,4)Ceq oal(1,3)12(種)放法與幾何有關的組合應用題典例如圖，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A，B的六個點C1，C2，C6，線段AB上有異于A，B的四個點D1，D2，D3，D4.(1)以這10個點中的3個點為頂點可作多少個三角形？其中含C1點的有多少個？(2)以圖中的12個點(包括A，B)中的4個點為頂點，可作出多少個四邊形？解(1)方法一可作出三角形Ceq oal(3,6)Ceq oal(1,6)Ceq oal(2,4)Ceq oal(2

17、,6)Ceq oal(1,4)116(個)其中以C1為頂點的三角形有Ceq oal(2,5)Ceq oal(1,5)Ceq oal(1,4)Ceq oal(2,4)36(個)方法二可作三角形Ceq oal(3,10)Ceq oal(3,4)116(個)，其中以C1為頂點的三角形有Ceq oal(2,5)Ceq oal(1,5)Ceq oal(1,4)Ceq oal(2,4)36(個)(2)可作出四邊形Ceq oal(4,6)Ceq oal(3,6)Ceq oal(1,6)Ceq oal(2,6)Ceq oal(2,6)360(個)素養提升(1)圖形多少的問題通常是組合問題，要注意共點、共線、共

18、面、異面等情形，防止多算常用直接法，也可采用間接法(2)把一個與幾何相關的問題轉化為組合問題，此題目的解決體現了數學抽象及數學運算的核心素養1Ceq oal(2,6)Ceq oal(5,7)的值為()A72 B36 C30 D42答案B解析Ceq oal(2,6)Ceq oal(5,7)Ceq oal(2,6)Ceq oal(2,7)eq f(65,21)eq f(76,21)152136.2若Ceq oal(2,n)28，則n的值為()A9 B8 C7 D6答案B解析因為Ceq oal(2,n)28，所以eq f(1,2)n(n1)28，又nN*，所以n8.3若Aeq oal(3,m)6Ce

19、q oal(4,m)，則m等于()A9 B8 C7 D6答案C解析由已知得m(m1)(m2)6eq f(mm1m2m3,4！)，解得m7，故選C.4甲、乙、丙3位同學選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案的種數為_答案96解析從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有Ceq oal(2,4)Ceq oal(3,4)Ceq oal(3,4)96(種)5有4名男醫生、3名女醫生，從中選出2名男醫生、1名女醫生組成1個醫療小組，則不同的選法共有_種答案18解析從4名男醫生中選2人，有Ceq oal(2,4)種選法，從3名女醫生中選1人，有Ceq

20、oal(1,3)種選法，由分步乘法計數原理知，所求選法種數為Ceq oal(2,4)Ceq oal(1,3)18.1知識清單：(1)涉及具體數字的可以直接用公式Ceq oal(m,n)eq f(Aoal(m,n),Aoal(m,m)eq f(nn1n2nm1,m！)計算(2)涉及字母的可以用階乘式Ceq oal(m,n)eq f(n！,m！nm！)計算(3)計算時應注意利用組合數的性質Ceq oal(m,n)Ceq oal(nm,n)簡化運算(4)分組分配問題2方法歸納：分類討論、正難則反、方程思想3常見誤區：分組分配中是否為“平均分組”1計算：Ceq oal(2,8)Ceq oal(3,8)

21、Ceq oal(2,9)等于()A120 B240 C60 D480答案A解析Ceq oal(2,8)Ceq oal(3,8)Ceq oal(2,9)eq f(78,21)eq f(678,321)eq f(89,21)120.2從5名志愿者中選派4人在星期六和星期日參加公益活動，每人一天，每天兩人，則不同的選派方法共有()A60種 B48種 C30種 D10種答案C解析從5名志愿者中選派2人參加星期六的公益活動，有Ceq oal(2,5)種方法，再從剩下的3人中選派2人參加星期日的公益活動，有Ceq oal(2,3)種方法，由分步乘法計數原理可得不同的選派方法共有Ceq oal(2,5)Ce

22、q oal(2,3)30(種)，故選C.3(多選)下列等式正確的有()ACeq oal(m,n)eq f(n！,m！nm！) BCeq oal(m,n)Ceq oal(nm,n)CCeq oal(m,n)eq f(m1,n1)Ceq oal(m1,n1) DCeq oal(m,n)Ceq oal(m1,n1)答案ABC解析A是組合數公式；B是組合數性質；由eq f(m1,n1)Ceq oal(m1,n1)eq f(m1,n1)eq f(n1！,m1！nm！)Ceq oal(m,n)得C正確；D錯誤4200件產品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有()ACeq oal(32,1

23、97)Ceq oal(2,3)種 BCeq oal(3,3)Ceq oal(2,197)Ceq oal(2,3)Ceq oal(3,197)種CCeq oal(5,200)Ceq oal(5,197)種 DCeq oal(5,200)Ceq oal(1,3)Ceq oal(4,197)種答案B解析至少2件次品包含兩類：(1)2件次品，3件正品，共Ceq oal(2,3)Ceq oal(3,197)種抽法，(2)3件次品，2件正品，共Ceq oal(3,3)Ceq oal(2,197)種抽法，由分類加法計數原理得，抽法共有Ceq oal(2,3)Ceq oal(3,197)Ceq oal(3,3

