1、“核心素養”視角下的數學教育報告的主要內容一、 “核心素養”之慎思（背景）；二、“數學核心素養”之我見（理論分析）；三、理論的實踐性解讀（具體的教學建議）。一、“核心素養”之慎思“當今世界各國教育都在聚焦對于人的核心素養的培養。”（顧明遠）“今天，這個概念體系（指“核心素養”注）正在成為新一輪課程改革深化的方向。”（人民教育，2015年第7期，“社評”）相關事實：教師培訓的熱門主題第六屆中國小學數學教育峰會：“聚焦數學核心素養”（2015，10，杭州）“核心素養在課堂”（2016，11，南京）“核心素養 下的小學數學發展課堂”研會觀摩會”（2016，11，杭州）“經典與超越：核心素養下的課堂教

2、學方式轉型”（2016，11，南昌）應當堅持的基本立場我們既應高度關注教育的最新發展，但又不應盲目地去追隨潮流，而應始終堅持自己的獨立思考。更為具體的建議面對任一新的理論思想或主張，我們都應認真地去思考這樣三個問題：（1）這一理論或主張的實質是什么？（2）這一理論或主張對于我們改進教學有哪些新的啟示和意義？（3）這一理論或主張又有什么局限性或不足之處？當前的應有思考問題1：現今對于“核心素養”的提倡與先前所說的“素質教育”有什么聯系和區別？ 問題2：數學教育界又應如何去落實“核心素養”，特別是，我們是否也應積極地去提倡“數學核心素養”什么又是后者的具體涵義？有益的比較“2014年3月，教育部印

3、發了關于全面深化課程改革、落實立德樹人根本任務的意見，提出了核心素養概念，為進一步深化課程改革指明了方向。”“1997年國家教委印發關于當前積極推進中小學實施素質教育的若干意見，提出應著眼于受教育者長遠發展的要求，以面向全體學生，全面提高學生的基本素質為根本宗旨。其中還特別提到，要建立一整套素質教育運行體系，包括以全面提高學生素質為目標的課程體系。”“1999年6月，一份關于素質教育的標志性文件中共中央國務院關于深化教育改革，全面推進素質教育的決定發布，其中明確素質教育以培養學生的創新精神和實踐能力為重點，指出全面推進素質教育，是我國教育事業的一場深刻變革。” 應有的思考（1）問題1：現今對于

4、“核心素養”的提倡與一般所謂的“素質教育”究竟有什么聯系和區別，特別是，“以素養發展為核心的教育”與新一輪課程改革中對于“三維目標”的提倡又有什么不同？進一步的思考究竟什么是這里所說的“素養”或“核心素養”？現狀：盡管存在不少論述，但在這方面應當說還有很長的路要走！ 一個更深的憂慮在積極提倡“核心素養”的同時，我們又應防止純粹的“口號操作”與“文字游戲”，因為，這正是教育領域的一個常見弊病，即是口號的頻繁更替，以至一線教育工作者忙于應付，甚至感到無可適從。相關的論述“從20世紀80年代的素質教育，到2014年以來大熱的核心素養；從德智體美勞五育并舉到兩全、一主動，再到一個靈魂、兩個重點，后來又

5、有德育為先能力為重全面發展因材施教等。可以看出，教育內涵發展的邏輯軌跡基本上是：教育實踐中存在什么問題，時代發展提出了什么新要求，在改革中就會增加相應的新內容。”（黎雪原，“在探索中回歸，小學教學，2016年第9期）正面的建議： “教育貴在堅持”。一個實例：“從來沒想到，在北京一所不起眼的小區配套學校里，居然有一群人，對三維目標的研究如此執著達8年之久；他們從學科知識走到了知識樹，從知識樹走到了能力，從能力走到了高位目標，并解決了一系列教學困惑和問題。無論課改形勢發生什么變化，都沒有動搖他們的研究精神。10年過去了，這所普通學校迅速成長為海淀區第一方陣的佼佼者進校附校是這里面的勝利者，勝在了執

6、著二字 。”（人民教育，2011年第6期） 應有的思考（2）問題2：數學教育界應當如何去落實“核心素養”？另一應當防止的傾向：認識的極端化與做法上的片面性。兩個相關的論點（1）應當特別重視傳統課程的改變與整合，“基礎教育要去學科化”。（2）在數學教育領域中，“核心素養”就可被等同于“核心概念”，從而我們對此也就無須予以特別的重視. 第一種觀點：“基礎教育要去學科化”“只從學科的角度出發，不利于學生素養的發展。”（顧明遠）“基礎教育要去學科化，強調綜合”。我們不僅應當積極提倡各個傳統學科的綜合，也應以“整體性思維”完全取代“學科性思維”。顯然，按照這樣一種觀點，我們在當前就完全沒有必要、甚至根本

