1、函數的周期性與常考題【知識點分析】：函數的周期性設函數y=f(x), xCD,如果存在非零常數 T,使得對任意xCD,都有f(x + T)=f(x),則稱函數f(x)為周期函 數，T為函數f(x)的一個周期.(D為定義域) TOC o 1-5 h z 型的周期為To定義：對x取定義域內的每一個值時，都有，則 為周期函數，T叫函數的周期。【相似題練習】1 .定義在 R 上的函數 f (x)滿足：f (x+6) = f (x),當-3Wxv - 1 時，f (x) = - ( x+2) 2；當-1Wxv3 時，f (x) =x,貝U f (1) +f (2) +f (3) + +f (2019)=

2、()A. 336B. 337C. 338D . 339.已知定義在 R上的函數y=f(x)對于任意的 x都滿足f (x+2) =f(x).當-1Wxv1時，f (x) = x3.若函 數g (x) = f (x) - loga|x|至少有6個零點，則a的取值范圍是 .已知f (x)是定義在R上的函數，且對任意實數 x有f (x+4) = - f (x) +2修，若函數y=f (x-1)的圖象關 于直線x= 1對稱，則f (2014)=()A . - 2+2 6B . 2+2北C , 242D.在【知識點分析】：型的周期為。證明：。特別得：f (x-a) = f (x+a)型，的周期為2a。【相

3、似題練習】2.已知偶函數 y=f (x)滿足條件f (x+1) =f (x-1)，且當xq-1, 0時，f (x)=,則f(loq 5)的值T等于1 .已知函數f(x)的定義域為R.當x1, f (5) = a2-2a- 4,則 實數a的取值范圍是()A.(-1,3)B.(一巴1)U ( 3, +8)C.(- 3,1)D.(-8, 3)U ( 1, +8).已知函數f (x)對任意xCR者B有f (x+6) +f (x) =2f (3) , y=f (x- 1)的圖象關于點(1,0)對稱，且f (4) =4,貝U f (2012)=()f(X)二-f, f (T)A. 0B. - 4C. -

4、8D. - 161.已知定義在 R上的函數f (x)的圖象關于點(-0)成中心對稱圖形，且滿足=1 , f (0) = - 2,則 f (1) +f (2) + +f (2015)的值為()A. 1B. 2- 1- 2【知識點分析】：4.的周期為2a。證明：【相似題練習】1.若偶函數f (x)對任意 xCR,都有 f (x+3)=-且 x - 3,2時,f (x) = 2x,則 f (101.5)1 .已知偶函數f (x)滿足 f (x+1),且當 xq - 1, 0時，f (x)= x2,若在區間-1, 3內，函數g(x) =f (x) - loga (x+2)有4個零點，則實數 a的取值范

5、圍是 【知識點分析】：5.證明:的周期為【相似題練習】1 .設定義在R 上的函數f(x)滿足 f(x)?f (x+2)=13,若 f (1) = 2,則 f (2015)=()A. B. C. 13D .322.已知函數y=f (x)滿足f (x+1)(2018)=()A. 0B. 2【知識點分析】：6.型的周期為4a。證明：f fs-1)和 f (2 x) = f (x+1)，且當 x45,罰時，f (x) =2x+2,則 f【相似題練習】1 .定義在R上的函數f (x)滿足： 仆2)二魯; ,當 xC (0, 4)時，f (x) = x2- 1 ,貝U f (2010) =.【知識點分析】

6、：7.兩線對稱型函數關于直線、 對稱，則 的周期為。證明：正弦函數關于直線對稱，則的周期為【相似題練習】y=f (2x)的圖象關于直線(ba)對稱，則f (x)的一個周期為(B. 2(b- a)C.D. 4 (b a)1 .偶函數f (x)對于任意實數x,都有 f (2+x) =f (2-x)成立，并且當- 2WxW0 時，f (x) =2-x,則”羋尸(XiA.2B.C.D.【知識點分析】：8. 一線一點對稱型函數關于直線及點(b, 0)對稱，則的周期為o證明:余弦函數關于直線及點()對稱，則的周期為【相似題練習】1 .已知定義在 R上的函數f ( x)滿足f (2 - x)為奇函數，函數