24、)Ceq oal(2,197)種5空間中有10個點，其中有5個點在同一個平面內，其余點無三點共線，無四點共面，則以這些點為頂點，共可構成四面體的個數為()A205 B110 C204 D200答案A解析方法一可以按從共面的5個點中取0個、1個、2個、3個進行分類，則得到所有的取法總數為Ceq oal(0,5)Ceq oal(4,5)Ceq oal(1,5)Ceq oal(3,5)Ceq oal(2,5)Ceq oal(2,5)Ceq oal(3,5)Ceq oal(1,5)205.方法二從10個點中任取4個點的方法數中去掉4個點全部取自共面的5個點的情況，得到所有構成四面體的個數為Ceq oa

25、l(4,10)Ceq oal(4,5)205.64名優秀學生全部保送到3所學校去，每所學校至少去1名，則不同的保送方案有_種答案36解析把4名學生分成3組有Ceq oal(2,4)種方法，再把3組學生分配到3所學校有Aeq oal(3,3)種方法，故共有Ceq oal(2,4)Aeq oal(3,3)36(種)保送方案7甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區分站的位置，則不同的站法種數是_(用數字作答)答案336解析當每個臺階上各站1人時有Ceq oal(3,7)Aeq oal(3,3)種站法；當兩個人站在同一個臺階上時有Ceq oal(2,3)Ceq

26、oal(1,7)Ceq oal(1,6)種站法因此不同的站法種數為Ceq oal(3,7)Aeq oal(3,3)Ceq oal(2,3)Ceq oal(1,7)Ceq oal(1,6)210126336.8某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠地區支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，則不同的選派方案共有_種答案600解析可以分情況討論：甲、丙同去，則乙不去，有Ceq oal(2,5)Aeq oal(4,4)240(種)選法；甲、丙同不去，有Aeq oal(4,6)360(種)選法，所以共有600種不同的選派方案9已知Ceq oal(4,n)，Ceq oal(5,n

27、)，Ceq oal(6,n)成等差數列，求Ceq oal(12,n)的值解由已知得2Ceq oal(5,n)Ceq oal(4,n)Ceq oal(6,n)，所以2eq f(n！,5！n5！)eq f(n！,4！n4！)eq f(n！,6！n6！)，整理得n221n980，解得n7或n14，要求Ceq oal(12,n)的值，故n12，所以n14，于是Ceq oal(12,14)Ceq oal(2,14)eq f(1413,21)91.10現有8名青年，其中有5名能勝任英語翻譯工作，有4名能勝任德語翻譯工作(其中有1名青年兩項工作都能勝任)現在要從中挑選5名青年承擔一項任務，其中3名從事英語翻

28、譯工作，2名從事德語翻譯工作，則有多少種不同的選法？解可以分三類：第一類，讓兩項工作都能勝任的青年從事英語翻譯工作，有Ceq oal(2,4)Ceq oal(2,3)種選法；第二類，讓兩項工作都能勝任的青年從事德語翻譯工作，有Ceq oal(3,4)Ceq oal(1,3)種選法；第三類，兩項工作都能勝任的青年不從事任何工作，有Ceq oal(3,4)Ceq oal(2,3)種選法根據分類加法計數原理，一共有Ceq oal(2,4)Ceq oal(2,3)Ceq oal(3,4)Ceq oal(1,3)Ceq oal(3,4)Ceq oal(2,3)42(種)不同的選法11若Ceq oal(7

29、,n1)Ceq oal(7,n)Ceq oal(8,n)，則n等于()A12 B13 C14 D15答案C解析因為Ceq oal(7,n1)Ceq oal(7,n)Ceq oal(8,n)，即Ceq oal(7,n1)Ceq oal(8,n)Ceq oal(7,n)Ceq oal(8,n1)，所以n178，即n14.12在AOB的OA邊上取m個點，在OB邊上取n個點(均除O點外)，連同O點共(mn1)個點，現任取其中三個點為頂點作三角形，則可作出的三角形的個數為()ACeq oal(1,m1)Ceq oal(2,n)Ceq oal(1,n1)Ceq oal(2,m) BCeq oal(1,m)

30、Ceq oal(2,n)Ceq oal(1,n)Ceq oal(2,m)CCeq oal(1,m)Ceq oal(2,n)Ceq oal(1,n)Ceq oal(2,m)Ceq oal(1,m)Ceq oal(1,n) DCeq oal(1,m)Ceq oal(2,n1)Ceq oal(1,n)Ceq oal(2,m1)答案C解析第一類：從OA邊上(不包括O)任取一點與從OB邊上(不包括O)任取兩點，可構造一個三角形，有Ceq oal(1,m)Ceq oal(2,n)個；第二類：從OA邊上(不包括O)任取兩點與從OB邊上(不包括O)任取一點，可構造一個三角形，有Ceq oal(1,n)Ceq

31、oal(2,m)個；第三類：從OA邊上(不包括O)任取一點與從OB邊上(不包括O)任取一點，與O點可構造一個三角形，有Ceq oal(1,m)Ceq oal(1,n)個由分類加法計數原理知，可作出的三角形的個數為Ceq oal(1,m)Ceq oal(2,n)Ceq oal(1,n)Ceq oal(2,m)Ceq oal(1,m)Ceq oal(1,n).13若從1,2,3，9這9個整數中同時取4個不同的數，其和為偶數，則不同的取法共有()A60種 B63種 C65種 D66種答案D解析從1,2,3，9這9個數中取出4個不同的數，其和為偶數的情況包括：(1)取出的4個數都是偶數，取法有Ceq oal(4,4)1(種)；(2)取出的4個數中有2個偶數、2個奇數，取法有Ceq oal(2,4)Ceq oal(2,5)60(種)；(3)取出的4個數都是