7、就不應去提及所謂的“數學核心素養”。 一個相關的實踐“清華附小通過核心素養的打底、1+X課程的整合和直接完整性的教學，照亮了孩子人生發展的道路和未來的遠景。”（人民教育2015年第13期，特約評論員）“基于學生發展核心素養的1+X課程改革對于當下的基礎教育課程改革具有價值引領的意義。”（顧明遠，人民教育，2015年第13期）筆者的思考（1）我們事實上即可由數學與數學教育領域中的相關研究獲得這方面的直接啟示，包括數學中對于“統一性”的追求，以及數學教育中關于“整合數學”的研究。相關的啟示由相關研究可以看出：數學中不同學科分支的整合決非易事，我們更不應將此簡單地等同于相關內容在形式上的簡單組合；進

8、而，與唯一強調統一性相比較，我們又應更為清楚地認識多元化與統一性之間的辯證關系，并應注意防止這樣一種現象，即是人為地制造某種“統一”。相關的結論總之，與唯一強調不同學科的整合相比較，這是課程改革更為重要的一個指導思想，即是我們如何能將“核心素養的培養”這一總體性教育目標落實到各個學科的教學之中，從而既能充分體現各個學科的特點，也能在總體上真正做到各有其長，各盡其職，相互配合，互相促進。 必要的澄清上面的論述并非是指我們不應對傳統的學科教育作出任何改變；恰恰相反，我們應以整體性教育目標為指導積極地去從事學科教育的改革；但同時也應注意防止各種簡單化的認識與片面性的觀點，即如對于“去學科化”的盲目提

9、倡，乃至將各個學科的教學簡單地納入某個單一的模式。相關的論述“課程的整體優化與建設并不一定要取消現在的課程分類和已經有的學科，它的著力點是打破那些已經固定的不同學科之間界線分明的邊界，是要穿越那些的近乎僵化的學科與知識界限，使課程內容更加豐富多彩。”（謝維和） 第二種觀點：“數學核心素養”=“核心概念”相關的論點（1）：“課程標準（2011年版）明確提出了10個核心素養，曾把這些稱之為核心概念，但嚴格意義上講，稱這些詞為概念并不合適本文把這10個詞稱之為數學的核心素養 。”（馬云鵬）相關的論點（2） 按照高中數學課程標準，“數學核心素養”就是指以下六個概念：數學抽象，直觀想象（用數學眼光觀察現

10、實世界）；邏輯推理，數學運算（用數學思維思考現實世界）；數學模型，數據分析（用數學語言表達現實世界）。 筆者的思考與各種簡單化的論點相對照，我們應當更為深入地去思考：“走向核心素養”究竟為我們更好地認識與把握數學教育的基本目標、并由此而進一步改進數學教育教學工作提供了哪些新的啟示？二、“數學核心素養”之我見基本認識：這是“走向核心素養”給予我們的主要啟示：我們應當跳出數學、并從更大的角度去分析思考問題，特別是，究竟什么是數學對于個人發展和社會進步所應發揮的重要作用？相關的論述“這次制定課程方案時，學科專家做的第一件事情就是思考：這門學科在孩子身上能夠產生哪些變化？對孩子的素養有哪些貢獻？”（張

11、緒培）這也應當成為我們具體界定“數學核心素養”的基本途徑。具體的分析（1）什么是不同學科、特別是數學課與語文課對于學生成長的主要作用？相關的論述：“今天比昨天慈悲，今天比昨天智慧，今天比昨天快樂，這就是成功。”“要通過生命不斷的轉彎，發現多元的樣貌，而不要生活在一元的狀態下。”（林清玄）語文教育的主要作用：“什么是生命里重要的事情：一是愛，能愛，能表達愛；二是美，懂美，追求美。三是情，四是義，人要有情有義。五是感動，美好的情感能被激發。”數學教育的主要使命：我們應當通過數學教學讓學生一天比一天更加智慧，一天比一天更加聰明，也即應當努力促進學生思維的發展與理性精神的養成。 具體的分析（2）盡管目

