1、目錄摘要1第一章緒論2時間序列模型的發展及其作用2什么是時間序列模型2本文研究的主要方法和手段2本文主要研究思路及內容安排2TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark14 第二章ARMA模型4ARMA模型的基本原理42.2樣本自協方差函數、自相關函數和偏相關函數4 HYPERLINK l bookmark16 ARMA模型識別方法5模型參數估計6第三章實例分析7題目7問題分析7問題求解8TOC o 1-5 h z3.3.1數據的觀測83.3.2數據處理83.3.3求解自相關和偏相關函數8模型的識別及求解9結論11參考文獻12附錄12評閱書15隨機過程課程設計任務書姓名

2、學號指導教師設計題目平穩時間序列的ARMA(p,q)模型的計算理論要點根據所給數據繪制出圖形，觀察圖形判斷是否為平穩時間序列。是平穩序列后計算p和p。當p和p都拖尾判斷是ARMA(p,q)模型，kkkkkk接下來確定ARMA(p,q)模型的階數，及計算出參數，最后用所求得的ARMA(p,q)模型表達式設計目標尋找一組平穩時間序列的數據，求出自相關函數和偏相關函數，畫圖判別平穩時間序列符合ARMA(p,q)模型，在參數估計求出ARMA(p,q)模型.研究方法步驟用所給的若干個數據繪圖，判別是否為平穩序列，不是的要化為平穩序列。計算出p和p的值及繪制圖形判別所屬類型。kkk確定階數及計算參數。求出

3、ARMA(p,q)模型預期結果計算得到的p和p值所繪制的自相關函數和偏相關函數的圖像都kkk是拖尾的，確定階數并求解出ARMA(p,q)模型。計劃與進步的安排第1-2天：確定與要求相關的問題及借閱相關書籍，第3-4天：分析問題及解決問題，編寫相關程序及運行程序。第5-6天：撰寫論文，校對，檢查。參考資料張善文雷英杰馮有前.MATLAB在時間序列分析中的應用西安：西安電子科技大學出版社2007汪榮鑫編.隨機過程西安：西女父通大學出版社2006劉衛國Matlab程序設計與應用北京高等教育出版社2006田錚秦超英隨機過程與應用北京科學出版社2007填寫時間2012年12月17日隨機過程課程設計 摘要

4、ARMA模型是研究時間序列的重要方法，由自回歸模型（簡稱AR模型）與滑動平均模型（簡稱MA模型）為基礎“混合”構成。ARMA模型廣泛應用在經濟、工程等各個領域得益于其在具體預測方面的優勢。在許多方面用該模型所作出的預測比其他傳統經濟計量方法更加精確。平穩時間序列模型主要有自回歸模型（AR）、滑動平均模型（MA）和自回歸滑動平均模型（ARMA）等，這些線性模型考慮因素較簡單。自回歸滑動平均模型（ARMA）計算簡單，易于實時更新數據。本文描述了ARMA模型的原理、自相關函數和偏相關函數的計算過程、模型的識別方法以及ARMA模型的計算過程。并給出一組平穩時間序列的數據，對數據進行分析和處理，求出自相

5、關系數和偏相關，并利用MATLAB軟件畫出自相關系數和偏相關圖形，有圖可知它們都是拖尾的，因此可以確定是ARMA（p,q）模型。接下來就是確定ARMA（p,q）的階數，本文采用了AIC準則確定模型的階數,在實際問題中，為使線性模型簡單起見，通常p與q的數值被取得較小，卻需都不為零。確定階數后，就用我們學過的求解方法解出未知的參數，這樣我們就得到了混合模型的表達式。關鍵字：ARMA（p,q）模型，自相關函數，偏相關函數第一章緒論1.1時間序列模型的發展及其作用人們的一切活動，其根本目的無不在于認識和改造客觀世界。時間序列分析不僅可以從數量上揭示某一現象的發展變化規律或動態的角度刻畫某一現象與其他

6、現象之間的內在關系及其變化規律性，達到認識客觀世界之目的，而且運用時間序列模型還可以預測和控制現象的未來行為，修正或重新設計系統以達到利用和改造客觀之目的。時間序列分析在工程技術中有重要的作用，常用于做預報、控制等。為建立其隨機線性模型，首先，我們應明白什么是時間序列：時間序列是隨機序列，即參數離散的隨機過程。由于工程中遇到的隨機序列的參數經常為時間，故稱隨機序列為隨機時間序列，簡稱時間序列。可以說，時間序列是隨時間改變而隨機變化的序列。平穩時間序列是平穩序列，它滿足期望為零，且任意兩個時刻的相關函數與時間t無關，僅與兩個時刻的時間差相關。1.2什么是時間序列模型所謂的時間序列模型就是用觀測得

