1、人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)相似三角形應(yīng)用舉例學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 能夠利用相似三角形的知識(shí)，求出不能直接測量 的物體的高度和寬度. (重點(diǎn))2. 進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)建模思想，能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化 為相似三角形的數(shù)學(xué)模型，提高分析問題、解決 問題的能力. (難點(diǎn))樂山大佛導(dǎo)入新課圖片引入世界上最高的樹 紅杉臺(tái)灣最高的樓 臺(tái)北101大樓怎樣測量這些非常高大的物體的高度？世界上最寬的河 亞馬遜河怎樣測量河寬？利用相似三角形可以解決一些不能直接測量的物體的高度及兩物之間的距離問題.利用相似三角形測量高度一講授新課 據(jù)傳說，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構(gòu)成兩

2、個(gè)相似三角形，來測量金字塔的高度.例1 如圖，木桿 EF 長 2 m，它的影長 FD 為3m，測得 OA 為 201 m，求金字塔的高度 BO.怎樣測出OA 的長？解：太陽光是平行的光線，因此 BAO =EDF.又 AOB =DFE = 90，ABO DEF. ， =134 (m).因此金字塔的高度為134 m.表達(dá)式：物1高 ：物2高 = 影1長 ：影2長測高方法一： 測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，可以用“在同一時(shí)刻物高與影長成正比例”的原理解決. 歸納：1. 如圖，要測量旗桿 AB 的高度， 可在地面上豎一根竹竿 DE， 測量出 DE 的長以及 DE 和 AB 在同一時(shí)刻下地面上的影長即

3、可，則下面能用來求AB長的等 式是 ( ) A B C D C練一練2. 如圖，九年級(jí)某班數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)想利用所學(xué) 數(shù)學(xué)知識(shí)測量學(xué)校旗桿的高度，當(dāng)身高 1.6 米的楚 陽同學(xué)站在 C 處時(shí)，他頭頂端的影子正好與旗桿 頂端的影子重合，同一時(shí)刻，其他成員測得 AC = 2 米，AB = 10 米，則旗桿的高度是_米 8AFEBO還可以有其他測量方法嗎？OBEF=OAAFABOAEFOB =OA EFAF平面鏡想一想：測高方法二： 測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，也可以用“利用鏡子的反射測量高度”的原理解決. 如圖是小明設(shè)計(jì)用手電來測量某古城墻高度的示意圖，點(diǎn) P 處放一水平的平面鏡，光線從點(diǎn) A

4、出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后，剛好射到古城墻的頂端 C 處，已知 AB = 2 米，且測得 BP = 3 米，DP = 12 米，那么該古城墻的高度是 ( )A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米 B試一試：例2 如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn) P，在近岸取點(diǎn) Q 和 S，使點(diǎn) P，Q，S共線且直線 PS 與河垂直，接著在過點(diǎn) S 且與 PS 垂直的直線 a 上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn) T，確定 PT 與過點(diǎn) Q 且垂直 PS 的直線 b 的交點(diǎn) R. 已知測得QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，請(qǐng)根據(jù)這些數(shù)據(jù)，計(jì)算河寬 PQ.利用相似三角形測量寬度二PR

5、QSbTaPQ90 = (PQ+45)60.解得 PQ = 90.因此，河寬大約為 90 m.解：PQR =PST =90，P=P，PQRPST.PRQSbTa ，即 ，還有其他構(gòu)造相似三角形求河寬的方法嗎？45m90m60m例3 如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn) A，再在河的這一邊選點(diǎn) B 和 C，使 ABBC，然后，再選點(diǎn) E，使 EC BC ，用視線確定 BC 和 AE 的交點(diǎn) D此時(shí)如果測得 BD120米，DC60米，EC50米，求兩岸間的大致距離 ABEADCB60m50m120m解： ADBEDC， ABCECD90， ABDECD. ，即 ，解得 AB

