1、第一章 隼合與常用邏輯用語1.3簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞,全稱量詞與存在量詞基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)知識梳理1.命題pAq, pV q,稅p的真假判斷pqpA qpVq稅p真真良真假真假真假假真假真宴假假假其量詞名詞常見量詞表示符號全稱量詞所有、一切、任意、全部、每一個(gè)、任給等?存在量詞存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有一個(gè)、某個(gè)、有些、某些等?命題名稱命題結(jié)構(gòu)命題簡記全稱命題對M中任意一個(gè)x,有p(x)成立? xC M p(x)特稱命題存在M中的一個(gè)xo,使p(X0)成立? xo e m p( xo)命題命題的否認(rèn)? x e m p( x)? xoC M, W p(X0)? x0 e m p( x0)? xC M 狒

2、 p(x)【知識拓展】.含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的判斷規(guī)律pVq： p、q中有一個(gè)為真，如此 pVq為真，即有真為真；pAq： p、q中有一個(gè)為假，如此 pAq為假，即有假即假；稅p：與p的真假相反，即一真一假，真假相反.含一個(gè)量詞的命題的否認(rèn)的規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論.【思考辨析】判斷如下結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写蚧騒)(1)命題pAq為假命題，如此命題 p、q都是假命題.(x )(2)命題p和稅p不可能都是真命題.( V )(3)假如命題p、q至少有一個(gè)是真命題，如此 pVq是真命題.( V )(4)命題稅(pAq)是假命題，如此命題 p, q中至少有一個(gè)是真命題.(x )“長方形的對角線相

3、等是特稱命題.(X )(6)命題“對頂角相等的否認(rèn)是“對頂角不相等.( X )兀.設(shè)命題p：函數(shù)y= sin 2x的最小正周期為 金；命題q：函數(shù)y=cos x的圖象關(guān)于直線x=y對稱，如此如下判斷正確的答案是（）A. p為真B.稅q為假C. pAq為假D. pVq為真答案 C解析 函數(shù)y=sin 2 x的最小正周期為 今=兀，故命題 p為假命題；x=-2不是y=cos x 的對稱軸，命題 q為假命題，故pAq為假.應(yīng)當(dāng)選 C.2.命題p, q,僦p為真”是 p/q為假的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案 A解析 稅p為真知p為假，可得pAq為假；

4、反之，假如 pAq為假，如此可能是 p真q假， 從而稅p為假，故“稅p為真是“ pAq為假的充分不必要條件，應(yīng)當(dāng)選 A.3.（教材改編）如下命題中，為真命題的是（）? xC R, xD. ? x。C R, x0+2xo + 20答案 A4. （2017 調(diào)研）命題“全等三角形的面積一定都相等的否認(rèn)是（）A.全等三角形的面積不一定都相等- 104B.不全等三角形的面積不一定都相等C.存在兩個(gè)不全等三角形的面積相等D.存在兩個(gè)全等三角形的面積不相等答案 D解析命題是省略量詞的全稱命題，易知選 D.兀（2015 ）假如“？ xC 0, 7，tan xwm是真命題，如此實(shí)數(shù) m的最小值為 答案 1兀解

5、析 二函數(shù)y=tan x在0,上是增函數(shù)， y max= tan=1.依題意，m ymax,即m 1.，m的最小值為1.題型分類深度剖析題型一含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷例1 （1）命題p：對任意xC R,總有2x0; q： x1”是x2”的充分不必要條件，如此如 下命題為真命題的是（）A. pA qB.（稅 p） A （稅 q）C.（稅 p） A qD. pA （稅 q）（2）（2016 聊城模擬）假如命題 pVq”是真命題，“稅p為真命題，如此（）A. p真，q真B. p假，q真C. p真，q假D. p假，q假解析（1） .是真命題，q是假命題，p A倒q）是真命題.（2） ,.確p為真

6、命題，p為假命題,又pVq為真命題，q為真命題.思維升華pV q pA q 稅p等形式命題真假的判斷步驟（1）確定命題的構(gòu)成形式；（2）判斷其中命題p、q的真假；（3）確定“ pA q pV q 稅p等形式命題的真假.跟技訓(xùn)嫁1 |命題p：假如xy,如此xy,如此x2y2.在命題pAq； TOC o 1-5 h z p V q;pA （稅q）;（稅p） V q中，真命題是（）A.B.C.D.答案 C解析 當(dāng)xy時(shí)，一xy時(shí)，x2y2不一定成立，故命題q為假命題，從而稅 q為真命題.由真值表知：pA q為假命題；pV q為真命題；pA （稅q）為真命題；（稅p） V q為假 命題，應(yīng)當(dāng)選C.題型