7、f (x+3)關于直線x=1對稱，則函數f (x)的最小正周期為(A. 4)B. 8C. 12D.161.已知函數(x)的圖象關于原點對稱，且滿足f (x+1) +f (3 x) = 0,當 xC (2, 4)時，f (x) = 10gp (x 孑1) +m,若fC2021)-l=f (T),則實數m的值是()B：C._4【知識點分析】：9.兩點對稱型函數關于點(a, 0)、( b, 0)對稱，則的周期為證明:正弦函數關于點(0, 0)、對稱，則的周期為1.設函數f (x)是定義在R上的奇函數，且圖象關于點(,0)成中心對稱.2(1)證明：y=f (x)為周期函數，并指出其周期;(2)若 f

8、( 1) = 2,求 f (1) +f (2) +f (3) + +f (2011)的值.【知識點分析】： 其他：根據定義求【相似題練習】1.已知函數f (x)對定義域內任意x, y,有fQ+vM 叼尸城1-f (zjf (y)且 f(1)= 1,則 f (2011)=1 .函數f (x)在定義域 R上不是常數函數，且 f (x)滿足又任意 xCR,有f (4+x) = f (4 - x) , f (x+1) = f (x1),則 f (x)是()A.奇函數但非偶函數C.奇函數又是偶函數B.偶函數但非奇函數D.非奇非偶函數1.已知定義在 R上的函數f (x)既是奇函數，又是周期為3的周期函數，

9、當在(0,力時,flic)七inn工，f=n,則函數f (x)在區間0, 6上的零點個數為個.課后作業:1 .已知定義在 R上的函數f (x)滿足f (x) = - f (x+1),且當1Wxv2時，f (x)( )0- 6C. 18D. - 181 .已知奇函數 f (x) (xCR)滿足f (x+4)=f (x 2),且當 xq 3, 0)時,f (k)二工十3號,貝U fx 2(2018)=(B.C.已知 y=f (x)(985)=(27是定義在R上的函數，且 )- 27f (x+4)= - f (x),如果當x-4,0)時，f (x) = 3x,貝Uf9- 91 .已知 y=f (x)

10、是定義在R上的函數，且f (x-4) = - f (x),如果當 xq 4, 0)時，= (我)-式，貝U f(266)=1. f (x)是定義在R上的奇函數，滿足,當 xC (0, 1)時,f (x) =2x-2,則久1口 i 6)T.若定義在實數集 R上白f(x)滿足：xC(-3, - 1)時，f (x+1) =ex,對任意x貝，都有(/2)二一成 f (工)立.f (2019)等于()A. eB.eC. eD. 11 .定義在 R上的偶函數f (x),對任意的實數 x都有f (x+4) = - f (x) +2,且f ( - 3) = 3,則f (2015)=( )A. - 1B. 3C

11、. 2015D. - 40281 .若偶函數y = f (x) (xCR)滿足條件：f (- x) =f (1+x),則函數f (x)的一個周期為 .參考答案與解析：1 .定義在 R 上的函數 f (x)滿足：f (x+6) = f (x),當-3Wxv - 1 時，f (x) = - ( x+2) 2；當-1Wxv3 時，f (x) =x,貝U f (1) +f (2) +f (3) + +f (2019)=()A. 336B. 337C. 338D . 339【解答】 解：.f (x+6) =f (x),當3 xv 1 時，f (x) = ( x+2) 2當1Wxv3 時，f (x) =x

12、, .f (1) =1, f (2) =2, f (3) =f (-3) = T,f (4) = f (-2) =0, f (5) = f( - 1) = - 1 , f (6) = f(0) = 0,.f (1) +f (2) +f (3) +f (4) +f (5) +f (6) =1, f (x+6) =f (x) ,f (x)的周期為 6, .f (1) +f (2) +f (3) + - +f (2019) = 336+f (1) +f (2) +f (3) = 338.故選：C.1.已知定義在 R上的函數y=f(x)對于任意的 x都滿足f (x+2) =f(x).當-1Wxv1時，

