1、第十章 達朗伯原理 達朗伯原理 剛體慣性力系的簡化 達朗伯原理為解決非自由質點系動力學問題提供了另一種普遍的方法。這種方法的特點是：用靜力學研究平衡問題的方法來研究動力學的不平衡問題, 因此這種方法又叫動靜法。由于靜力學研究平衡問題的方法比較簡單, 也容易掌握, 因此動靜法在工程中被廣泛使用。引言 設一質點質量為m, 加速度為a, 作用于質點的主動力為F, 約束反力為FN 。由牛頓第二定律，有將上式改寫成令10.1 質點的達朗伯原理Q具有力的量綱, 且與質點的質量有關，稱其為質點的慣性力。它的大小等于質點的質量與加速度的乘積, 方向與質點加速度的方向相反。QmFFNa即：在質點運動的任一瞬時,

2、 作用于質點上的主動力、約束反力和假想加在質點上的慣性力構成形式上的平衡力系。這就是質點的達朗伯原理。則有應該強調指出，質點并非處于平衡狀態，這樣做的目的是將動力學問題轉化為靜力學問題求解。達朗伯原理與虛位移原理構成了分析力學的基礎。10.1 質點的達朗伯原理 例1 球磨機的滾筒以勻角速度w 繞水平軸O轉動, 內裝鋼球和需要粉碎的物料, 鋼球被筒壁帶到一定高度脫離筒壁, 然后沿拋物線軌跡自由落下，從而擊碎物料, 如圖。設滾筒內壁半徑為r， 試求鋼球的脫離角a。 解：以某一尚未脫離筒壁的鋼球為研究對象, 受力如圖。鋼球未脫離筒壁前, 作圓周運動, 其加速度為慣性力Q的大小為假想地加上慣性力, 由

3、達朗伯原理OMrwaqFFNmgQ 這就是鋼球在任一位置q 時所受的法向反力, 顯然當鋼球脫離筒壁時, FN0 , 由此可求出其脫離角a為 設質點系由 n 個質點組成, 其中任一質點i的質量為mi, 其加速度為ai, 把作用在此質點上的力分為主動力的合力Fi、約束力的合力為FNi，對這個質點上假想地加上它的慣性力Qimiai , 方向與ai的方向相反，則由質點的達朗伯原理, 有10.2 質點系的達朗伯原理即：質點系中每個質點上作用的主動力、約束力和它的慣性力在形式上組成平衡力系。這就是質點系的達朗伯原理。OR例 2 已知：m ，R， 。求：輪緣橫截面的張力。解： 取上半部分輪緣為研究對象Oxy

4、QidFTFT10.3 剛體慣性力系的簡化由靜力學中任意力系簡化理論知，主矢的大小和方向與簡化中心的位置無關，主矩一般與簡化中心的位置有關。下面就剛體平移、定軸轉動兩種情況討論慣性力系的簡化結果。 剛體平移時，剛體內任一質點i的加速度ai與質心的加速度aC相同，有ai aC1. 剛體作平移a11QI1aiiQIiCaC平移剛體的慣性力系可以簡化為通過質心的合力， 其大小等于剛體的質量與加速度的乘積，合力的方向與加速度方向相反。RQ2. 剛體繞定軸轉動 如圖所示, 具有質量對稱面且繞垂直于質量對稱面的軸轉動的剛體。慣性力系向O點簡化的主矢為：方向如圖所示。該慣性力系對轉軸O的主矩為10.3 剛體

5、慣性力系的簡化QIinQIiiOriw其上任一點的慣性力的分量的大小為由于QIin通過O點, 則有 MO( QIin )= 0, 所以即10.3 剛體慣性力系的簡化綜上可得結論：定軸轉動剛體的慣性力系, 可以簡化為通過轉軸O的一個慣性力RQ和一個慣性力偶MQO。力RQ的大小等于剛體的質量與其質心加速度大小的乘積, 方向與質心加速度的方向相反，作用線通過轉軸；力偶MQO的矩等于剛體對轉軸的轉動慣量與其角加速度大小的乘積, 轉向與角加速度的轉向相反。QIinQIiiOriwMQORQ現在討論以下三種特殊情況：2. 當剛體作勻速轉動時, 0, 若轉軸不過質心, 慣性力系簡化為一慣性力RQ, 且RQ

6、maC, 同時力的作用線通過轉軸O。1. 當轉軸通過質心C時, aC0, RQ0, MQOIC。此時慣性力系簡化為一慣性力偶。3. 當剛體作勻速轉動且轉軸通過質心C時, RQ 0, MQO 0, 慣性力系自成平衡力系。 10.3 剛體慣性力系的簡化QIinQIiiOriwMQORQ例3 重P長l的等截面均質細桿AB, 其A端鉸接于鉛直軸AC上, 并以勻角速度w 繞該軸轉動, 如圖。求角速度w 與角的關系。解：以桿AB為研究對象, 受力如圖。 桿AB勻速轉動, 桿上距A點x 的微元段dx 的加速度的大小為 微元段的質量dmPdx/gl。在該微元段虛加慣性力dQi, 它的大小為xdxdQianqw

7、BACyx 于是整個桿的慣性力的合力的大小為設力RQ的作用點到點A的距離為d, 由合力矩定理, 有即假想地加上慣性力, 由質點系的達朗伯原理代入RQ的數值, 有qBAxdPFAxFAyRQxdxdQianqwBACyxDBA 例4 如圖所示, 均質桿AB的質量m40 kg, 長l4 m, A點以鉸鏈連接于小車上。不計摩擦, 當小車以加速度a15 m/s2向左運動時, 求D處和鉸A處的約束反力。 解：以桿為研究對象, 受力如圖, 建立如圖坐標。桿作平動, 慣性力的大小為RQma。假想地加上慣性力, 則由質點系的達朗伯原理于是得RQlA30DBh1maaFDmgFAxFAyxy 代入數據, 解之得：DBARQaFDmgFAxFAyxyBC 例5 均質桿AB長l, 重W, B端與重G、半徑為r的均質圓輪鉸接。在圓輪上作用一矩為M的力偶, 借助于細繩提升重為P的重物C。試求固定端A的約束反力。解：先以輪和重物為研究對象, 受力如圖