7、二含有一個(gè)量詞的命題命題點(diǎn)1全稱命題、特稱命題的真假x+ y1,例2不等式組的解集記為 D,有下面四個(gè)命題：pc ? （x, y） CD, x+2yx 2y2, TOC o 1-5 h z p3：? (x,y)D,x+ 2y 1, 解析畫出不等式組x-2y0,故pi為真命題，p2為真命題，P3, p4為假命題.命題點(diǎn)2含一個(gè)量詞的命題的否認(rèn)例3 (1)命題“ ？ xoC R, x0-2xo0 的否認(rèn)是()? xC R, x22x0? xC R, x2-2x0? xqC R, x02x0 n? nC N, f(n)? N*或 f(n) n? n0 N , f (n) ? N(且 f (n0) n

8、0? n0 N, f (n0) ? N(或 f (n) n答案(1)C(2)D解析(1)將“？改為“ ？，對結(jié)論中的“ 進(jìn)展否認(rèn)，可知 C正確.(2)由全稱命題與特稱命題之間的互化關(guān)系知選D.思維升華 (1)判定全稱命題“ ？xCM, p(x)是真命題，需要對集合 M中的每一個(gè)元素 x, 證明p(x)成立；要判斷特稱命題是真命題，只要在限定集合至少找到一個(gè)x=xo,使p(xo)成立.(2)對全(特)稱命題進(jìn)展否認(rèn)的方法找到命題所含的量詞，沒有量詞的要結(jié)合命題的含義先加上量詞，再改變量詞.對原命題的結(jié)論進(jìn)展否認(rèn).跟蹤訓(xùn)練空(1)如下命題是假命題的是()? a , B C R,使 sin( a +

9、 ) = sin a +sin ? 6 C R,函數(shù)f(x)=sin(2 x+ 6)都不是偶函數(shù)? xo R,使 x0 + ax2+bxo+c=0(a, b, cC R且為常數(shù))? a0,函數(shù) f(x)=ln2x+ln x- a 有零點(diǎn)(2)(2017 質(zhì)檢)命題 p：“？x0CR, ex0 Xo 1W0，如此稅 p為()? Xo R, ex0-x0-10? X0C R, ex0-xo-1 0? xC R, ex-x- 10? xC R, ex-x- 1 0答案(1)B(2)C解析 (1)取 a = 0 時(shí)，sin( a + B)=sin a + sin B, A 正確；一兀 ， 一一，兀一，

10、一一、“，一一取6二了時(shí)，函數(shù)f(x)=sin(2 x+ ) = cos 2 x是偶函數(shù)，B錯(cuò)反；對于三次函數(shù) y= f (x) =x3+ax2+bx+ c,當(dāng) x_ _oo 時(shí)，y oo,當(dāng) x 一十 oo 時(shí)，y 一十 oo,又f(x)在R上為連續(xù)函數(shù)，故 ？x0CR,使x0+ax2+bx0+c= 0, C正確；當(dāng) f (x) =0 時(shí)，In 2x + ln x-a = 0,如此有 a= In 2x+ln x= (In x+!)2二，所以？ a0, 244函數(shù)f(x)=ln2x+ In x-a有零點(diǎn)，D正確，綜上可知選 B.(2)根據(jù)全稱命題與特稱命題的否認(rèn)關(guān)系，可得稅 p為“？ xCR,

11、 ex x10，應(yīng)當(dāng)選C.題型三含參數(shù)命題中參數(shù)的取值圍例4 (1)命題p：關(guān)于x的方程x2ax + 4=0有實(shí)根；命題q：關(guān)于x的函數(shù)y=2x2+ax+ 4在3, +oo)上是增函數(shù)，假如 pAq是真命題，如此實(shí)數(shù) a的取值圍是 .f(x) =ln( x2+ 1) , g(x) = (2)xm 假如對? XiC 0,3 , ? xzC 1,2,使得 f(x。g(x2), TOC o 1-5 h z 如此實(shí)數(shù)m的取值圍是()A. ；, + 8 )B. ( -oo, 14411C. 5, +00 )D. ( 8, 2答案 (1) 12, -4 U 4 , +00)(2)A解析(1)假如命題p是真