13、f (x) = x3.若函數g (x) = f (x) - loga|x|至少有6個零點，則a的取值范圍是 (0, U (5, +刈.【解答】解：根據題意，函數 g (x) = f (x) - loga|x|的零點個數，即函數y=f (x)與y=loga|x|的交點的個數；f (x+2) = f (x),函數f (x)是周期為2的周期函數，又由當-1x 0 時，y= logax,則當 x-1,解得 a5,或0vaw=.所以a的取值氾圍是(0,故答案為：(0,U (5, +00)-a.已知f (x)是定義在 R上的函數，且對任意實數 x有f (x+4) = - f (x) +2日,若函數y=f

14、(x-1)的圖象關 于直線x= 1對稱，則f (2014)=()A. - 2+2/2B. 2+2V2C. 2/2D. MW【解答】解：f (x)是定日在R上的函數，且對任意實數x有f (x+4) = - f (x) +2/2,-f (2) = - f ( - 2) +2/2,又： y=f (x-1)的圖象關于直線 x= 1對稱，向左平移1個單位，得y=f (x)圖象關于y軸對稱，f ( x) = f (x) , f (x+4) +f (x) ：2萬，2f (2) =2%用，解得 f (2) =72,.f(6) +f (2) = 2我，解得 f(6)萬，從而得到 f(2+4n) = f =在，.

15、 .f (2014) =f (2+503X 4) = V2 故選：D.0時，f (x) = 3x則f (I二1 5)的值2.已知偶函數 y = f (x)滿足條件f (x+1) = f (x - 1),且當x - 1,等于.【解答】解：由 f (x+1) = f (x-1),得 f (x+2) = f (x),所以 f 又f (x)為偶函數，. fQ肛 5) = f ( - Iog35) = f (log 35) = f(Lo g35-2)=f (lj g 3) T.已知函數f (x)的定義域為R .當xv 0時，f(x)=x3- 1;當-1W xW 1時，f ( -x)= - f (x);當

16、其時，fG+春)二f&W),則 f(2019)=()A. - 2B. - 1C. 0D. 2【解答】解：二.當是時，1,(x)是以2為周期的周期函數,f 丘卡斗(工-卷)，f (x) =f(x+1), w時,1Jf (x)的周期T =又當 x0 時，f (x) =x31；當1w x 1, f (1) - 1. . . a2 - 2a - 41, f (5) = a2-2a- 4,則【解答】解：因為函數y=f(x- 1)的圖象關于點(1,0)對稱，所以函數y=f(x)的圖象關于點(0,0)對稱，即函數y=f (x)是奇函數，令 x= 3 得，f ( 3+6) +f ( 3) = 2f (3),即

17、 f (3) f (3) = 2f (3),解得 f (3) =0.(x),即函數的周期是 12.所以 f (x+6) +f (x) = 2f (3) =0,即 f (x+6) = - f (x),所以 f (x+12) = f 所以 f (2012) =f (12X168-4) =f (- 4) = - f (4) =- 4.故選：B.1 .已知定義在 R上的函數f (x)的圖象關于點(-,0)成中心對稱圖形，且滿足f(X? =-f (x=1, f (0) = - 2,貝U f (1) +f (2) + +f (2015)的值為(A. 1B. 2C. - 1)D. - 2【解答】解：由題意可

18、得)=-f (x+3) = f (x+3)，.二函數f (x)的周期為3,又函數f (x)的圖象關于點(-,0)成中心對稱,. .f (x)= - f (結合f(x)二一f (x+y)可得f(-x) = f (.2令 t = x+,貝U f ( - t) = f(t),即函數 f (x)為偶函數，f (1) =f(-1) =1,.f (1) +f (2) +f (3) =f (1) +f (T) +f (0) =0,.f (1) +f (2) + - +f (2015) = 671X 0+f (2014) +f (2015) = f (1) +f (2) = 2 故選：B.1 .若偶函數f (

19、x)對任意xCR,都有 f (x+3)=,且 xq 3, - 2時，f (x) = 2x,貝U f (101.5)=f (l)【解答】解：根據題意,期為6的周期函數，則f (x)滿足 f (x+3) = -,則 f (x+6) f Q)f (101.5) =f ( 0.5+17X6) = f ( 0.5),1= f (x),即函數 f (x)是周f廣 3)又由f (x)為偶函數，則f ( 0.5) = f (0.5),又由 f (0.5) = f ( 2.5+3)=1.已知偶函數f (x)滿足 f (x+1)=-=工，則 f (101.5)=; 故答案為： 工2X (-2, 5) 555,且當

