1、第七章 二次型與二次曲面 二次型討論的對象是多元二次齊次函數，這種函數在物理、統計、規劃、極值等問題中有廣泛的應用 例如在三維空間的幾何問題中，一般二次曲面在直角坐標系下表示為三元二次函數，通過對二次型的討論，可以研究二次曲面的分類.本章主要討論： 1 二次型的理論； 2 空間曲面與曲線； 3. 二次曲面的分類 17.1 實二次型7.1.1 二次型的定義及矩陣表示 1定義7.1 n個變量 的二次齊次函數 稱為 n 元二次型，簡稱二次型. 當 為實數時，稱 為實二次型， 為復數時 為復二次型，本書只討論實二次型2 2矩陣形式： 則二次型的矩陣形式為 為二次型 的矩陣, 為二次型的秩 3二次型 對

2、稱陣 注：討論二次型問題，首要的問題是給定二次型能準確地寫出二次型的矩陣，反之，給定一個對稱陣，會寫出以它為矩陣的二次型. 這里的關鍵概念是二次型的矩陣是一個對稱矩陣.3 例1 設二次型 試寫出二次型的矩陣.（ 為三元二次型） 解：將交叉項 的系數 即平均分配給 及 的二次型的系數矩陣 為.4 例 將二次型 寫成矩陣形式. 解： 是一個四元二次型，先寫出二次型的矩陣5 例 設 ，試寫出以 為矩陣的二次型. 分析： 是一個3階對稱陣，對應的三元二次型，把 與 合并后寫出二次型. 解：設 67.1.2 合同矩陣 1定義7.2（合同）二個 階方陣 和 ， 可逆陣 ，使 ，則稱 與 合同（Congru

3、ent）記成 . 矩陣合同的定義與矩陣相似的定義很相似，也是 階方陣之間的一種等價關系. 即 2合同 等價，合同 等秩，反之都不成立但不等秩，則一定不合同. 3合同關系具有以下性質： （1）自反性： . （2）對稱性： 則 . （3）傳遞性： ，則 . （4） 與 合同，則 . 可逆， . 7 4（二次型的變換）合同二次型 設二次型 ，經可逆線性變換 （ 可逆） 其中 ，即 與 合同， 仍是對稱陣. 所以經可逆線性變換后，二次型的對應矩陣是合同的. 也可以說：合同的矩陣是同一二次型關于不同變量的矩陣我們教材是將變量看成 個基下的坐標， 是一個基到另一個基的過渡矩陣，合同陣是不同基下的矩陣. 5

4、實對稱陣 （不但和對角陣相似，也與對角陣合同）. 由于實對稱可正交相似對角化. 所以存在正交陣 ，使 所以實對稱陣 都與對角陣合同. 換句話說，就是任意實二次型都可通過一個適當的可逆線性變換化成只有平方項 而沒有混合項 . 這就引出了二次型的標準形的概念.8 例4. 與矩陣 既相似又合同的矩陣是（ ） （A） . （B） . （C） . （D） . 分析： 是實對稱矩陣，所以 正交陣，使它和一個對角陣既相似又合同，對角陣的對角元恰是 的特征值.9 解： 的特征值是 ，與 既相似又合同的矩陣是，所以應選（D）.107.2 化實二次型為標準 1標準二次型：只含有平方項的二次型 稱為 元二次型的一個

5、標準型. 不惟一. 線性變換為 設 （1） 令 （1）可變為 . 但不惟一. （2） 當 是可逆陣時. （1）式是可逆線性變換. 117.2.1 用正交變換化實二次型為標準形 對于實二次型，最實用的方法是正交變換法，即所作的可逆線性變換中可逆矩陣 不只是可逆，還是正交矩陣. 這個正交陣的存在是由實對稱矩陣的性質決定的，值得注意的是這種方法僅限于實二次型. 定理7.1 對 元實二次型 ， 正交線性變換：（不惟一） ，使二次型 化為標準形. 是 的 個特征值. 注1 的秩 的標準形中系數不為0的平方項的個數. 2 任一個實二次型都可通過可逆線性變換化為標準形. 元二次型的標準形不惟一，有三種方法化