12、前國內所看到的主要是由“核心素養”到“數學核心素養”的發展，但后者不應被看成全新的概念，因為，只要將視野擴展到國際數學教育界，就可看到不少相關的研究：其中都明確提出了“數學素養”這樣一個概念。研究的共同點對于社會進步與個人發展的高度關注。“一方面是社會的視角：數學素養主要涉及到了社會經濟的變化與社會的技術進步，它應當與此相適應并促進社會的整體發展；另一方面，數學素養又與個人的生活密切相關，也即應當聚焦于個人。”（G. Fitzsimons等，“Adult and Mathematics”） 研究的不同點對一部分學者而言，提倡“數學素養”就意味著對于數學教育的更高要求，特別是，我們不僅應當積極提

13、倡所謂的“大眾數學”，也應努力實現“數學上普遍的高標準”。但也有一部分學者認為，“數學素養”即是為數學教育提供了“最低標準”。筆者的觀點基本立場：應當堅持“數學上普遍的高標準”，并應努力做到“少而精”。“數學核心素養”的基本涵義：我們應當通過數學教學幫助學生學會思維，并能逐步學會想得更清晰、更深入、更全面、更合理，包括由“理性思維”逐步走向“理性精神”。這也應當成為數學教育的基本目標。 關鍵（1）：“三維目標”之間的辯證關系第一，所謂的“情感、態度與價值觀”主要體現了文化的視角，而“文化”的主要特征就在于：這是一種潛移默化的影響，也即是通過人們的日常生活與工作不知不覺地形成的。也正因此，與數學

14、直接相關的情感、態度與價值觀的養成，就離不開具體數學知識與數學思維的學習，特別是，人們主要地就是經由“理性思維”的學習與應用逐步發展起了“理性精神”，也即由“思維方法”逐步地過渡到了“情感、態度與價值觀”。第二，知識應當被看成思維的實際“載體”，從而，“為講方法而講方法就不是講方法的好方法”；但是，又只有以思維方法的分析帶動具體知識內容的教學，我們才能將數學課真正“教活”、“教懂”、“教深”。綜上可見，在上述的“三維目標”之中，“思維”應當被看成具有特別的重要性；這也就是指，我們即應將“幫助學生學會思維”看成數學教育的基本目標，或者說，即是將“促進學生思維的發展”看成“數學核心素養”最為基本的

15、一個涵義。關鍵（2）：“數學地思維”與“通過數學學會思維”一個基本事實：數學思維并非思維的唯一可能形式，各種不同的思維形式（如文學思維、藝術思維、哲學思維、科學思維等）也都有其一定的合理性和局限性，從而，我們就不應唯一地強調“幫助學生學會數學地思維”，毋寧說，后者事實上即可被看成清楚地表明了“學科性思維”的局限性。當然，我們并不應因此而完全否定數學思維的研究和學習，毋寧說，這即是對數學教育工作者如何做好這一方面工作提出了更高的要求：我們即應通過數學教學幫助學生學會思維！相關的建議：切實做好兩個方面的研究（1）立足“數學思維”（數學家的思維方式），并以此作為發展學生思維的必要規范，包括通過與日常

16、思維的比較幫助人們更為深入地認識后者的局限性，并能逐步形成一些新的思維方式等；（2）立足日常思維：我們并應跳出數學、從更為一般的角度去認識各種數學思想與數學思想方法的普遍意義（和局限性），從而就可對于促進學生思維的發展發揮更為積極的作用。關鍵（3）“通過數學學會思維”，并非是指如何能夠想得更快、又如何能夠“與眾不同”，而主要是指幫助學生逐步學會想得更清晰、更深入、更全面、更合理。 一個相關的調查學生眼中的“聰明”？教師的必要引導：“聰明”不只是快，而且要巧，更不應出錯，還要能清楚地講出道理，結語我們應當將“幫助學生學會思維”看成數學教育的基本目標，特別是，即應通過數學教學促進學生更為積極地去思

17、考，并能逐步學會想得更清晰、更深入、更全面、更合理，包括由“理性思維”逐步走向“理性精神”。三、理論的實踐性解讀（若干具體的教學建議）1. 正確處理“動手”與“動腦”之間的關系； 2努力養成學生“長時間思考”的習慣與能力； 3幫助學生學會“反思”； 4努力提升學生的思維品質。 實踐性解讀（一）：動手與動腦？這是當前應當特別注意糾正的一個現象，即是我們在教學中往往只是重視了學生的“動手”，卻忽視了如何能夠促使他們積極地去“動腦”。例 1“圓的認識”的教學基本認識：要想認識圓，必先畫圓。教學實錄：（1）要求學生用圓規畫圓；（2）展示另一種畫圓方法（體育老師在操場上畫圓），并要求學生對畫圓的具體步驟

