1、1.5 常微分方程了解微分方程、解、通解、初始條件和特解等概念掌握變量等可分離的方程、齊次微分方程、一階線性微分方程、全微分方程的解法會用降階法求下列三種類型的高階方程：、理解線性微分方程解的性質及解的結構掌握二階常微分齊次線性微分方程的解法。1.5.1 微分方程的基本概念1 微分方程的概念凡表示未知函數、未知函數的導數與自變量之間的關系的方程，稱為微分方程。微分方程中所表現的未知函數的最高階導數的階數，稱為微分方程的階。如方程： 是一階微分方程。又如方程： 是三階微分方程一般地，n階微分方程的形式是：其中F是個變量的函數，是必須出現的，而等變量則可以不出現。2 微分方程的解 通解微分方程的解

2、是一個函數，把這函數代入微分方程能使該方程成為恒等式。確切地說，對于階微分方程（1.5-1），設函數在區間上有階導數，且在區間上滿足，則稱函數為微分方程（1.5-1）在區間上的解。如果二元代數方程所確定的隱函數是某微分方程的解，那么就稱為該微分方程的隱式解。如果微分方程的解中含有任意常數，且任意常數的個數（這里所說的任意常數時互相獨立的）與微分方程的階數相同，這樣的解叫做微分方程的通解。如方程：是二階微分方程，而函數滿足該方程，即這函數是方程的解，又這函數中含有兩個獨立的任意常數，故這函數是上述微分方程的通解。3 初始條件與特解能用來確定通解中的任意常數的條件稱為初始條件。通常一階微分方程的初

3、始條件為：。二階微分方程的初始條件為：；。其中，、和都是給定的值。通解中的任意常數全部確定后，就得到一個確定的解，這種解稱為微分方程的特解。1.5.2 可分離變量的方程一階微分方程：，稱為可分離變量的方程。把式中的的函數和歸入方程的一端，的函數和歸入另一端，成為：。這一步驟稱為分離變量。分離變量后，兩端可分別積分：設的原函數依次為與，即得方程(1.5-2)的通解為：1.5.3 齊次微分方程方程 稱為齊次微分方程令，則，于是原方程化為：這是可分離變量的方程，可用分離變量法求的方程的通解。1.5.4 一階線性方程稱為一階線性方程。當時，該式稱為線性齊次方程；當不恒等于零時，該式稱為線性非齊次方程。

4、線性齊次方程是一個變量可分離的方程，經分離變量并積分后，得通解： 或 非齊次方程的通解為：注:使用所謂的常數變易法來求解非齊次線性方程的通解。由線性齊次方程的通解，可假設非齊次線性方程的通解為：，代入后，可得：=由此：非齊次微分方程的通解為：1.5.5 全微分方程若方程的左端恰好是某個函數的全微分，則該方程稱為全微分方程，且。就是上述方程的通解，且滿足：在區域G內恒成立時，該方程就是全微分方程，其通解為：其中為內適當選定的點。1.5.6 幾種可降階的方程1 這類方程可直接積分，積分一次得即把原方程降低一階，積分次，即可得通解2 這是不顯含的二階方程，令，則，代入即得：這樣就把二階方程降為一階方

5、程，設求得此一階方程的通解為，則原方程的通解為：3 這是不顯含的二階方程，令，則：代入方程得：即把二階方程降為一階方程。設求得此一階方程的通解為，即，分離變量并積分得原方程的通解為：1.5.7 線性微分方程解的性質及解的結構定理設有二階齊次線性方程：則有：性質定理：如果與是上述方程的兩個解，那么就是上述方程的解，其中、是兩個任意常數。結構定理：如果與是方程的兩個線性無關的特解，那么就是上述方程的特解，其中、是兩個任意常數。設有二階非齊次線性方程：則有：結構定理：如果是上述方程的一個特解，是與上述方程對應的齊次方程的通解，那么就是二階非齊次線性方程的通解。迭加原理：設方程的右端，而與分別是方程與的特解，那么就是原方程的特解。1.5.8 二階常系數齊次線性微分方程二階常系數齊次線性微分方程的一般形式是：其中為常數。以代替上式中的（），得一代數方程：該方程稱為微分方程的特征方程，特征方程的根稱為特征根。按特征根的情況，可直接寫出上述方程的通解如下：特征方程有兩個不相等的實根：，該方程的通解為：特征方程有兩個相等的