12、命題，如此 A=a2160,即aw 4或a 4；假如命題q是真命題，a 一如此一- 12. 4,pAq是真命題，p, q均為真，a 的取值圍是12, 4 U 4 , +8 ).(2)當(dāng) xC0,3時(shí)，f(x)min = f(0) =0,當(dāng) xC1,2時(shí)，1,g(X)min=g(2) =4- m 由 f (X) ming(X)min,得0； 所以m 1，應(yīng)當(dāng)選A.44引申探究本例(2)中，假如將“ ？ X2C 1,2”改為 ？ X2C 1,2 ,其他條件不變，如此實(shí)數(shù) m的取值圍是.1答案 2, +)1解析 當(dāng) XC1,2時(shí)，g(x)max= g(1) =2 m,/日 1由 f (X) min

13、Ag(x)max,彳# 0 2思維升華(1)含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假，可根據(jù)每個(gè)命題的真假利用集合的運(yùn)算求解參數(shù)的取值圍；(2)含量詞的命題中參數(shù)的取值圍，可根據(jù)命題的含義，利用函數(shù)值域(或最值)解決.強(qiáng)蹤訓(xùn)煉 3(1)命題 p： “? x 0,1 , aeX/,命題 q： “？ xtC R x0+4x0+a= 0.假如命題pAq”是真命題，如此實(shí)數(shù) a的取值圍是()A. (4 , +8 )B. 1,4C. e,4D. (8, 1)(2)函數(shù) f (x) =x22x+3, g(x) = log2x+m 對任意的 xi , xzC 1,4有 f (xi) g(x2)恒成立， 如此實(shí)數(shù)m的取值圍是

14、.答案 (1)C(2)( 8, 0)解析(1)由題意知p與q均為真命題，由p為真，可知ae,由q為真，知x2 + 4x+a=0 有解，如此 A =16-4a0,. aw ag( x) max,即 22 + m 解得n0,故實(shí)數(shù)m的取值圍是(00, 0).高頻小考點(diǎn)1.常用邏輯用語考點(diǎn)分析有關(guān)四種命題與其真假判斷、充分必要條件的判斷或求參數(shù)的取值圍、量詞等問題 TOC o 1-5 h z 幾乎在每年高考中都會(huì)出現(xiàn)，多與函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等知識相結(jié)合，難度中 等以下.解決這類問題應(yīng)熟練把握各類在聯(lián)系.一、命題的真假判斷22典例 1(1)命題p：?X0CR,x0+12x0；命題 q：假如

15、mx-mx-10恒成立，如此4n5”是 x24x50的充分不必要條件；命題 p: ? xoCR, x2+xo-10;命題“假如 x2-3x+ 2=0,如此x=1或x= 2的逆否命題為“假如 xwl或xw2,如此 x2- 3x+ 2W0 .A. 1 B . 2 C . 3 D . 4解析 (1)由于 x22x+1 = (x1)2R0,即x2+12x,所以p為假命題；對于命題q,當(dāng)n 0時(shí)，10可彳導(dǎo)x5或x5是“x24x50的充分不必要條件，所以正確；對于，根據(jù)特稱命題的否認(rèn)為全稱命題，可知正確；對于，命題“假如x2-3x+2=0,如此x=1或x=2的逆否命題為“假 如xwl且xw2,如此x23

16、x+2w0，所以錯(cuò)誤，所以錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為2,應(yīng)當(dāng)選B. TOC o 1-5 h z 答案(1)C(2)B二、求參數(shù)的取值圍.3 .一 一 典例2 (1) p：xk,q：Fg(x2),如此實(shí)數(shù)a的取值圍是()A. a1C. a0一一 ,31 32-x解析由x7T1,得仁不0 ,解得x2,由p是q的充分不必要條件，知k2,應(yīng)當(dāng)選B.x=2 時(shí),f(x) min=4,當(dāng) xC2,3時(shí),(2) . xC 2, 3, f(x)2x x=4,當(dāng)且僅當(dāng)2g(x)min= 2 +a= 4+ a,依題忌 f (x) min g(x) min, .sin y,如此xy；命題q： x2+y22xy.如下命題為假命

17、題的是()A. pV qB. pA qC. qD.稅 p答案 B解析 命題p假，q真，故命題pAq為假命題.2.如下命題中，真命題是()A.?xC R, x20B.?xCR, 1sin x0,故A錯(cuò)；？ xC R, 一 10,故C錯(cuò)，D正確.(2017 質(zhì)檢)命題 p： ?x0CR, log2(3x1)W 0,如此()p 是假命題；稅p：?xCR,log 2(3x+1)0p 是真命題；稅p:?xCR,log 2(3x+1)0答案 B解析 3x0,，3x+11,如此 log2(3x+1)0 ,p 是假命題；p：?xCR,log2(3x+1)0,應(yīng)當(dāng)選B.(2016 收官考試)p: ? xCR,