18、做出總結：第一，定圓心；第二，確定半徑。（3）進一步的要求：在先前的圖上畫半徑（半徑在哪里？）；畫直徑（畫得對不對？）（4）男女生比賽：用繩子畫圓。由此引出結論：圓半徑的長度不能變。（5）學習單：請你看一看、量一量、折一折，想想圓有哪些特征？（6）想一想：生活中有哪些圓？用到了圓的哪些性質？分析與思考（1）在學生用圓規畫圓以后，我們是否就應通過適當的提問與討論引發學生的思考，即如“畫圓時容易出現什么問題？”“什么又是畫好圓的關鍵？”等等。進而，通過聚焦“圓不圓”這樣一個問題，我們又可引發學生做出如下的思考：“究竟什么樣的圖形是圓？”分析與思考（2）我們又為什么要布置這樣一個任務，即是讓學生“看

19、一看、量一量、折一折，想想圓有哪些特征？”這也就是指，圓的基本性質（半徑相等、直徑相等）真的是量（比）出來的嗎？總之，我們在此即應特別重視動手與動腦之間的關系！更多的實例在“度量”的教學中， 人們往往只是重視了實際操作，包括各種方法與工具的應用，卻未能引導學生認真地去思考：“如何量才能更準、更快、更省事？”包括各種度量工具與度量方法是如何得以發現的？在學生實際從事計算前我們往往也未能引導他們認真地去思考為什么要進行這些計算，從而就容易出現以下的現象：盡管相關的計算或推理導致了某些結果，但其對于解決所面臨的問題卻沒有任何作用；另外，在獲得了結果以后，我們顯然又應引導他們進一步去思考：如何進行檢驗

20、？是否存在更快的計算方法？ 幾何教學中一旦引入了某個概念，如“等腰三角形”、“正方形”等，我們又往往會急于讓學生通過實際度量去發現它們的特征性質，卻沒有認識到其中的很大一部分正是相關“定義”的直接推論，從而真正重要的也就是如何能夠引導學生積極地去進行思考，如“什么是等腰三角形？”，“什么是正方形？”，等等。總之，這正是我們在當前應當注意糾正的一個現象：我們的學生一直在做，一直在算，一直在動手，但就是不想！例2 “角的初步認識”教學中的“三次動手”與“三次提問”（高雅）教材中的處理方式（人教版，二年級上冊）：（1）由生活實例引出角的概念；（2）通過若干“正例”與“反例”幫助學生更好地掌握角的概念

21、。相關的思考我們如何能夠通過自己的教學促使學生更為積極地去進行思考，特別是，即能由單純的“動手”轉向積極的“動腦”？ 具體的教學設計（1）相關教師在教學中同樣采取了“由生活實例引出角的概念”這一作法，但在學生們具體地列舉了所曾見過的各種各樣的“角”以后，教師又提出了這樣一個任務：把你頭腦中所想的“角”畫出來？進一步的問題（問題1）：“其中有哪些可以被看成真正的角，也即是數學中所說的角”？ 具體的教學設計（2）在實際組織學生對上述問題進行討論以后，教師又要求學生第二次動手去畫角。第二個問題：你們所畫的“角”有什么不同？ 具體的教學設計（3）第三次動手：“如何能夠畫出一個與已知角同樣大小的角？”必

22、要的聚焦（問題3）：角的大小是由什么決定的，或者說，什么是相關的因素，什么又與角的大小完全無關？ 相關的啟示盡管我們在此不能直接引入“角”的嚴格定義，但是，只須很好地加以引導，我們仍可幫助學生較好地掌握“角”這樣一個概念，特別是這樣一個事實：“角的大小與邊的長度無關，而是取決于開口的大小”，從而就為將來的進一步學習、包括引入“角”的嚴格定義打下了良好基礎。更為一般的結論：判斷數學課成功與否的主要標準無論教學中采取了什么樣的教學方法或模式，我們都應更加關注自己的教學是否真正促進了學生積極地去進行思考，并能逐步學會想得更清晰、更全面、更深入、更合理。實踐性解讀（二）：長時間思考的習慣與能力的養成數

