1、第6章 無限(wxin)長單位脈沖響應（IIR） 數字濾波器的設計方法 6.1 基本概念 6.2 IIR濾波器設計的特點 6.3 用沖激響應不變法設計IIR數字濾波器 6.4 用雙線性變換法設計IIR數字濾波器 6.5 設計IIR濾波器的頻率(pnl)變換法6.6 先利用模擬域頻帶變換法，再利用數字化法設計數字各型濾波器共一百零四頁6.1 基本概念 一、 濾波器的分類 數字濾波器是數字信號處理的重要基礎。在對信號的過濾、檢測與參數的估計等處理中, 數字濾波器是使用最廣泛的線性系統。 數字濾波器是對數字信號實現濾波的線性時不變系統。它將輸入(shr)的數字序列通過特定運算轉變為輸出的數字序列。因

2、此， 數字濾波器本質上是一臺完成特定運算的數字計算機。 共一百零四頁 由第1章已經知道，一個輸入序列x(n)，通過一個單位(dnwi)脈沖響應為h(n)的線性時不變系統后，其輸出響應y(n)為 將上式兩邊經過(jnggu)傅里葉變換，可得 式中，Y(ej)、X(ej)分別為輸出序列和輸入序列的頻譜函數， H(ej)是系統的頻率響應函數。 共一百零四頁b=1;a=1,-0.9; %y(n)-0.9y(n-1)=x(n)， 即H(Z)=1/(1-0.9z)x=ones(1,10),zeros(1,40);y=filter (b, a, x);共一百零四頁N=64;X=fft(x,N);Y=fft(

3、y,N);共一百零四頁 可以看出，輸入序列的頻譜X(ej)經過濾波后，變為X(ej)H(ej)。如果|H(ej)|的值在某些頻率上是比較小的，則輸入信號中的這些頻率分量在輸出信號中將被抑制掉。因此，只要按照輸入信號頻譜的特點和處理信號的目的，適當選擇H(ej)，使得濾波后的X(ej)H(ej)符合人們的要求，這就是數字濾波器的濾波原理。和模擬(mn)濾波器一樣，線性數字濾波器按照頻率響應的通帶特性可劃分為低通、高通、帶通和帶阻幾種形式。它們的理想模式如圖6-1所示。（系統的頻率響應H(ej)是以2為周期的。) 共一百零四頁圖 6-1 數字(shz)濾波器的理想幅頻特性 共一百零四頁 滿足奈奎斯

4、特采樣定理時，信號的頻率特性只能限帶于|的范圍。由圖6-1可知，理想(lxing)低通濾波器選擇出輸入信號中的低頻分量，而把輸入信號頻率在c范圍內所有分量全部濾掉。相反地，理想高通濾波器使輸入信號中頻率在c范圍內的所有分量不失真地通過，而濾掉低于c的低頻分量。帶通濾波器只保留介于低頻和高頻之間的頻率分量。 共一百零四頁二、 濾波器的技術指標 理想濾波器是不能實現(shxin)的， 但在概念上極為重要。 一般來說，濾波器的性能要求往往以頻率響應的幅度特性的允許誤差來表征。以低通濾波器為例，如圖6-2（稱誤差容限圖）所示， 頻率響應有通帶、 過渡帶及阻帶三個范圍（而不是理想的陡截止的通帶、阻帶兩個

5、范圍）。圖中1為通帶的容限，2為阻帶的容限。 共一百零四頁圖 6-2 低通濾波器頻率響應幅度(fd)特性的誤差容限圖 1共一百零四頁在通帶內，幅度(fd)響應以誤差1逼近于1，即 在阻帶內，幅度響應(xingyng)以誤差小于2而逼近于零，即 st|c 式中，c, st分別為通帶截止頻率和阻帶截止頻率，它們都是數字域頻率。幅度響應在過渡帶（st-c）中從通帶平滑地下降到阻帶，過渡帶的頻率響應不作規定。 共一百零四頁 雖然給出了通帶的容限1及阻帶的容限2，但是，在具體技術指標中往往使用通帶允許(ynx)的最大衰減（波紋）Ac和阻帶應達到的最小衰減As描述，Ac及As的定義分別為： （6-3a）