6、標準形. 12 例5 用正交線性變換化實二次型為標準形. 化成標準形. 解：（1）二次型 的矩陣為（2）由 ， 得 的特征值為 .（3）對 時，解 .即 13所以得同解方程組為 得基礎解系為 . 正交化： 14 單位化： 當 時，由方程組15 即 得基礎解系為 ，單位化為 .16 得正交陣 . 則 注：正交變換不惟一，但正交變換得到的標準形是惟一的.（不考慮對角元的次序時）177.2.2 用配方法化二次型為標準形 如果不考慮正交變換，可以用可逆線性變換把二次型化為標準形，得到標準形不是惟一的. 例6 用配方法將二次型化為標準形 分析：這是只有交叉項沒有平方項的二次型，先對用平方差公式. 解：令

7、 （1） 則 18 再令 （2） 則 所作可逆線性變換為 （2）代入（1）得19 可逆. 為可逆線性變換.7.2.3 用初等變換法化二次型為標準形 矩陣的初等變換法是對二次型矩陣 ，構造一個的矩陣 ，對 交替作初等行變換和相應的初等列變換，對 作列變換時，同時對 作相同的列變換，當 化作標準形時， 就化作了 . 這就是作可逆線性變換那個可逆矩陣. 對角陣.20 例7 用初等變換法將下列二次型化為標準形，并求可逆線性變換 分析：由于左上角的元素為0，而主對角線上第二個元素不為0，將第一列和第二列變換，同時將第一行和第二行交換，使得左上角元素不為0. 解：21由此得標準形 所用的可逆線性變換為所以

8、 7.3 正定實二次型7.3.1 實二次型的慣性定律 我們知道 元二次型都可以通過一個可逆線性變換化為標準形，標準形不唯一，因為用不同的可逆線性變換把同一個實二次型 化為標準形時，這些標準形中的系數一般說是不同的. 但在實可逆線性變換下，同一個實二次型的標準形中的正系數、負系數及零系數的個數是不變的，（實可逆線性變換可以不同），這就是實二次型的慣性定律.22 定理7.2 設 元實二次型 經實可逆線性變換 分別化成標準形 及 則 中正數的個數，負數的個數及0的個數都與 中正數的個數，負數的個數及0的個數相同，正數的個數稱為 的正慣性指數，記為 負數的個數稱為的負慣性指數，記為 .7.3.2 正定

9、二次型 對于實二次型有一個特別重要的性質正定性. 1定義7.3 設有 元實二次型 ，如果對且 ，都有 ，則稱 為正定（負定、半正定、半負定）二次型. 的矩陣稱為正定（負定、半正定、半負定）矩陣.23 2正定陣 實對稱陣，但反之不一定. 3二次型正定的充要條件： 定理7.3 實二次型 正定 正慣性指數 （標準形中 個系數全為正）. 證：設 ，經實可逆性變換 化為 . 反證：若 某個取 ，而 而 24與 正定矛盾，正慣性指數 . 維實向量 ，由 可逆知 故 為正定二次型.25 推論 7.1 實二次型 正定 的矩陣 的特征值全大于 . 證 是實二次型，由定理7.1知 正交變換 ，使 由定理7.3知，

10、 正定 其中 . 推論7.2 實二次型 正定 實可逆陣 使， . 證 維實向量 可逆， . 所以 是正定二次型. 已知 是正定二次型，由推論7.1知， 正交陣 ，使 ， 26令 ， 則 所以 由 可逆及 可逆，知 可逆.27定理7.4 實對稱陣 為正定的 的各階順序主子式都大于零.即 總結：二次型正定的充要條件 實二次型 正定 的正慣性指數 . 的特征值全大于 實可逆陣 ，使 . 的各階順序主子式全 與 合同 注：當 正定時，可證 ，正定. 負定 正定. 的奇數階主子式 ，偶數階主子式 .28 重點與難點：在實二次型（或實對稱陣）中，合同是一種分類的辦法，正定性是另一種分類的方法，重點是正定二