23、學家的一項共識：數學學習十分有益于人們養成“長時間思考”的習慣與能力。但是，我們在現實中又是否過分地突出了學生“即興思維”能力的培養，以至完全忽視了“長時間思考”的習慣與能力的養成？相關的論述（1）：長時間思考的重要性“我認為思考問題的態度有兩種：一種是花費較短時間的即席思考型；一種是較長時間的長期思考型。所謂的思考能人，大概就是指能夠根據思考的對象自由自在地分別使用這兩種類型的思考態度的人。但是，現在的教育環境不是一個充分培養長期思考型的環境。沒有長期思考型訓練的人，是不會深刻地思考問題的。無論怎樣訓練即席型思考，也不會掌握前面談過的智慧深度。”（廣中平佑）相關的論述（2）：應試教育的一個后

24、果臺灣學生在歷年國際評比的數學表現，成就表現始終名列前茅，然而學生對于數學的功用、喜愛和自信心的表現卻始終是倒數前幾名，呈現出高成就、低信心的特征，猜測造成此現象的主要原因來自于考試制度下的數學學習特性，學生為獲取較高分數，必須使用適當的的演算法快速求得答案學生少有時間與機會發展自己的思想，學習多為被動、背誦及反復練習的方式。（林福來）一部相關的名著康納利（D. Kahneman）：快思慢想（Thinking，Fast and Slow ） ，Penguin Books，2011主要結論：這是“日常思維”的一個重要特點，即是“快思”占據主導的地位；然而，盡管其對于人類具有十分重要的作用，在現實

25、中卻又常常會導致一些系統性的錯誤。進一步的思考我們如何才能幫助學生養成“長時間的思考”的習慣與能力？一些特別重要的環節：我們在教學中應當很好地去處理“快與慢”、“多與少”、“熱鬧與安靜”、以及學生獨立思考與合作學習、積極交流之間的關系。相關的論述（3）“如果一節課的內容太多，承載的任務太重，學生上課時候很忙碌，思考力就很難得到提升，學習力會越來越弱。若課堂只聚焦幾個核心問題，讓學生深入思考，看上去學得少、學得慢，但思考的方式、方法豐富了，思考力便能提高，思考力就會越來越強。”（林鶯） 相關的論述（4）“傳統教學強調激發學生興趣、學習激情，培養學生參與學習的積極性與主動性，課堂往往呈現熱鬧氛圍而

26、我們倡導安靜，是不是會因靜而冷，冷卻了學生的學習興趣，影響學生的注意力甚至學習成效呢？對此，我們在反思中從心理學角度幫助教師消解困惑，認識到人的思維專注進入心無旁騖的境界，便走向了潛心靜思，而安靜的氛圍就會保證這種靜思不受干擾。”（林莘） 關于數學教學的具體啟示（1）由此可見，數學教學中就不應以思維速度的快慢作為評價學生學習情況的主要標準，而是應當更加重視如何能為學生“長時間思考”創設必要的外部環境或氛圍。例如，按照上述立場，教師在課堂上提出問題后，就不應一味地去鼓勵學生盡快做出反應：“看誰先舉起手來？”“看誰最積極？”而是應當同樣重視引導學生更仔細、更深入地去進行思考，特別是，我們決不應在不

27、知不覺中對那些仍在進行思考的學生施加較大的壓力。而是應當表現出更大的耐心：“孩子，不要急，慢慢想！” 我們并應努力幫助學生進入這樣一種狀態，即是完全沉浸于相應的數學學習活動，包括內容的理解、具體的解題活動，等等；另外，這無疑也應被看成為幫助學生學會“長時間思考”的一個必要條件，即是教學中的“引領性問題”不應太多，而應努力做到“少而精”，更應有足夠的思維含金量。另外，這無疑也應被看成為幫助學生學會“長時間思考”的一個必要條件，即是教學中的“引領性問題”不應太多，而應努力做到“少而精”，更應有足夠的思維含金量，因為，不然的話，學生就會一直處于忙于應付的狀態，而不可能真正靜下心來進行長時間的思考，甚