6、（6-3b） 式中，假定|H(ej0)|=1(已被歸一化)。例如|H(ej)|在c處滿足|H(ejc)|=0.707，則Ac=3 dB；在st處滿足|H(ejst)|=0.001，則As=60 dB（參考(cnko)圖6-2）。(注：lg是log10的規范符號表示。) 共一百零四頁三、 FIR型濾波器和IIR型濾波器 數字濾波器按單位脈沖響應h(n)的時域特性可分為無限長脈沖響應IIR（Infinite Impulse Response）濾波器和有限長脈沖響應FIR（Finite Impulse Response）濾波器。 IIR濾波器一般采用遞歸型的實現結構。其N階遞歸型數字濾波器的差分(c

7、h fn)方程為 （6-4） 共一百零四頁 式（6-4）中的系數ak至少有一項不為零。 ak0 說明必須將延時的輸出序列反饋(fnku)回來，也即遞歸系統必須有反饋(fnku)環路。相應的IIR濾波器的系統函數為 （6-5） IIR濾波器的系統函數H(z)在Z平面上不僅(bjn)有零點，而且有極點。 共一百零四頁 FIR濾波器的單位(dnwi)脈沖響應h(n)是有限長的，即0nN-1， 該系統一般采用非遞歸型的實現結構，但如果系統函數中出現零、 極點相消時, 也可以有遞歸型的結構(如頻率采樣結構)。FIR濾波器的系統函數為 （6-6） 由式（6-6）可知，H(z)的極點(jdin)只能在Z平面

8、的原點。 共一百零四頁四、 濾波器的設計步驟 按照實際任務要求， 確定濾波器的性能指標。 用一個因果穩定的離散線性時不變系統的系統函數H(z)去逼近這一性能要求。根據不同(b tn)要求可以用IIR系統函數，也可以用FIR系統函數去逼近。 實現所設計的H(z)。包括選擇運算結構（如第5章中的各種基本結構），選擇合適的字長（包括系數量化及輸入變量、中間變量和輸出變量的量化）以及有效數字的處理方法（舍入、截尾）等。 共一百零四頁6.2 IIR濾波器設計(shj)的特點 IIR濾波器的系統(xtng)函數又可以用極、零點表示如下： 一般滿足MN，這類系統稱為N階系統。共一百零四頁 IIR濾波器的系統

9、函數的設計就是確定各系數ak, bk或零極點ck，dk和A，以使濾波器滿足給定的性能(xngnng)要求。通常有以下兩種方法： 1）利用模擬濾波器的理論來設計數字濾波器 首先，設計一個合適的模擬濾波器；然后，變換成滿足預定指標的數字濾波器。這種方法很方便，因為模擬濾波器已經具有很多簡單而又現成的設計公式，并且設計參數已經表格化了，設計起來既方便又準確。 共一百零四頁 2） 最優化設計法 最優化設計法一般分兩步來進行: 第一步要選擇一種最優準則。例如，選擇最小均方誤差準則。它是指在一組離散的頻率i(i=1, 2, , M)上，所設計出的實際頻率響應幅度(fd)|H(ej)|與所要求的理想頻率響應

10、幅度|Hd(ej)|的均方誤差最小。 此外還可以有其他許多種誤差(wch)最小的準則，如最大誤差(wch)最小準則等。 共一百零四頁 第二步，求在此最佳準則下濾波器系統函數的系數ak, bk。一般是通過(tnggu)不斷改變濾波器系數ak、bk，分別計算; 最后，找到使為最小時的一組系數ak, bk，從而完成設計。這種設計需要進行大量的迭代運算，故離不開計算機。所以最優化方法又稱為計算機輔助設計法。 共一百零四頁 本章著重討論第一種方法。利用模擬濾波器來設計數字濾波器，就是(jish)從已知的模擬濾波器傳遞函數Ha(s)設計數字濾波器的系統函數H(z)。因此，它歸根結底是一個由S平面映射到Z平