20、xq-1, 0時，f (x) =x2,若在區間T, 3內，函數g(x) =f (x) - loga (x+2)有4個零點，則實數 a的取值范圍是5, +8).【解答】解：函數f (x)滿足f (x+1) =- -1,故有f (x+2) =f (x),故f (x)是周期為2的周期函數.fCx)再由 f(x)是偶函數，當xq-1, 0時，f (x) =x2,可得當x0,1時，f (x) =x2,故當 xq 1 , 1時，f (x) = x2,當 xQ1 , 3時，f (x) = ( x- 2) 2.由于函數g (x) =f (x) - loga (x+2)有4個零點，故函數 y = f (x)的圖

21、象與y= loga (x+2)有4個交點, 所以可得1Rloga (3+2) , .實數a的取值范圍是5, +8).故答案為：5, +8).1 .設定義在 R上的函數f (x)滿足f (x) ?f (x+2) = 13,若f (1) = 2,則f (2015)13B.13C. 1339【解答】解：由函數的關系式可得:f (x) f (x+2) = 13, f (x+2) f (x+4) = 13,據此有:f (x) = f (x+4),即函數f (x)是周期為4的函數,據此可得：f (2015) = f (504X4- 1) = f ( - 1),關系式 f (x) f (x+2) = 13

22、中，令 x= - 1 可得：f(- 1) f (1) =2f(- 1) =13,二號.故選:B.1 .已知函數 y= f (x)滿足 f (x+1)=工和 f (2 x) = f (x+1),且當 xCT1時，f (x) = 2x+2,則 f(2018)=()A. 0B. 2C. 4【解答】 解：f (x+1)=”工和 f (2 x) = f (x+1),1，即 f (x+4)=. f (x+2) =|fG)=f (x),即f (x)的最小正周期是 4,f (2018) = f (4X 504+2) = f (2) ,f (2-x) =f (x+1),當 x=1 時，f (2 1) =f (1

23、+1),即 f (2) = f (1)，;當 xe/,一時，f (x) = 2x+2.f (1) =2+2 = 4,即 f (2018) = f (2) = f (1) =4,故選：C.1 .定義在R上的函數f (x)滿足：f (對2)= 1 一 Fl 1+f(i),當 xC (0, 4)時，f (x) =x2 1,貝U f (2010)=【解答】解：二.定義在 R上的函數f(x)滿足：“丫”=上豈短小聞二TTET又 x e (0, 4)時，f (x)f (x)故函數的周期是(2010) = f (2) = 22-.若y=f (2x)的圖象關于直線 xnxm (ba)對稱，則A. B. 2 (

24、b- a)C.22【解答】解：設f (2x) =sin2x圖象關于直線置0和5t心，s 2 x 2貝U f (x) = sinx關于 x= a 和 x= b 對稱，貝U 2 (b a)是 f (x)4.f (2010) = f (2)1 = 3故答案為31.f (x)的一個周期為(D. 4 (b-a)的一個周期.故選：B.1 .偶函數f (x)對于任意實數f(竿產()x,都有f (2+x) =f (2-x)成立，并且當-2WxW0時,f ( x) = 2 x,則A4B.【解答】 解：對任意實數 x 者B 有 f (4+x) = f2+ (2+x) = f2- (2+x) = f( x),由于f

25、 (x)為偶函數，所以f ( - x) = f (x).所以f (4+x) = f (x).所以函數f (x)是以4為周期的周期函數.所以 儀竽)毋252X 吟=f (舄=fC-1)=2-(4)4故選：C.1 .已知定義在 R上的函數f (x)滿足f (2-x)為奇函數，函數 f (x+3)關于直線x=1對稱，則函數f (x)的最 小正周期為()48C. 12【解答】解： f (x)滿足 f (2-x)為奇函數，f (2+x) = - f (2-x),即 f (4+x) = - f ( - x)，函數f (x+3)關于直線x= 1對稱，.將函數f (x+3)的圖象向右平移 3個單位得到y=f(