18、x2-x+10, q： ? xo (0 , +00), sin x01,如此如下命 題為真命題的是()A.pV(q)B.(稅p)V qC.pAqD.(稅p)A (稅 q)答案 A解析 因?yàn)閤2x+1= (x1)2+40所成立，所以命題 p是真命題；？ xCR, sin xw 1,所 以命題q是假命題，所以pV (稅q)是真命題，應(yīng)當(dāng)選 A.如下命題中的假命題是()A. ? xC R,2x10B. ?xCN*, (x- 1)20兀C. ?X0CR,1gxo0; B項(xiàng)，xC N*,當(dāng)X= 1時(shí)， TOC o 1-5 h z 2.2 一一 一.1.1一.(x1) =0 與(x 1) 0 矛盾；C項(xiàng)，

19、當(dāng) x0=10時(shí),lg = 12x, P2： ? e R, sin 0 + cos 0 =|, 如此在命題q1：p1Vp2；q2：p1 Ap2；q3：(稅p1)Vp2和q4：pA(稅P2)中，真命題是()A.q1,q3B.q2,q3C.q1,q4D.q2,q4答案 C 3 x 3x解析 因?yàn)閥 = (2)在R上是增函數(shù)，即y=(2) 1在(0, 十刃 上恒成立，所以p1是真命題；sin 0 + cos 0 =/sin( e +-4)0為真命題，所以 =(a1)24X 2X、0,即(a+1)( a3)0,解得一1a0),假如？ xC R,使得？玄61,2都有 af(x1)0),x a當(dāng) xC(0

20、, a)時(shí)，f (x)0, f(x)單調(diào)遞增；當(dāng) xC(a,十)時(shí)，f (x)0, f(x)單調(diào)遞減；故 f(x)max= f(a), ?xoCR,使得？ xiCl,2都有 f(xi)f(xi)%:寸？ xiC1,2恒成立，故a? 1,2,所以實(shí)數(shù)a的取值圍是(0,1) U(2, +8),選d.9.以下四個(gè)命題： ？ xC R, x23x+20 恒成立；？ xC Q, x2=2;？ xC R, x2+1=0; TOC o 1-5 h z ？ xC R,4x22x1 + 3x2.其中真命題的個(gè)數(shù)為()A. 0B. 1C. 2D. 4答案 A解析 ,x23x+20, = ( 3)24X20,當(dāng) x

21、2 或 x0 才成立，.為假命題；當(dāng)且僅當(dāng)x=q2時(shí)，x2=2, 不存在xCQ使得x2=2, .,為假命題；X?xCR, x2+1w0, .為假命題；4x2- (2x 1 + 3x2) = x2-2x+ 1= (x 1)210,即當(dāng) x= 1 時(shí)，4x2= 2x1 + 3x2成立，為假命題.均為假命題.10. (2016 模擬)函數(shù) f (x)的定義域?yàn)?a, b),假如 “？x0C(a, b), f (x。)+ f ( x。)w 0是假命題，如此f (a+b) =.答案 0解析 假如 “？ X0C (a, b), f(X0)+f( X0) wo” 是假命題，如此“？ xC (a, b), f

22、(x) + f( x) = 0是真命題，即f ( x) = f(x),如此函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，如此a+b=0,即f(a+b) =0.如下結(jié)論：假如命題 p： ? xqC R, tan x0= 1;命題q： ?xCR, x2 x pA (稅q)是假命題；直線 li： ax+3y1 = 0, 12： x+by+ 1=0,如此 li，l2的充要條件是：=3;b命題“假如x2-3x+2 = 0,如此x= 1的逆否命題是：“假如xw1,如此x23x+2w0”.其中正確結(jié)論的序號為 .答案解析 中命題p為真命題，命題q為真命題，所以pA (稅q)為假命題，故正確；當(dāng)b= a=0時(shí)，有l(wèi)11l2,故不正確；正確，所以正確結(jié)論的序號為.命題 p： x2 + 2x30;命題q： 1,假如(稅q) A p為真，如此 x的取值圍是3 x答案(一8, 2 U( 1, +8)解析 由命題 p： ? X06 R, (m+ 1)( x0 + 1) w 0 可彳導(dǎo)- 1,由命題 q： ? xC R, x2 + m肝 10恒成立，可得2Vm1.14.命