11、面的變換，這個變換通常是復變函數的映射變換，這個映射變換必須滿足以下兩條基本要求： 共一百零四頁（1）H(z)的頻率響應要能模仿Ha(s)的頻率響應，也即S平面虛軸j必須映射到Z平面的單位圓z=ej上。 （2） 因果穩定的Ha(s)應能映射成因果穩定的H(z)，也即S平面的左半平面Res0必須映射到Z平面單位圓的內部|z|1。 下面分別討論由模擬濾波器設計IIR數字濾波器的兩種常用的變換方法：沖擊響應不變法和雙線性變換法。FIR數字濾波器的設計方法與IIR數字濾波器設計方法明顯不同(b tn)，這將在下一章中介紹。 共一百零四頁6.3 用沖激響應不變法設計(shj)IIR數字濾波器一、 變換(

12、binhun)原理 利用模擬濾波器來設計數字濾波器，也就是使數字濾波器能模仿模擬濾波器的特性，這種模仿可以從不同的角度出發。 沖激響應不變法是從濾波器的沖激響應出發，使數字濾波器的單位沖激響應序列h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應ha(t)，即將ha(t)進行等間隔采樣，使h(n)正好等于ha(t)的采樣值，滿足 h(n)=ha(nT) 式中, T是采樣周期。 共一百零四頁 如果令Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯變換，H(z)為h(n)的Z變換，利用第1章采樣序列(xli)的Z變換與模擬信號的拉普拉斯變換的關系，得 則可看出，沖激響應不變法將模擬濾波器的S平面變換(binhun)成數字濾波器的Z

13、平面，這個從s到z的變換z=esT正是第1章中從S平面變換到Z平面的標準變換關系式。 共一百零四頁圖6-3 沖激響應不變法的映射(yngsh)關系 共一百零四頁二、 混疊失真數字濾波器的頻率響應和模擬(mn)濾波器的頻率響應間的關系為 這就是說，數字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓。正如第1章采樣定理所討論的，只有當模擬濾波器的頻率響應是限帶的，且帶限于(xiny)折疊頻率以內時，即 共一百零四頁 才能使數字濾波器的頻率響應在折疊頻率以內重現模擬濾波器的頻率響應，而不產生(chnshng)混疊失真，即 |但是，任何一個實際的模擬濾波器頻率響應都不是嚴格限帶的， 變換后就會產生周期

14、延拓分量的頻譜交疊，即產生頻率響應的混疊失真，如圖6-4所示。這時數字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而帶有一定的失真。當模擬濾波器的頻率響應在折疊頻率以上處衰減越大、越快時，變換后頻率響應混疊失真就越小。這時，采用沖激響應不變法設計的數字濾波器才能得到良好(lingho)的效果。 共一百零四頁圖6-4 沖激響應不變法(bin f)中的頻響混疊現象 共一百零四頁 對某一模擬濾波器的單位沖激響應ha(t)進行采樣，采樣頻率為fs，若使fs增加，即令采樣時間(shjin)間隔（T=1/fs）減小，則系統頻率響應各周期延拓分量之間相距更遠，因而可減小頻率響應的混疊效應。 共一百零四頁三、 模

15、擬濾波器的數字化方法 由于沖激響應不變法要由模擬系統函數Ha(s)求拉普拉斯反變換得到模擬的沖激響應ha(t)，然后采樣后得到h(n)=ha(nT)，再取Z變換得H(z)，過程較復雜。下面我們討論如何由沖激響應不變法的變換原理將Ha(s)直接轉換為數字濾波器H(z)。 設模擬濾波器的系統函數Ha(s)只有單階極點，且假定分母(fnm)的階次大于分子的階次（一般都滿足這一要求，因為只有這樣才相當于一個因果穩定的模擬系統），因此可將 共一百零四頁其相應(xingyng)的沖激響應ha(t)是Ha(s)的拉普拉斯反變換，即 式中, u(t)是單位階躍函數。 在沖激響應不變法中，要求數字濾波器的單位脈