7、到的若干數據，即樣本數據的基礎上，建立符合事物發展規律的數學理論模型，就是根據時間序列X的一段樣本觀測數t據X(1t50,k50),得到一個樣t本函數，且利用平穩序列各態歷經性：H沁Z=-Z做變換，CO=Z，t=1,n，njttj=i將Z，,Z樣本換算成為樣本o，,o，然后再確定平穩時間序列o,t=0,1.1n1nt的隨機線性模型。按樣本自相關函數和樣本偏相關函數的值分別作出點圖，按“截尾”，“拖尾”情況，查表確定模型的類別與階數p，q。理論上，線性模型的類別的確定可以根據0和P的拖尾性和截尾性來判kkk別。但是在實際應用中，我們常用有一個樣本算出P=P,6=0判別P0kkkkkkk，kk是拖

8、尾還是截尾的。隨機線性模型的三種形式：AR(p),MA(q),ARMA(p,q)的判別分別如下：若P拖尾,0截尾在k=p處,則線性模型為AR(p)模型。P拖尾可kkkk以用的點圖判斷，只要樣本自相關函數的絕對值愈變愈小(k增大時)；但是，用樣本偏相關函數判斷0截尾在k=p處應該如何作呢？因為kp時,樣本偏相kk關函數不為零,而偏相關函數0=0,這就給判斷帶來一定的困難。我們可以采kk用一下方法解決：當kp時，平均20個樣本偏相關函數中至多有一個使|6|kk，則認為o截尾在k=p處。kk若0拖尾,P在k=p處截尾,那么線性模型為MA(q)滑動平均模型。kkk0拖尾可以根據樣本偏相關函數的點圖判斷

9、，只要16|愈變愈小(k增大時)。kkkk但是，用樣本自相關函數判斷自相關函數P在k=p處截尾可采用如下方法：當kkp時，若平均20個樣本自相關函數中至多有一個使|P|22/為。k若樣本自相關函數和樣本偏相關函數都是拖尾的，則線性模型可以看成混和模型(或者，樣本自相關函數和樣本偏相關函數都不為截尾的，又被負指數型的數列所控制)。其具體的判別方法和上述一樣。如下表所示：模型函數AR(p)MA(q)ARMA(p,q)(p0,q0)P拖尾截尾k=q處拖尾kJ截尾k二p處拖尾拖尾模型參數估計1、AR(p)模型參數估計：AR(p)模型有p+2個參數：p,0,0，,0Q2。利用Yule-Walker方程，

10、利12pa用Toeplitz矩陣求逆和作矩陣乘法的方法算樣本偏相關函數0。AR(p)模型的kk參數值不必作專門的計算，只要在樣本偏相關函數計算的記錄中取出樣本參數值即可。此時0,0，,0，都已經確定了，經過推理我們可以得到：02=y藝0Y。2、MA(q)2滑動平均模型參數估計：a0j=1jj&2(1+02+02+e2),k=012八q&2(-f)+00+06),1k50。某簡諧振動位移離平衡點的距離z的觀測數據，得到in=64個樣本值Z,Z，,Z，(列t1260于表1中)。表1的Z欄，共64個數據。將原始樣本數據經過處理后變成時間序列W。tt數據處理：(1)求取誤差時間序列Z：t164用MAT

11、LAB軟件對原始數據進行處理，做變換W=Z-Z,其中Z=Z，代tt64tt=1入表1數據得：1，Z=一(-0.17007)+(-2.05056)+(-1.40428)=-0.757464W=Z-(-0.7574),(程序見附錄2)tt數據處理：(2)計算樣本自協方差函數丫，樣本自方差函數P。0=Y/V,其中k=O，1，2,3,4,5，kkkk0+1n-kV=+12Zn-kn=。由圖-3數據可得：隨著k的增大，P越knnjk+jkj=1來越小，具有拖尾性。(3)接下來計算偏相關函數Q(k1)。利用Yule-Walker方程，kk(1P1P2Pk-14(p1P1Pk111110PPPk2222P.