11、次型（或正定矩陣）. 注：說 或 是正定的，已經包涵了 實對稱， 可逆 ， 及 .利用 的正定性，來證明其他的問題，則是一個難點，要具體問題具體分析. 1正定陣（正定二次型的判斷） 例8 判別二次型 的正定性. 解 二次型的對應矩陣為29 ， 和 具有相同的正定性，故判定 的正定性即可（將分數運算化成參數運算）30 的全部順序主子式都大于0. 正定， 正定.31 例9 判斷 階 矩陣 是否正定陣. . 解法1 順序主子式： ， 正定.32 解法2 求 的特征值. 得 的特征值為 全 . 故 正定. 2矩陣（二次型）正定性的證明33例10 設 是 階正定陣，證明 也正定.證 因為 正定,所以 是

12、實對稱，即 ， 可逆， 也是實對稱.證1 用正定陣 全部特征值 . 已知 正定， 的 個特征值 都 . 又 的特征值為 都 , 正定. 證2 正定 實可逆陣 使 . 求逆 令 為實可逆陣，所以 正定.34 例11 設 是 階實對稱陣，其中 正定, 試證當實數 充分大時， 也正定. 證 由 正定， 可逆陣 ，使 ，即 ，令 . 仍是對稱陣，故 正交陣 ，使 ，其中 是 的特征值.35 正定（由Th7.3）. 當 時， 全 ， . 由Th7.3知 正定，從而 正定，（ 實對稱顯然）.36 例12 設 為實 ，證明 是正定的 .證 是實對稱陣. 若 正定，則 . 又 . 設 ，則齊次方程組 只有0解

13、. 對 ，有 ，設 . 由二次型定義知， 正定.377.4 曲面與曲線 在3.3節已熟悉了平面和空間的直線與三元一次方程之間的關系，現在在前兩節研究二次型的基礎上，本節重點又從代數轉向幾何，主要是討論二次曲面.與平面、直線一樣，曲面和曲線也可以看成是滿足某種條件的點的集合. 在坐標系下，這個條件表現為方程.38 在空間直角坐標系下，若曲面和三元方程有下述關系：曲面上的任一點的坐標都滿足方程；坐標滿足方程的點都在曲面上，則稱方程為曲面的方程，也稱為方程的圖形.下面對幾何特征很明顯的幾種常見的曲面和曲線建立它們的方程.397.4.1 球面已知球心在點，半徑為，求該球面的方程.在球面上，有 ， 該球

14、面方程為 （*）如果球心在坐標原點，球面方程為將（*）展開，得這個方程的特點是：（1）是三元二次方程 （2）二次項 的系數相同 （3）沒有交叉項. 40滿足這三個條件的方程一般說來圖形也是球面, 可將其配方為時，表示球心在,半徑為 的球面；時，球面收縮為一點（點球面）；時，無圖形（虛球面）例1.配方得表示球心為 的球面.41 平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 形成的軌跡叫做柱面，定曲線 叫做柱面的準線，動直線 叫做柱面的母線. 設柱面的母線 軸，準線 是平面 上的曲線 ，則此柱面方程為 . 一般地，含有兩個變量的方程在平面上表示一條曲線，在空間里表示一個柱面, 母線平行于不出現的那個變量對應

15、的坐標軸，同理 表示母線平行于 軸的柱面， 表示母線平行于 軸的柱面.7.4.2 柱面42例2表示母線平行于x 軸的雙曲柱面.例3表示母線平行y 軸的平面.7.4.3 旋轉曲面平面曲線C繞平面一直線 L 旋轉一周，所成的曲面叫做旋轉曲面. 曲線C 稱為母線，L稱為旋轉軸.設在面 yOz上，給定曲線C ：將其繞軸z旋轉一周，求此旋轉曲面方程.43設為 曲面上任一點，位于曲線 上點 的轉動軌道（圓周）上，顯然 ， 且由 到軸 的距離相等，有 ，所以旋轉曲面方程為 . 同理曲線 繞 軸轉一周得旋轉曲面方程為： 總之，在坐標面上的曲線繞其上一個軸轉動得到的旋轉曲面方程可以這樣寫處：將曲線方程中與轉軸相