16、沖響應等于(dngy)對ha(t)的采樣，即 共一百零四頁對h(n)求Z變換(binhun)，即得數字濾波器的系統函數 將Ha(s)和H(z)加以比較，可以看出(kn ch)： （1）S平面的每一個單極點s=sk變換到Z平面上z=eskT處的單極點。 （2） Ha(s)與H(z)的部分分式的系數是相同的，都是Ak。 共一百零四頁 （3）如果模擬濾波器是因果穩定的，則所有極點sk位于S平面的左半平面，即Resk0， 則變換后的數字濾波器的全部極點在單位圓內，即|eskT|=eReskT1， 因此數字濾波器也是因果穩定的。 （4）雖然沖激響應不變法能保證S平面極點與Z平面極點有這種代數對應關系，但

17、是并不等于整個S平面與Z平面有這種代數對應關系，特別是數字濾波器的零點位置就與模擬濾波器零點位置沒有這種代數對應關系，而是隨Ha(s)的極點sk以及系數(xsh)Ak兩者而變化。 共一百零四頁數字濾波器頻率響應幅度還與采樣(ci yn)間隔T成反比： | 如果采樣頻率很高，即T很小，數字濾波器可能具有太高的增益，這是不希望的。為了使數字濾波器增益不隨采樣頻率而變化，可以作以下簡單(jindn)的修正，令 h(n)=Tha(nT) 則有: 共一百零四頁例6-1 設模擬(mn)濾波器的系統函數為 試利用沖激響應不變法(bin f)將Ha(s)轉換成IIR數字濾波器的系統函數H(z)。 解 ： 數字

18、濾波器的系統函數為 設T=1，則有 共一百零四頁 模擬濾波器的頻率響應Ha(j)以及數字(shz)濾波器的頻率響應H(ej)分別為: 把|Ha(j)|和|H(ej)|畫在圖上。由該圖可看出，由于(yuy)Ha(j)不是充分限帶的，所以H(ej)產生了嚴重的頻譜混疊失真。 共一百零四頁圖6-5 例題(lt)中的幅頻特性 共一百零四頁四、 優缺點 從以上(yshng)討論可以看出，沖激響應不變法使得數字濾波器的單位沖激響應完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應，也就是時域逼近良好，而且模擬頻率和數字頻率之間呈線性關系=T。 因而，一個線性相位的模擬濾波器通過沖激響應不變法得到的仍然是一個線性相位的數字濾

19、波器。 共一百零四頁 沖激響應不變法的最大缺點是有頻率響應的混疊效應。所以， 沖激響應不變法只適用(shyng)于限帶的模擬濾波器(例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器)，而且高頻衰減越快，混疊效應越小。如果要對高通和帶阻濾波器采用沖激響應不變法， 就必須先對高通和帶阻濾波器加一保護濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，然后再使用沖激響應不變法轉換為數字濾波器。當然這樣會進一步增加設計復雜性和濾波器的階數。 共一百零四頁6.4 用雙線性變換法設計(shj)IIR數字濾波器 一、 變換原理 沖激響應不變法的主要缺點是產生頻率響應的混疊失真。這是因為從S平面到平面是多值的映射關系所造成的。為了克服這

20、一缺點，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到-/T/T之間，再用z=esT轉換到Z平面上。也就是說，第一步先將整個S平面壓縮映射到S1平面的-/T/T一條橫帶里；第二步再通過標準變換關系z=es1T將此橫帶變換到整個Z平面上去(shng q)。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應的單值關系， 消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現象，映射關系如圖6-6所示。 共一百零四頁圖6-6 雙線性變換的映射(yngsh)關系 第一次變換：頻率(pnl)壓縮第二次變換：數字化共一百零四頁雙線性變換法的映射規則：（1）頻率壓縮：把整個S平面壓縮變換到某一中介的S1平面的一條(y tio

