1、現代數字信號處理第1頁，共28頁。 本科時開出的數字信號處理課程，主要講授的有：離散時間信號和系統的基本理論，離散付里葉變換及快速算法（DFT、FFT）等，這稱為所謂“經典”理論。 為研究生開設的這門學位課，主要內容為：最佳線性濾波（維納濾波和卡爾曼濾波），自適應信號處理，現代譜估計理論，同態信號處理，陣列信號處理，人工神經網絡和小波變換在信號處理中的應用，以及數字信號處理的硬件實現等。它們大多是近十多年來發展迅速和應用廣泛的前沿學科領域，其中不少屬交叉學科領域。因此，取名為“現代數字信號處理”。 但“經典”與“現代”沒有嚴格的界線，因為許多“經典”內容，也曾一度作為新興前沿學科，而今正在發展

2、的“現代”理論和方法，終有成為“經典”的一天。 本課程總學時數有限，許多內容還要同學們自學，不然的話，在這有限的學時中，很難完成我們的教學內容和學習目的。緒論第2頁，共28頁。第一章 基礎知識1.1 隨機矢量1.2 相關抵消1.3 Gram-Schmidt正交化1.4 偏相關系數1.5 功率譜和周期圖1.6 譜分解1.7 信號的參數模型第3頁，共28頁。1.1 離散隨機信號及其數字特征 一、隨機信號 指不能用確定性的時間函數來描述，只能用統計方法研究的信號。 統計特性 ：概率分布函數、概率密度函數 統計平均：均值、方差、相關 在時域離散情況下的隨機過程離散隨機信號第4頁，共28頁。二、離散隨機

3、信號 視為 隨機矢量 常用的數字特征是各種平均特性及相關函數等。 說明： 我們考慮的是：各態歷經信號指無限個樣本在某時刻所歷經的狀態，等同于某個樣本在無限時間里所經歷的狀態的信號。 所以只需測量一次樣本就是以描述所有樣本的隨機特性。 還有：我們研究的多是：平穩隨機信號其均值和相關不隨時間變化。 注意：各態歷經信號一定是平穩隨機信號，反之不然。 第5頁，共28頁。定義： 均值： 方差:我們討論的是 零均值的隨機信號，即可重新定義，讓 零均值。Note： 也為該信號的交流功率（平均功率）。第6頁，共28頁。 相關函數：即在時刻n、m的相關性。 自相關函數（一個隨機信號） 互相關函數（兩隨機信號）自

4、相關函數： 白噪聲信號互相關函數： 自協方差函數:第7頁，共28頁。三、N 維隨機矢量 是由N個不同隨機變量為分量構成： N維隨機矢量X的均值也是一個N 維矢量： X的自相關函數：是一 維的正半定對稱矩： 也稱平均互功率矩陣。用它來描述N 維矢量中任兩個元素間的相關程度，X 的自協 方差函數也是個 的正半定對稱矩陣：且： ，類似于 （零均值）時，第8頁，共28頁。1.2 相關抵消如果X、Y分別是N維和M維零均值隨機矢量，且它們相關： 現對Y進行線性變換（讓變換后的矢量與X不相關），得：（H是 維）構造： ，使e與Y不相關：即此式具有三個功能，即： 最佳線性估計 相關抵消 最佳信號分離由此構成相

5、關抵消器原理圖：Hxy-+第9頁，共28頁。1.3 Gram-Schmidt正交化 一、基本定義 內積的定義：設u、v為線性空間的任二矢量由前面分析可知：任一矢量X 相對于Y可分為兩部分：一部分為：另一部分為：e與Y不相關兩部分的相關函數：并且，可以證明 相互正交。 其內積為： 兩矢量正交：第10頁，共28頁。二、正交投影定理 定理：矢量X在線性空間Y上的正交投影 是 Y 中與 x 距離最近的一個矢量。定理說明： 可見，說明用Y中隨機變量的線性組合來逼近x時，在最小二乘方的意義上， 是最佳的。這是因為：由內積空間中兩矢量U、V 的距離公式： 就可得前面的結論。第11頁，共28頁。三、Gram-

6、Schmidt正交化 這是一個遞歸處理過程：其目的是由非正交基底 ,求出一組正交基底 。 處理過程為： 這樣構造出的基底 是Y 的正交基底。 設第12頁，共28頁。1.4 偏相關系數偏相關是一個與Gram-Schmidt 正交化緊密相關的概念，它在線性預測和現代譜估計中起著重要的作用。根據正交分解定理，有：第13頁，共28頁。上式寫成矩陣形式：可得：第14頁，共28頁。1.5 功率譜和周期圖一、定義：功率譜又稱功率譜密度定義為自相關函數的付里葉變換。 對于離散時間實平穩隨機信號 的功率譜 定義為： 的雙邊正變換：第15頁，共28頁。二、說明 若 是穩定的，則 的收效域包括 ， 令 ，便為功率譜