28、至都不可能找到深入思考的很好切入點。另一相關的問題數學教學中究竟應當如何去處理“學生獨立思考”與“合作學習、積極交流”之間的關系？特別是，我們不僅應當防止這樣一種現象，即是“表面上的熱熱鬧鬧，實質上卻沒有什么收獲”，而且也應注意分析其可能的消極影響，即是因為“合作學習”而對學生的獨立思考造成一定的干擾。 相關的論述（5）“數學教學可以如此組織以使學生參與到了積極的互動之中但卻沒有實現任何有意義的數學學習無論這是指概念式的學習或是程序性的學習，也會有這樣的學生他認為在別人看來是很有成效的課堂討論對其而言只是分散了他對于數學概念與所傾向的方法的注意。”（J. Boaler & J. Greeno）

29、相關的論述（6）“數學是自己思考的產物。首先要能夠思考起來，用自己的見解和另人的見解交換，會有很好的效果。但是，思考數學問題需要很長時間。我不知道中小學數學課堂是否能夠提供很多的思考時間。”（陳省身）關于數學教學的具體啟示（2）“認真地想，靜靜地聽，輕輕地說！”當然，我們又應針對學生的不同情況提出不同的要求或不同的工作重點，也即應當依據學生的具體情況很好地去掌握相關的“度”。 相關的論述（7）“不同學段的小學生應有不同的重點：低年級的認知活動以啟動兒童的認知機制為主。鼓勵兒童發表自己的想法，并傾聽別人的意見而得與同儕互動學習。中年級的教學活動以發展數學課室中的社會性互動為主。使兒童能以澄清的方

30、式和做法是否合理之檢查來進行討論和辯證。高年級之教學活動則進一步要求學生在解題活動中提升效率，進行比較科學性的解題思考,讓學生回歸文化傳承的解題方式，以及熟練一些技巧和知識，后者也應成為討論的重點。（黃敏晃）必要的提醒以上我們主要是從“快思”與“慢想”的對立這一角度指明了培養學生“長時間思考”的習慣與能力的重要性；但是，對于后者我們顯然又不應單純地歸結為時間的“長短”，而是應當更加注重其內涵的分析，也即我們應當更加注重如何能夠引導學生更清晰、更深入、更全面、更合理地去進行思考。關鍵：教師的教學應給學生的獨立思考提供足夠的時間與空間。例3“圖形的放大與縮小”的教學教材中的處理方式（蘇教版，六年級

31、下冊）：核心問題：“放大前后，照片的長有什么關系，寬呢？”常見的教學設計：圍繞上述問題放手讓學生去進行探究。相關的論述：“讓學生自己發現圖形放大和縮小的本質與規律”。教學中的常見現象學生只是忙于動手，卻看不到積極的思維活動！特別是，我們在此究竟為什么要研究“放大前后，照片的長有什么關系，寬呢？”這樣一個問題？這也就是指，這一問題究竟是從哪里來的？相關的分析（1）一個明顯的事實：“放大”與“縮小”并非專門的數學概念，而是在日常生活中也具有十分廣泛的應用。挑戰與機遇：這很容易導致一定的思維混亂，但也為我們在教學中有意識地去滲透“數學化的思想”提供了很好的契機。相關的論述對學生而言，與其說學數學，不

32、如說學習數學化。（弗賴登特爾）所謂“數學化”，就是“用數學的眼光去看待世界、發現問題和解決問題”。 具體的教學建議（1）教學中應當清楚地指明“日常視角”與“數學視角”的聯系與區別。在日常生活中，所謂“放大”或“縮小”主要是指圖形大小的變化，人們在此所關注的又主要是各種現實的考慮，包括美學的思考，等等。與此相對照，數學中所說的“放大”或“縮小”，則是指這樣一種變化：盡管圖形的大小有所變化，但其形狀卻保持不變。相關的分析（2）如果缺乏積極的思維活動，所謂的“探究”事實上就只是一種假探究。回顧：我們在此究竟為什么要去研究這樣一個問題：“放大前后，照片的長有什么關系，寬呢？”具體的教學建議（2）加強思

33、維的引導：（1）我們應當如何去判斷兩個圖形的形狀是否一致？或者說，什么可以被看成圖形相似與否的主要特征？（2）就圖形的“放大”和“縮小”而言，有哪些因素發生了變化？又有哪些因素保持不變？更為一般的思考什么可以被看成平面圖形的主要成分，或者說，我們主要地即應圍繞哪些因素去從事平面圖形的研究？“數學化”的又一重要涵義：由定性的描述到定量的研究！相關的教學建議（3）：必要的追問就“圖形的放大與縮小”在現實中的應用而言，什么是最重要的因素？數學中又是如何對此進行表述的？“放大與縮小”的具體區分（由“定量”向“定性”的復歸），以及更高層次上的“統一”。小結這是我們應當努力創造的一種“數學課堂文化”：“思