21、)橫帶里。（2）數字化：將S1平面通過標準變換關系 變換到z平面。共一百零四頁（1）頻率(pnl)壓縮把整個S平面(pngmin)壓縮變換到某一中介的S1平面的一條橫帶里。共一百零四頁（2）數字化將S1平面通過標準變換(binhun)關系變換(binhun)到z平面。這時S 平面與Z平面之間為單值映射關系(gun x)，這種變換就稱為雙線性變換。共一百零四頁二、變換(binhun)常數c的選擇 調節c，可使AF與DF在不同頻率點處有對應(duyng)的關系。（a）使AF與DF在低頻處有較確切的對應關系。在低頻處有共一百零四頁共一百零四頁三、 逼近的情況 雙線性變換符合上節中提出的映射變換應滿足

22、(mnz)的兩點要求。 （1）首先, 把z=ej代入式 ，可得 即S平面的虛軸映射(yngsh)到Z平面的單位圓。 共一百零四頁（2） 其次(qc)，將s=+j代入式 ，得 因此(ync) 共一百零四頁 由此看出(kn ch)，當0時， |z|0時，|z|1。也就是說， S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。 因此，穩定的模擬濾波器經雙線性變換后所得的數字濾波器也一定是穩定的。 共一百零四頁四、 優缺點 雙線性變換法與沖激響應不變法相比，其主要的優點是避免了頻率響應的混疊現象。這是因為S平面與Z平面是單值的一一對應關

23、系。S平面整個j軸單值地對應(duyng)于Z平面單位圓一周， 即頻率軸是單值變換關系。這個關系下式所示，重寫如下： 上式表明(biomng)，S平面上與Z平面的成非線性的正切關系，如圖6-7所示。 共一百零四頁圖6-7 雙線性變換(binhun)法的頻率變換(binhun)關系 共一百零四頁 由圖6-7看出，在零頻率附近，模擬角頻率與數字頻率之間的變換關系接近于線性關系；但當進一步增加時，增長得越來越慢，最后當時，終止在折疊頻率=處，因而雙線性變換就不會出現由于高頻(o pn)部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現象， 從而消除了頻率混疊現象。 共一百零四頁 但是雙線性變換的這個特點是靠頻率

24、的嚴重非線性關系而得到(d do)的。由于這種頻率之間的非線性變換關系，就產生了新的問題。首先，一個線性相位的模擬濾波器經雙線性變換后得到非線性相位的數字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關系要求模擬濾波器的幅頻響應必須是分段常數型的，即某一頻率段的幅頻響應近似等于某一常數（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應特性），不然變換所產生的數字濾波器幅頻響應相對于原模擬濾波器的幅頻響應會有畸變，如圖 6-8 所示。 共一百零四頁圖 6-8 雙線性變換法幅度和相位特性(txng)的非線性映射共一百零四頁 對于分段(fn dun)常數的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性

25、為分段(fn dun)常數的濾波器，但是各個分段(fn dun)邊緣的臨界頻率點產生了畸變， 這種頻率的畸變，可以通過頻率的預畸來加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變， 然后經變換后正好映射到所需要的數字頻率上。 共一百零四頁圖 6-9 雙線性變換時頻率(pnl)的預畸變 共一百零四頁 （1） 如果給出的是待設計的帶通濾波器的數字域轉折頻率（通、 阻帶截止頻率）1、2、3、4及采樣頻率(1/T)，則直接(zhji)利用式 計算出相應(xingyng)的模擬濾波器的轉折頻率1、2、3和4。這樣得到的模擬濾波器Ha(s)的轉折頻率1、2、3和4，經雙線性變換后就映射到數字濾波器H(z)的原轉