6、= 100. 因此，兩岸間的大致距離為 100 m.EADCB60m50m120m 測量如河寬等不易直接測量的物體的寬度，常構(gòu)造相似三角形求解. 歸納：例4 如圖，左、右并排的兩棵大樹的高分別是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，兩樹底部的距離 BD = 5 m，一個(gè)人估計(jì)自己眼睛距離地面 1.6 m，她沿著正對(duì)這兩棵樹的一條水平直路 l 從左向右前進(jìn)，當(dāng)她與左邊較低的樹的距離小于多少時(shí)，就看不到右邊較高的樹的頂端C 了? 利用相似解決有遮擋物問題三分析：如圖，設(shè)觀察者眼睛的位置 (視點(diǎn)) 為點(diǎn) F，畫出觀察者的水平視線 FG，它交 AB，CD 于點(diǎn) H，K.視線 FA，F(xiàn)G 的夾角

7、AFH 是觀察點(diǎn) A 的仰角. 類似地，CFK 是觀察點(diǎn) C 時(shí)的仰角，由于樹的遮擋，區(qū)域和都在觀察者看不到的區(qū)域 (盲區(qū)) 之內(nèi). 再往前走就根本看不到 C 點(diǎn)了. 由此可知，如果觀察者繼續(xù)前進(jìn)，當(dāng)她與左邊的樹的距離小于 8 m 時(shí)，由于這棵樹的遮擋，就看不到右邊樹的頂端 C . 解：如圖，假設(shè)觀察者從左向右走到點(diǎn) E 時(shí)，她的眼 睛的位置點(diǎn) E 與兩棵樹的頂端點(diǎn) A，C 恰在一條 直線上 ABl，CDl，ABCD. AEHCEK. ，即解得 EH=8.1. 小明身高 1.5 米，在操場的影長為 2 米，同時(shí)測得 教學(xué)大樓在操場的影長為 60 米，則教學(xué)大樓的高 度應(yīng)為 ( ) A. 45米

8、 B. 40米 C. 90米 D. 80米 當(dāng)堂練習(xí)2. 小剛身高 1.7 m，測得他站立在陽光下的影子長為 0.85 m，緊接著他把手臂豎直舉起，測得影子長 為 1.1 m，那么小剛舉起的手臂超出頭頂 ( ) A. 0.5m B. 0.55m C. 0.6m D . 2.2mAA3. 如圖，為了測量水塘邊 A、B 兩點(diǎn)之間的距離，在 可以看到 A、B 的點(diǎn) E 處，取 AE、BE 延長線上的 C、D 兩點(diǎn)，使得 CDAB. 若測得 CD5 m，AD 15m，ED=3 m，則 A、B 兩點(diǎn)間的距離為 m.ABEDC204. 如圖所示，有點(diǎn)光源 S 在平面鏡上面，若在 P 點(diǎn)看 到點(diǎn)光源的反射光

9、線，并測得 AB10 cm，BC 20 cm，PCAC，且 PC24 cm，則點(diǎn)光源 S 到平 面鏡的距離 SA 的長度為 .12 cm5. 如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用自制的直角三角形硬 紙板 DEF 來測量操場旗桿 AB 的高度，他們通過調(diào) 整測量位置，使斜邊 DF 與地面保持平行，并使邊 DE 與旗桿頂點(diǎn) A 在同一直線上，已知 DE = 0.5 米， EF = 0.25 米，目測點(diǎn) D 到地面的距離 DG = 1.5 米， 到旗桿的水平距離 DC = 20 米，求旗桿的高度.ABCDGEFABCDGEF解：由題意可得：DEFDCA，DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，則 解得：AC = 10，故 AB = AC + BC = 10 + 1.5 = 11.5 (m).答：旗桿的高度為 11.5 m. 6. 如圖，某一時(shí)刻，旗桿 AB 的影子的一部分在地面 上，另一部分在建筑物的墻面上小明測得旗桿 AB 在地面上的影長 BC 為 9.6 m，在墻面上的影 長 CD 為 2 m同一時(shí)刻，小明又測得豎立于地面 長 1 m 的標(biāo)桿的影長為 1.2 m請(qǐng)幫助小明求出旗 桿的高度ABCDE解：如圖：過點(diǎn) D 作 DEBC，交 AB 于點(diǎn) E， DE = CB = 9.6 m，B