7、： 不相關隨機信號（白噪聲），其自相關函數 ：其功率譜 ： 兩實平穩隨機信號 根據定義，互功率譜 且有： 第16頁，共28頁。三、周期圖 說明： 在實際應用中，通常觀測到的是信號的有限個（N個）取樣值，用 表示，可以認為它是分段平穩隨機信號中的一段，也可以看成是從平穩隨機信號中截取出來的一段數據。 我們知道，平穩隨機信號，無論從何時開始取其中任何一段長為N 的數據，所計算出來的均值或自相關值都是相同的。第17頁，共28頁。 信號 可以看成是用寬為N 的數據窗W(n)從平穩隨機信號y(n)中截取出來的，即： 則自相關函數： 可看成： 定義： 由此得周期圖的定義：取樣自相關函數的雙邊Z變換：第18

8、頁，共28頁。考慮到：時域卷積 對應頻域相乘 上式很適合FFT計算。 第19頁，共28頁。 討論 長為N 的數據來計算周期圖，能達到的頻率分辯率為：數學頻率與物理頻率f，有 （物理）頻率分辨率： 其中， 是數據段的持續時間，單位秒。 第20頁，共28頁。1.6 譜分解 零點的位置不影響系統的幅頻特性，只影響相頻特性（亦不影響因果性和穩定性）。 即： 是最小相位序列，則其Z變換： 式中：零點 為最小延時多項式。 一、最小相位序列Z變換的所有零點都在Z平面單位圓內的序列最小相位序列，第21頁，共28頁。當把 共軛倒序為 時，相應的零點就從 。 若 在單位圓內，則 就在單位圓外。 當將這M個零點都移

9、至單位園外時，它對應的序列就是最大相位序列或最大延時序列。即全部零點在單位圓外。 二、最大延時序列三、部分能量和最小延時 序列 的總能量由帕斯瓦爾Parseval恒等式： 可以證明：最小相位序列的能量主要集中在初始階段。（具有最小延時）而最大相位序列的能量主要集中在尾部。（具有最大延時） 第22頁，共28頁。四、譜分解定理 定理：任何實平穩隨機信號 的有理功率譜， 都可唯一地表示成最小相位形式： 式中 為常系數， 為有理函數， 可調整 ，使 、 為首1多項式，則分解唯一。 第23頁，共28頁。 意義：首先是保證了平穩隨機信號模型的存在。 任何一個平穩隨機信號 都可看作是：白噪聲 激勵一個LTI

10、因果系統 產生輸出的。 白噪聲序列 B(z)因果、穩定、LTI 平穩隨機信號模型第24頁，共28頁。譜分解定理的證明很簡單。 是實平穩隨機信號 的功率譜密度函數： 滿足對稱條件： 如果 是它的實數零點， 則 也是實數零點； 如果 是復數零點，則 的實數性質可以判定 也將是一個復數零點； 說明 的分子多項式可以寫成最小相位多項式之積 ； 對于 的分母多項式也有類似的情況，即 ； 可調整 ，使 、 為首1多項式，則分解唯一。 為使 是因果和穩定的，它的全部極點，即 的全部零點都應在單位圓內，而為了使它的濾波器 是因果和穩定的， 的全部極點即 的全部零點也應在單位圓內，因此 、 都應是最小相位的，該

11、模型的輸出功率正好為：“譜分解” 定理，也保證了 的成立。 第25頁，共28頁。例：用譜分解定理對有理功率譜 進行分解 解： 由上式分解為： 其中： 大家下去完成 的譜分解。Note: 分母多項式不需分解，只對分子多項式分解 。Let：再比較兩邊系數 解得：故：即：第26頁，共28頁。進一步說明：譜分解定理對于實平穩隨機信號有理功率譜 這里： 最小相位 是兩個最小相位Z變換之比。 合成系統 分析系統 若系統 為因果穩定，由 可知， 的極點與 的零點都必須在單位圓內，因此 是最小相位序列。 若 系統亦為因果穩定，同理可知， 亦為最小相位序列，因此 、 均為最小相位序列。 第27頁，共28頁。1.7 信號的參數模型 信號的參數模型應用很廣，多種多樣，但其思想是共同的，即將具有許多變量的復雜過程用包含少量參數的簡單模型來表示，用簡單模型表示復雜過程就會有近似誤差，但是，如果模型參數具有物理意義，就可研究模型參數產生的影響，從而更深入地認識原來的過程。 本書研究的對象主要是離散時間信號或序列，因此，將特別關心離散時間信號的參數模型的建模方法。 很