26、折頻率1、2、3和4。 共一百零四頁 如果給出的是待設計的帶通濾波器的模擬域轉折頻率(pnl)（通、 阻帶截止頻率(pnl)）f1、f2、f3、f4和采樣頻率(1/T)，則需要進行頻率預畸變。 首先，利用下式計算數字濾波器的轉折頻率（通、阻帶截止頻率）、2、3 和4。 再利用(lyng)式 共一百零四頁對頻率預畸變，得到預畸變后的模擬濾波器的轉折頻率1、 3和4。這樣得到的模擬濾波器Ha(s)的轉折頻率、2、3和4, 經雙線性變換后映射(yngsh)到數字濾波器H(z)的轉折頻率1、2、 3、4，并且能保證數字域頻率1、2、3、4與給定的模擬域轉折頻率f1、f、f、f4成線性關系。（2） 按1

27、、2、3和4等指標設計模擬濾波器的系統函數Ha(s)。 共一百零四頁 （3）將 代入Ha(s)，得H(z)為 其頻率響應(pn l xin yn)為 上述這些步驟比用脈沖響應不變法(bin f)設計濾波器要簡便得多。 共一百零四頁 需要特別強調的是，若模擬濾波器Ha(s)為低通濾波器，應用變換得到的數字(shz)濾波器H(z)也是低通濾波器； 若Ha(s)為高通濾波器，應用 變換得到的數字濾波器H(z)也是高通濾波器; 若為帶通、帶阻濾波器也是如此。 在IIR數字濾波器的設計中，當強調模仿濾波器的瞬態響應時，采用沖激響應不變法較好; 而在其余情況下，大多采用雙線性變換法。 共一百零四頁五、模擬

28、濾波器的數字化方法 雙線性變換法比起沖激響應不變法來，在設計和運算上也比較直接和簡單。由于(yuy)雙線性變換法中，s到z之間的變換是簡單的代數關系，所以可以直接將式 代入到模擬系統傳遞函數， 得到數字濾波器的系統函數， 即 頻率響應也可用直接代換(di hun)的方法得到 共一百零四頁 若階數較高，這時將H(z)整理成需要的形式，就不是一件簡單的工作。為簡化設計，一方面， 可以先將模擬系統函數分解成并聯的子系統函數（子系統函數相加）或級聯的子系統函數（子系統函數相乘），使每個子系統函數都變成低階的（例如一、 二階的），然后再對每個子系統函數分別采用雙線性變換。也就是說，分解為低階的方法是在模

29、擬系統函數上進行的，而模擬系統函數的分解已有大量的圖表可以利用(lyng)，分解起來比較方便。另一方面，可用表格的方法來完成雙線性變換設計，即預先求出雙線性變換法中離散系統函數的系數與模擬系統函數的系數之間的關系式，并列成表格，便可利用表格進行設計了。 共一百零四頁設計(shj)流程1.根據要求，設定指標。2.將各分段頻率臨界點預畸變。3.將數字濾波器的性能指標轉換為中間(zhngjin)模擬濾波器的性能指標。4.根據設計要求，選定雙線性變換常數C。5.設計中間模擬濾波器的系統函數Ha(s).6.將 代入Ha(s)中，得到DF 的H(z).共一百零四頁 例 6-2 設計(shj)一個一階數字低

30、通濾波器，3 dB截止頻率為c=0.25，將雙線性變換應用于模擬巴特沃思濾波器。 解 數字低通濾波器的截止頻率為c=0.25，相應(xingyng)的巴特沃思模擬濾波器的 3 dB截止頻率是c，就有 模擬濾波器的系統函數為 共一百零四頁將雙線性變換應用(yngyng)于模擬濾波器，有 由上題可知，T不參與(cny)設計，即雙線性變換法中用 設計與用 設計得到的結果一致。 共一百零四頁 例6-3 用雙線性變換法設計一個三階(sn ji)巴特沃思數字低通濾波器，采樣頻率為fs=4 kHz（即采樣周期為T=250 s），其3dB截止頻率為fc=1 kHz。 三階模擬巴特沃思濾波器為 解: 首先，確定

