1、23 3東北大學研究生院考試試卷20082009學年第1學期課程名稱：數(shù)值分析總分(1-8)(9-10)三四五、解答下列各題：(每題5分，共50分)1.1TT的近似值x具有5位有效數(shù)字，求x的絕對誤差限。由于*HT=10.5=0.105X102，所以I訂帀-x10.5X10-32.設(shè)A二，求p(A)和Cond(A)。1p(A)5+33，Cond(A)21。29x3、:3.x為何值時，矩陣Ax84343丿G為下三角矩陣。可分解為GGT，并求x=6時的分解式,其中已知滿足條件f(0)0,f1,f1,f2,f(0)0,f(3)1的三次樣1條插值函數(shù)S(x)在區(qū)間1,2的表達式為S(x)亍兀3130

2、x2+159x53),試求S(x)在區(qū)間0,1的表達式。8由已知可得s(0)0,s(0)0,s(1)1,s(1)7，所以在0,1上有：1S(x)7x2(22x29)求區(qū)間0,1上權(quán)函數(shù)為p(x)1的二次正交多項式P(x)。2P(x)1，P(x)x兀人)Px01(P,P)0200D()2(x2,P)D(x2,P)D2,1P(x)x2AP1Px2x+2(P,P)0(P,P)160011963、3、321、A68422211111丄丄丄丿1丿由A正定可得，0 x84.對線性方程組x=6時有:xi-1012yi-21327給定離散數(shù)據(jù)試求形如ya+bx2的擬合曲線。2x+3x=112-建立一個收斂的迭

3、代格式，并說明收斂性。4x3x二21231x(k+1)x(k)+14222由于迭代矩陣行范數(shù)小于1,所以收斂。21k012x(k+1)_x(k)+_kU,丄，乙,.由于p(x)1,p(x)x2，所以p(1,1,1,1)t,p(1,0,1,4)t，/(2,1,3,2)t0101正則方程組為嚴+6b4，解得：a-1,b-16a+18b92311所以，擬合曲線為：y一+-x2238.設(shè)f(x)3x35x2+1，求差商f0,1,f0,1,2,3,f0,1,2,3,4。f0,1-2,f0,1,2,3=3,f0,1,2,3,40。 9.求Gauss積分公式f1f（x）dx于（-丄）+/（丄）扌勺截斷誤差R

4、/o-iv3J3由于Gauss積分公式具有3次代數(shù)精度，所以lf4y（x）-/（-L）+/4）=f1f(x)dx-lH(x)dx+f1H(x)dx-f(-i-i3-i3土斗L2（x+臺2（兀冷）2心葺12(x+=)2(X-L)2X-1弋3V3/01)135ne(-1,1)訂。求解初值問題肚的改進e“方法是否收斂？為軒什么？由于f(x,y)=yex,所以I/(x,y)/(x,y)1=1(j-j)I1,:2九2九九:所以，Gauss-Seidel迭代法不收斂。三、(12分)已矢口方程兀=lnx+2,1.證明此方程在區(qū)間(1,+00)內(nèi)有唯一根(X;建立一個收斂的迭代格式，使對任意初值xee,2e都

5、收斂，說明收斂理由和0收斂階。若取初值x用此迭代法求精度為=10-5的近似根，需要迭代多少步？01l.iB/(x)=x-lnx-2,貝I廣(兀)=10,(xl)又由/(e)=e-30所以，方程在區(qū)間(1,+2)內(nèi)有唯一根而且oce(e,2e)o建立迭代格式：x=nx+2,k=0,1,2,.,迭代函數(shù)為(p(x)=Inx+2k+1k1由于對任何xee,2e有：e3(p(x)In2+32e?而且I申(x)1=-lna_5一InLu10.704%-X10即，需要迭代11步。 1.由于四、(16分)2利用復化Simpson公式S計算計算定積分I=exdx，若使11Sl=10-4，0y=yn+1n+11

6、.確定參數(shù)A,A,A,x,使求積公式11x2f(x)dx沁Af(-1)+Af(x)+Af(1)具有0121-10112盡可能高的代數(shù)精度，并問代數(shù)精度是多少？n問應取n為多少？并求此近似值。21由A+A+A=,A+Ax+A=0,0123011214A+Ax3+A=0,可得：A=A=A=,x=0，具有3次代數(shù)精度。01120251151f+P-fnf)+竺(a2竺+ZapTnf+P2吐f2)+O(h3)-x-yn2-x2-x-yn-y2n+罟hf+竿%+Pffn3-x-yn+-(a2-匚+2aPf+P2-Cf2)+O(h4)dx2-x-yn-y2nh2h3y(x)二y(x)+y(x)h+片y(x

7、)+yw(x)+O(h4)“2n6沁S二(e0+e+2e0.5+4e0.25+4e0.75)二1.7183188212=y+hf+竽(f+汀2dxcyn+竺泣+26dx22n-42880 x10-41.75，所以取=2+f+(f)2f+O(h4)1-x-yyh五、(12分)已知求解常微分方程初值問題:y二f(x,y),xea,by(a)二a的差分公式:hy=y+-(k+九k)+1n3k=f(x,y)nnk=f(x+ah,y+P-k)2y=a03當X=2，a=,P=時，差分公式的階最咼，是2階方法。42帶入試驗方程有：y=y+-5y10(y+斗(5y)n+1n3nn4n25=(15h+h2)y2n于是,