34、考的課堂，安靜的課堂，開放的課堂！”另一相關的思考我們或許也可從同一角度更好地去理解“先學后教”、“翻轉課堂”等新的教學方法或模式的意義：相關的要求（如“學習單”與“微視頻”的制作等）顯然要求相關教師努力做到“少而精”，不同的教學組織方式也為學生的獨立思考提供了更大的空間和更多的時間，包括更加安靜的學習環境。實踐性解讀（三）：幫助學生學會“反思”應有的思考：我們在此所強調的是“數學教育應當幫助學生學會思維”這樣一個基本任務，那么，為什么又要專門地去提及“反思”（反省、內省）這樣一種思維形式？進而，什么又是數學中所說的“反思”的具體涵義？相關的論述（1）“真正的數學頭腦是思維的頭腦，是內省的頭腦

35、，這也是學校應當教學生的東西。” （H. Ginsaberg）“只要兒童沒能對自己的活動進行反思，他就達不到高一級的層次。”（弗賴登特爾）“對學生而言，與其說學數學，不如說學習數學化。”“數學化和反思是互相緊密聯系的。事實上我認為反思存在于數學化的各個方面。”“數學化一個重要的方面就是反思自己的活動。從而促使改變看問題的角度。”（弗賴登特爾）具體的分析（1）正如“吾日三省吾身”這一格言所表明的，這是“反思”這一思維形式、包括數學中的“反思”最為重要的一個特征：不同于由于外部的促進或壓力所進行的思考，“反思”更加強調主體的自我意識，也即是指相關主體的一種自覺行為。具體的分析（2）相對于一般意義上

36、的“反思”而言，數學中的“反思”當然也有其一定的特殊性：我們在此所希望的就是借助這種思維形式即能更有效地去促進學生思維的發展，特別是，即能逐步學會想得更清晰、更深入、更全面、更合理。更為具體地說，主體在此時已不再集中于原先所從事的活動（包括實際操作與思維活動），而是“停下來”進行一些新的、更高層次的思考，即如自己正在做什么？是如何去做的？為什么要這樣做？是不是有什么錯誤？又如何能夠做到更好一些？總之，這就正是對于“只是埋頭去做，既不問，也不想”這樣一種狀態的重要超越。具體的分析（3）與一般所謂的“自我糾錯”相比較，這里所說的“反思”顯然具有更為廣泛的涵義；再者，數學中的“反思”也不只是指“事后

37、的反省”，而應貫穿、落實于全部的數學活動之中，也即應當真正成為主體思維活動十分重要的一個組成成分或基本特性。 例4“主體性反思：小學數學教學應有的價值追求”（翟長麗）基本認識：“當前，在課改理念的影響下，數學課堂發生了很大變化。數學教學中的學習形式越來越多樣化，自主探索、合作交流、實踐操作等學習方式逐漸成為數學課堂的主流。可是，這些看似豐富的外在形式所生成的學習成果是否與學生主體內在的內在反思、感情體味相結合，以實現數學知識的意義建構呢？我們看到在很多形式化的教學背后，主體性反思是非常缺失的：學生不善于建尋找自己的認知錯誤，不善于或不愿意檢驗自己的思維過程，不善于反思自己的學習策略和情感體驗，

38、自主建構成了教師牽制下的被動參與。”正因為此，“我們必須要把學會反思納入到學會學習的實質性范疇，讓學會反思成為新時期學會學習的新視點，成為理想課堂的新追求。”具體建議（1）創設反思情境，培養反思意識。首先，教師要創設和諧、民主、寬松的環境氛圍，幫助學生看到學習中的問題所在，使反思性學習活動得以和諧開展。其次，教師可以從學生的實際和認知水平出發，通過創設反思性問題情境，引發學生對學習過程中的基礎知識、學習方法、解題策略、情感體驗等做自覺的回顧反思，使不同個體和群體在思維碰撞中，把學生活躍的思維推向深刻，也讓學生體驗到適時的反思是深化思維的一副催化劑。（2）追溯學習過程，提高反思能力。當某個新知教