26、x)的圖象， 則函數f (x)的圖象關于直線 x=4對稱，f (4+x) = f (4-x)，由得：f (4 - x) = - f( - x),即 f (x+4) = - f (x),8.故選：B.，f (x+8) = - f (x+4)即f (x+8) =f (x),故函數f (x)的最小正周期為f (x) = - logj.1x-f (x+1) +f (3 x) =0,當 xC (2, 4)時,-1),則實數1) +m,【解答】解：根據題意，函數m的值是(4f (x)滿足 f (x+1) +f (3-x) = 0,又由 f (x)為奇函數,貝Uf (x+1) = f (3-x) =f (x

27、3),即 f (x+4) =f (x), 故函數 f (x)的周期為 4,則 f (2021 ) =f (1+2020) =f (1), 當 x C (2, 4)時，fQ) =-lo g i (義-1)斗m,貝(J f(3)= m+1 ,T即 f (2021) = f (1) =- f (3) =- m - 1,又由f (x)為奇函數，則 f (- 1) =- f (1) = m+1 ,若 f12U4)-l則有 f1T =m+1,解可得：m=-A；故選：C.2乙3.設函數f (x)是定義在R上的奇函數，且圖象關于點(3,0)成中心對稱.2(1)證明：y=f (x)為周期函數，并指出其周期；(2

28、)若 f ( 1) = 2,求 f (1) +f (2) +f (3) + +f (2011)的值.【解答】證明：(1)二函數f (x)圖象關于點(，0)成中心對稱，.f (x) +f (3-x) = 0,f (x+3) +f ( - x) =0, f (x+3) = - f ( - x),又 f (x)為奇函數,f (- x) = - f (- x) ,f (x+3) = f (x) , y= f (x)為周期函數，其周期 T= 3.(2) .f ( 1) = - 2, f (x)為奇函數，f (1) = 2,又 f (0) = 0,.f (2) =f (2-3) =f (-1) = - 2

29、, f (3) = f (0) =0, f (1) +f (2) +f (3) =0,f (4) +f (5) +f (6) = 0, . f (1) +f (2) +f (3) + + f (2011)= 670f (1) +f (2) +f (3) +f (2011) = f (2011) = f (670X 3+1) = f (1) =2.貝U f (2011) = 11.已知函數f (x)對定義域內任意 x, y,有Mk+y)=1-f tyj【解答】解：.函數f (x)對定義域內任意 x,令 x=y=0,得 f (0)=2f(0)f (0) = 0.令 y= - x,彳# f (0)(

30、-K)1-f G) f Ir)=0,，f ( - x) = - f (x),即函數f (x)是奇函數.丁f(K+y)=f G)+f (了)f (x+1)=1+W . 1-f(i).f (x+2).f (x)是以4為周期的周期函數,3解：:當 xC (0,)時,f (x+4)=f (x),f (1) = 1 , . f (2011) = f (503X 4 1) = f( 1)= f (1)= - 1故答案為：-1.1 .函數f (x)在定義域 R上不是常數函數，且 f (x)滿足又任意 xCR,有f (4+x) = f (4-x) , f (x+1) =f1),則 f (x)是()A.奇函數但

31、非偶函數B.偶函數但非奇函數C.奇函數又是偶函數D.非奇非偶函數【解答】 解：,f (4+x) =f (4-x) , 函數 f (x)的對稱軸為 x= 4,又 f (x+1) = f (x-1),. .f (x+2) =f(x) , .函數f (x)的周期為T= 2,，x = 0也為函數f (x)的對稱軸，.f (x)為偶函數，又; f (x)在R上不是常數函數，故 f (x)不，f1為0,.f (x)為偶函數但不是奇函數.故選： B.3I1.已知定義在 R上的函數f (x)既是奇函數，又是周期為3的周期函數，當工毛時，NG-in71萬1 =0,則函數f (x)在區間0, 6上的零點個數為9個

32、.f (x) = sin 水，令 f (x) =0,則 sin 芥=0,解得 x= 1.又函數f (x)是定義域為 R的奇函數，在區間 q-昌，區上，2回f ( - 1) =f (1) = f (g)=f (-亙)=0, f (0) = 0, .函數f (x)是周期為3的周期函數，叵 回則方程f(x)= 0在區間0,6上的解有0,1, JL,2,3,4,國5,6.共9個.故答案為：9.22作業答案:1 .已知定義在 R上的函數f (x)滿足f (x) = - f (x+1),且當 1Wxv2 時，f (x)=9x- 9,則=0- 618- 18【解答】解：由f (x) = f (x+1),貝U