31、數字(shz)域截止頻率c=2fcT=0.5。 第二步，根據頻率的非線性關系式，確定預畸變的模擬濾波器的截止頻率 共一百零四頁第三步，將c代入三階(sn ji)模擬巴特沃思濾波器Ha(s)，得 最后，將雙線性變換關系代入就得到數字(shz)濾波器的系統函數 共一百零四頁 應該注意，這里(zhl)所采用的模擬濾波器Ha(s)并不是數字濾波器所要模仿的截止頻率fc=1 kHz的實際濾波器，它只是一個“樣本”函數，是由低通模擬濾波器到數字濾波器的變換中的一個中間變換階段。 圖6-10給出了采用雙線性變換法得到的三階巴特沃思數字低通濾波器的幅頻特性。由圖可看出，由于頻率的非線性變換， 使截止區的衰減越

32、來越快。共一百零四頁圖 6-10 用雙線性變換法設計得到的三階(sn ji)巴特沃思數字低通濾波器的頻響 共一百零四頁設模擬系統函數(hnsh)的表達式為 得 共一百零四頁表 6-1 雙線性變換法中a(s)的系數(xsh)與H(z)的系數之間的關系 共一百零四頁6.5 設計(shj)IIR濾波器的頻率變換法 圖 6-11模擬頻率(pnl)變換兩種等效的設計方法(a) 先模擬頻率變換， 再數字化; (b) 將(a)的兩步合成一步設計 1、模擬頻率變換法的原理框圖共一百零四頁 對于第一種方案，重點(zhngdin)是模擬域頻率變換，即如何由模擬低通原型濾波器轉換為截止頻率不同的模擬低通、高通、帶通

33、、帶阻濾波器，這里我們不作詳細推導，僅在表6-2列出一些模擬到模擬的頻率轉換關系。一般直接用歸一化原型轉換，取c=1, 可使設計過程簡化。 然后再通過沖激響應不變法或雙線性變換法數字化為所需類型的數字濾波器。表6-2 截止頻率為c的模擬低通濾波器到其它頻率選擇性模擬濾波器的轉換(zhunhun)公式 共一百零四頁 第二種方法實際上是把第一種方法中的兩步合成一步來實現，即把模擬低通原型變換到模擬低通、高通、帶通、帶阻等濾波器的公式與用雙線性變換得到相應數字濾波器的公式合并(hbng)，就可直接從模擬低通原型通過一定的頻率變換關系， 一步完成各種類型數字濾波器的設計，因而簡捷便利，得到普遍采用。

34、此外，對于高通、帶阻濾波器，由于沖激響應不變法不能直接采用，或者只能在加了保護濾波器以后使用，因此，沖激響應不變法使用直接頻率變換要有許多特殊考慮，我們在下面只考慮雙線性變換，實際使用中多數情況也正是這樣。 共一百零四頁2、數字(shz)頻率變換法的原理框圖圖 6-12 數字(shz)頻率變換法共一百零四頁6.6 先利用模擬域頻帶變換法，再利用數字化法設計(shj)數字各型濾波器原理把一個歸一化原形模擬低通濾波器經模擬頻帶變換(binhun)成所需要類型（截止頻率為另一低通、或高通、帶通、帶阻）的模擬濾波器。然后再通過沖激響應不變法或雙線性變換(binhun)法數字化為所需的數字濾波器。共一百

35、零四頁模擬頻率變換法的原理(yunl)框圖模擬(mn)歸一化低通原型模擬低通、高通、帶通、帶阻數字低通、高通、帶通、帶阻頻帶變換數字化先模擬頻率變換，再數字化雙線性變換法或沖激不變法共一百零四頁注意(zh y)點實際上把以上合成二步來實現。模擬歸一化低通原型變換到模擬低通、高通、帶通、帶阻等濾波器的公式+與雙線性變換得到相應(xingyng)數字濾波器的公式。將以上兩公式合并，就可直接從模擬低通歸一化原型通過一定的頻率變換的關系，一步完成各類數字濾波器的設計。這里只談雙線性變換法，因為沖激響應不變法有頻率混疊失真效應，只對能嚴格限帶的數字低通、帶通濾波器的設計才能應用。對于數字高通、帶阻濾波器