16、同的變量不動，而把另一個變量換為它自己的平方與方程未出現的變量的平方和的平方根即可.44例4直線 繞 軸轉動得到的曲面為即 ，或 .圖稱為圓錐面，其半頂角 的正為 .例5 橢圓 繞 軸旋轉得到旋轉橢球面：45例6 雙曲線 繞 軸旋轉得旋轉單葉雙曲面例7 拋物線 繞軸旋轉得旋轉拋物面 一般地說：在一個方程中，若有兩個變量以平方和的形式出現，它就是旋轉曲面的方程.46一、空間曲線的一般方程空間曲線可以看作兩曲面 ， 的交線 稱為空間曲線 的一般方程. 注：由于過曲線 的曲面有無窮多，所以 的方程不唯一.例如，以原點為球心，1為半徑的球面 與 面的交線，是 平面上的以原點為圓心的單位圓，其方程為 7

17、.5 空間曲線及其方程 47例8 方程組 表示怎樣的曲線. 解 為平行于 軸的圓柱面, 為平行于 軸的平面，方程組表示平面與圓柱面的交線.例9 方程組 表示怎樣的曲線. 解 第一個方程表示以原點為球心，a為半徑的球的上半球面.第二個方程表示準線為 的面上的圓且母線平行于 軸的圓柱面.方程組為上半球面與圓柱面的交線. 也稱為維維亞尼曲線.48與 面的交線： 即曲線是橢圓； 與 面的交線： 是雙曲線； 與 面的交線： 是雙曲線解 : 例10 曲面 與坐標面的交線是什么?.49二、空間曲線的參數方程 與平面曲線一樣，空間曲線 也可由參數方程表示， 上的動點 為參數 的函數，給定 得 上的一點 隨 的

18、變動便得到 c 的全部點.即 為曲線 的參數方程.50例11 在圓柱面上有一動點M以角速度w右旋繞軸轉動同時又以勻速v沿母線上升，求M點的運動軌跡方程.解 取時間t為參數，當t=0時，點M位于處，經過時間t ，動點由運動到M在面 上的投影為角速度是則參數方程變為螺旋線在實踐中常用到，例平頭螺釘的緣曲線就是螺旋線，螺旋線上升的高度與速度成正比， 當 轉過一周時， 上升的高度 在工程技術上稱 為螺距.51三、空間曲線在坐標面上的投影 以空間曲線 為準線，作母線平行于 軸（或 軸、或 軸）的柱面，這個柱面與坐標面 （或 、 ）的交線稱為曲線 在坐標面 （或 、 ）上的投影（曲線）.52求空間曲線的投

19、影是很重要的，若已知曲線 的方程為 從這個方程組中，消去 所得到的方程，就是 以 為準線，母線平行于 軸的柱面方程 ，故 在 面上的投影為 同樣從 的方程中消去 或 ，可得到 在 和 面上的投影.53例12 已知兩球面的方程為 和 求它們的交線在 面上的投影方程 解 先求母線平行 軸過曲線 的柱面方程，從中消去 ，-化簡得 再以 代入或得柱面方程為兩球面交線在 面上的投影是547.6 二次曲面 在第五節我們講了空間曲面的概念，建立了球面方程和各種柱面方程等.這節我們要專門討論二次曲面，在平面幾何中我們研究了二次曲線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線等，在空間解析幾何中我們將三元二次方程所表示的曲面稱為

20、二次曲面，平面稱為一次曲面. 7.4節講過球面、圓柱面、拋物面和雙曲面，這些都是二次曲面在那節里我們只是粗略地描繪它們的圖形. 平面解析幾何中有時用描點法研究它的圖形，對于三元方程所表示的曲面的形狀，顯然難以用描點法得到，這節我們用截痕法來研究常用的二次曲面，即用坐標和平行于坐標面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌）.55 一、橢球面 由方程 （1）所確定的曲面叫做橢球面, 稱為橢球面的半軸，由（1）知 ， 即橢球面（1）完全包含在以原點為中心的長方體內. 為了知道這一曲面的形狀，我們先求出它與三個坐標面的交線56這些交線都是橢圓，再看這曲面與平行于 面的平面 的交線 這是 平面內的橢圓，它的兩個半軸分別為, 當 由小變大時，橢圓的截面由大到小，最后縮成一點，且這一系列橢圓的中心都在 軸上，同樣用平行于 面和平行于 面的平