33、 f (x+2) = f( (x+1) +1) = f (x+1) = ( f (x)=f (x),所以周期為2.故選：C.1 .已知奇函數 f (x) (xCR)滿足f (x+4) = f (x- 2),且當1 jvq-3, 0)時，f丁谷可則f(2018)=()B.c. 4-【解答】解：奇函數1- f ( x+6) = f (x),f (x) (xCR)滿足 f (x+4) =f (x-2),當 x- 3, 0)時,兀f (x)3sin7rf ( 2).f (2018) = f (336X 6+2) =f (2)=1JT.=-二二一 T 一2D.故選:C. 90)時，f (x) = 3 x

34、,則 f.已知y=f (x)是定義在R上的函數，且(985)=()A. 27B. - 27f (x+4) = - f (x),如果當 x-4,D. - 9【解答】解：= y=f (x)是定義在R上的函數，且f (x+4) = - f (x), . f (x+8) = - f (x+4) = f (x),當 x- 4, 0)時,f (x) = 3 x,.f ( 985) = f (123X8+1) = f (1) = - f ( - 3) = - 33= - 27.0)時，武加(近尸，則f故選：B.1 .已知y=f (x)是定義在 R上的函數，且 f(x-4)= - f (x),如果當xq-4,

35、(266) =-2 .【解答】解：= y=f (x)是定義在R上的函數，且f (x+4) = - f (x), . f (x+8) = f (x+4) = f (x),(如)x，(2) = - f( - 2) = - ( 2)2= - 2.1. f (x)是定義在 R上的奇函數,當 xC (0, 1)時，f (x)=2、_ 2，則f 1。g 6)= T【解答】解：根據題意，f (x),則有 f (x+2)f (x),即函數f (x)是周期為2的周期函數，又由f (x)為定義在R上的奇函數,貝Ufll耳 1 6) = f ( 10g26) =- f (log26) =- f (log26 2)

36、=- f(log當 xC (0, 1)時，f (x) = 2x-2,貝U f (log故 口 6)=故答案為：?21 .若定義在實數集 R上白f (x)滿足:xC(3, 1)時，f (x+1)對任意1f (l)立.f (2019)等于()A. e2B. e 2C. eD.【解答】解：根據題意，對任意xCR,者B有f (耳十2)=成立，則有(x+4)即函數f (x)是周期為4的周期函數，貝U f (2019) = f ( - 1+2020) =f (-1),x (-3, 1)時，f (x+1) = ex,當 x= 2 時，有 f ( 1) = e 2,則 f (2019) = e 2,故選：B.

37、1 .定義在R上的偶函數f (x),對任意的實數 x都有f (x+4) = - f (x)+2,且 f ( 3) = 3,貝U f (2015)=( )一 13C. 2015D.-4028當 xq 4, 0)時,f (x)= .f (266) = f (33X8+2) = f 故答案為：-2.【解答】解：二對任意的實數x都有f (x+4) = - f (x) +2,令 x=- 1,貝 Uf (3) = - f( - 1) +2=3,f( - 1) = - 1,又由 f (x+8) = f (x+4) +4 = - f (x+4) +2= - - f (x) +2+2 = f (x),故函數f

38、(x)是周期為8的周期函數，故 f (2015) =f (T) =- 1, 故選：A.1 .若偶函數y=f(x)(xCR)滿足條件：f (- x) =f (1+x),則函數f(x)的一個周期為_1【解答】解：.偶函數 y=f (x) (xCR)滿足條件：f(-x) =f(1+x),f ( x) = f (x) = f (1+x),函數f (x)的一個周期為1.故答案為：1.備用題：.定義在 R 上的函數 f (x),對任意 x 均有 f(x)=f (x+2)+f(x-2)且 f (2013) = 2013,貝 Uf (2025)，則y=f (ax)的一個正周期為(.如果函數 y= f (x)滿足 f (ax) = f (ax -電)(a 0)4B.1 .已知定義在 R上的函數f(x)的周期為4,時,f (x) = () x-ic-4，則 f (-log36) +f(log354)=(C.=fB. 03.A.叵(x).右 xq兀時,f (x)sinx.COSX J,則C.1 .設f (x)是定義在R上的偶函數，其圖象關于直線x= 1對