12、Pk-1P2P1-1丿kk丿G丿求得偏相關函數。由機械振動位移圖可看出這些數據畫出的圖形是平穩序列，由MATLAB軟件運行以上數據（程序見附錄），得到自相關系數和偏相關系數如下表:表-2k12345678八P0.570.470.440.470.450.380.530.37k91011121314150.390.420.320.310.270.250.24k12345678C0.570.220.160.200.110.01-0.030.10k9101112131415dt0.090.13-0.03-0.020.06-0.070.01模型的識別及求解根據自相關函數6值和偏相關函數p值，繪制6和p的

13、曲線趨勢來判斷,KkkKkk分別畫自相關系數和偏相關系數點圖如下（程序分別見附錄3，4）：自相關函數圖：10.80.60.40.20-0.2圖（3）偏相關函數圖如圖：0.80.60.40.20-0.2-0.4-0.610203040506070圖（4）F*11I111pSamplePartialAutocorrelationFunction1806064002024000a51o80X95z(l1*I1Tf4111F111jSampleAutocorrelationFunction(ACF)1snoitalerocotuAlaitraPelpmaS802020604000a51noitaler

14、ocotuAelpmaS圖形可以看出自相關函數和偏相關函數都拖尾，所以該數據符合ARMA（p,q）混合模型。用ARMA（p,q）模型對該數據進行擬合，即：X甲X一甲X=aa&at1t_1pt一pt1t_1qt_q在計算機上，利用圖（6）所示的AIC準則對候選模型參數進行計算和分析：（程序見附錄5）圖（6）根據計算知當p=2，q=2時的ARMA（2，2）模型，申1=1.637754,申=0.7523818，9=-0.01194535,9=0.2609289,q2=1.206746，AIC=30.7927212a（最小）。根據模型定階的AIC準則，比較上述計算結果可知，最能描述上述機械振動觀測數據

15、序列的模型結構應該是ARMA（2，2。模型，即：X_1.6378X_0.7524X二a+0.0119a_0.26att_1t_2tt_1t_2結論由以上問題的求解過程可知，所有的時間序列模型參數都是建立在樣本統計參數的基礎上，通過對數據處理，利用平穩時間序列的數據，得出的ARMA(p,q)模型，隨機過程論目前已得到廣泛的應用，在諸如天氣預報、統計物理、天體物理、運籌決策、經濟數學、安全科學、人口理論、可靠性及計算機科學等很多領域都要經常用到隨機過程的理論來建立數學模型。時間序列分析也廣泛應用到了解決許多問題上，如信號處理、金融預測、狀態估計、控制和模式識別等.相信隨著時間的發展，隨機過程會越來

16、越多的應用于我們的生活中，為我們帶來更多的驚喜和發現。參考文獻2張善文雷英杰馮有前.MATLAB在時間序列分析中的應用西安：西安電子科技大學出版社2007。汪榮鑫編.隨機過程西安：西安交通大學出版社2006。劉衛國Matlab程序設計與應用北京高等教育出版社2006。田錚秦超英隨機過程與應用北京科學出版社2007。附錄附錄1z=-0.17007-2.05056-4.180350.111532.176754.085070.24983-4.92336-8.15675-4.42107-2.64058-0.52570-0.220150.365152.619491.053030.785885.70750

17、0.106081.53203-3.07748-2.482081.452570.04231-0.77529-3.41256-4.03418-2.975010.79915-3.25439-0.41904-5.37570-3.537290.16420-0.39307-3.16561-3.15184-0.12247-5.975283.92127-0.799403.88025-5.66101-9.160582.97641-1.072396.03561-4.55502-9.73835-5.223470.622294.343562.784877.610656.14580-1.40428;x=0:1:63;p

18、lot(x,z)1.32363-1.25405-3.90467-3.027893.517791.796350.74996-0.19133附錄2：b=length(z);m=sum(z)/b計算均值w=z-m;sumw=zeros(1,6);sumw1=0;forj=1:64sumwl二sumwl+w(j廠2;計算sumw1fork=0:5fori=1:(b-k)sumw(k+l)=sumw(k+l)+w(i)*w(i+k);計算ykendsumw(k+1)r=sumw/b;r0=sumw1/b;p=r/r0計算自相關函數pkkk11=p(2)計算11a2=1,p(2);p(2),1;a22=i

19、nv(a2);kk2=a22*p(1,2:3)計算22kk22=kk2(2,1);kk22=kk2(2,1)a5=1,p(2),p(3),p(4),p(5);p(2),1,p(2),p(3),p(4);p(3),p(2),1,p(2),p(3);p(4),p(3),p(2),1,p(2);p(5),p(4),p(3),p(2),1;a55=inv(a5);kk5=a55*p(1,2:6);kk55=kk5(5,1)計算55D二rOkkll*r(2)kk22*r(3)計算b2a附錄3：zc=0;fori=1:64zc=zc+z(i);endzp=zc/64;fork=1:64w(k)=z(k)zp;endwrc=0;fork=1