36、，不能直接應用。共一百零四頁一、 模擬低通濾波器變換成數字低通濾波器 首先，把數字濾波器的性能要求轉換(zhunhun)為與之相應的作為“樣本”的模擬濾波器的性能要求，根據此性能要求設計模擬濾波器， 這可以用查表的辦法， 也可以用解析的方法。然后，通過雙線性變換法，將此“樣本”模擬低通濾波器數字化為所需的數字濾波器H(z)。共一百零四頁二、 模擬低通濾波器變換(binhun)成數字高通濾波器 式中，c為模擬低通濾波器的截止頻率，c為實際高通濾波器的截止頻率。 2、模擬高通到數字(shz)高通的變換根據雙線性變換原理，模擬高通與數字高通之間的S平面與Z平面的關系仍為 1、由模擬低通原型到模擬高通

37、的變換由表6-2可知，由低通模擬原型到模擬高通的變換關系為 共一百零四頁 把上兩個變換式結合(jih)起來，可得到直接從模擬低通原型變換成數字高通濾波器的表達式，也就是直接聯系s與z之間的變換公式 式中， 。由此得到(d do)數字高通系統函數為 式中，Ha(s)為模擬低通濾波器系統函數。 共一百零四頁 可以看出，數字(shz)高通濾波器和模擬低通濾波器的極點數目（或階次）是相同的。 根據雙線性變換，模擬高通頻率與數字高通頻率之間的關系仍為 則 又因：則：共一百零四頁圖6-13 從模擬低通變換到數字高通時頻率間關系(gun x)的曲線 應當(yngdng)明確一點，所謂高通數字濾波器，并不是高

38、到都通過， 由于數字域存在折疊頻率=，對于實數響應的數字濾波器， 由到2的部分只是由到0的鏡像部分。因此，有效數字域僅只是從=0 到=，高通也僅指這一端的高端，即到=為止的部分。 共一百零四頁圖 6-14 模擬(mn)低通變換到數字高通 共一百零四頁 例 設計一個巴特沃思高通數字濾波器，其通帶截止頻率（-3dB點處）為fc=3kHz，阻帶(z di)上限截止頻率fst=2kHz，通帶衰減不大于3 dB， 阻帶衰減不小于 14dB，采樣頻率fs=10kHz。 解 （1） 求對應的各數字域頻率:共一百零四頁 （2）求常數C。采用(ciyng)歸一化（c=1）原型低通濾波器作為變換的低通原型，則低通

39、到高通的變換中所需的C為 （3）求低通原型st。設st為滿足(mnz)數字高通濾波器的歸一化原型模擬低通濾波器的阻帶上限截止頻率，可按=Ccot(/2)的預畸變換關系來求，得 共一百零四頁 （4）求階次N。按阻帶衰減求原型(yunxng)歸一化模擬低通濾波器的階次N，由巴特沃思低通濾波器頻率響應的公式|Ha(jst)|取對數， 即 式中c=1。解得 取N=3。 共一百零四頁 （5） 求歸一化巴特沃思低通原型(yunxng)的Ha(s)。取N=3，查表(課本P266，表64)可得Ha(s)為 共一百零四頁（6） 求數字(shz)高通濾波器的系統函數H(z)， 有 將C代入， 可求得 共一百零四頁三、 模擬(mn)低通濾波器變換成數字帶通濾波器 由表6-2可知， 由低通模擬原型到模擬帶通的變換關系為 式中，c為模擬低通濾波器的截止頻率，h、l分別(fnbi)為實際帶通濾波器的通帶上、