39、學告一段落，或探究活動已經完畢，或全課教學即將結束，此時更需靜靜回望反思，追溯探究過程，梳理新生信息，完善認知結構。第一，課始反思，鏈接經驗。第二，過程反思，深化思維。第三，課尾反思，省思得失。（3）探尋出錯根源，提升思維品質。 相關的總結“數學知識不易終身鉻記，但數學精神會激勵終生；解題技能很難終身掌握，但反思的方法會受用終身。思之則活，思活則深，思深則透，思透則明，思明則新，思新則進。”“反思應當是一項持之以恒、日積月累的系統工程，需要教師遵循循序漸進的原則和一以貫之的耐心扎實踐行，最終讓學生進入學會學習的至高境界。”幾個特別重要的環節（1）：“清楚地表述，有效的互動”為了清楚地說出自己的

40、想法，必然要求主體對自己頭腦中的已有想法作出梳理與檢查；我們顯然也只有更清晰、更深入、更全面、更合理地去進行思考，才能對其他人所已表達的意見做出適當的評論和批評，乃至實質性的補充或改進。相關的建議教學中應給學生更多的表達機會，包括兩人對話與小組交流等；我們又不應滿足于對于“交流”、“傾聽”的簡單提倡，而是應當更加重視引導學生對于不同觀點進行比較與分析，包括對于自身原有觀點的總結與反思。例如，在全班交流的環節，教師就不應唯一地集中于學生對于所面臨問題的具體解答，而也應當進一步去追問：你現在的看法與先前的想法有什么不同？你又是如何得出這一看法的：是由別人的發言得到了啟示，還是對幾種不同的看法進行了

41、綜合？例5 關于知識表述與交流的要求（深圳市育才四小）“數學知識表述是個關鍵環節，決定了課堂交流的深度。”也正因此，他們就對學生的“課前預習”提出了如下要求：“假設每一個知識都讓你自己去講演，你會怎么講？”以下則是他們關于“交流”、“傾聽”與“互動”的具體要求：“如果能讓全班同學在最短時間內理解自己的想法，那么他就是最棒的。如果能夠給他人提出補充，提出一針見血的思路，也是成功的。”幾個特別重要的環節（2）：切實做好“化錯教學”盡管數學中的“反思”并非只是指“自我糾錯”，但后者顯然也應被看成“幫助學生學會反思”十分重要的一個方面。進而，盡管與一般所謂的“化錯教學”相比較是，我們在此即應更加注重如

42、何能夠切實提高學生在這一方面的自覺性，但我們又仍然可以由前一方面的相關經驗獲得直接的啟示。 例6 “化錯教學”的若干經驗（1）“講述錯的故事”（劉海玲）“當我們能夠坦然地講出錯的故事時，是不是就意味著我們容納錯誤了；當我們把錯誤的故事講得精彩時，是不是意味著我們會融化錯誤了；當我們講完故事后釋懷甚至驕傲地一笑時，是不是意味著我們能以化錯為榮了。 ”啟示：我們也應鼓勵學生講述自己如何能夠通過進一步的思考獲得更清晰、更深入、更全面、更合理認識的各種“故事”。 （2）“用心聆聽，先品后化”（崔蕾）“用品錯、融錯的心態來放大學生思維的閃光點，引領學生從錯誤中求知，在錯誤中探究，這就是我一直以來在追求的

43、目標！”啟示：我們并應將關注的對象由單純的“差錯”擴展到更多的方面，包括表述、評價等等。（3）“慢下來，才能化得開”（譚青秀）“此時此刻，我真正地感受到了課堂慢下來的精彩。”啟示：這顯然也可被看成十分清楚地指明了“幫助學生學會反思”十分重要的一環。 幾個特別重要的環節（3）：用“聯系的觀點”指導教學就只有采取更為廣闊的視角，我們才能達到更大的認識深度，也正因此，我們就應當特別重視如何能用“聯系的觀點”去指導教學，即是應當努力揭示不同知識內容之間的重要聯系，從而幫助學生達到更大的認識深度。例7 “小數的意義”的教學從“聯系的觀點”去分析，小數的教學顯然就應特別重視這樣一點，即是我們應當將小數的認

44、識與自然數的認識聯系起來：如果說自然數的認識主要涉及到了各個更大的計數單位（十、百、千等）的引入，那么，小數的認識則就體現了相反方向上的發展，也即引入了若干更小的計數單位（0.1、0.01、0.001等）。進而，就相關的認識活動而言，這又可以被看成它們的共同關鍵，即是我們如何能夠幫助學生很好地實現由“單一性概念結構”向“多單位概念結構”的必要過渡，特別是，即能清楚地建立起這樣三個認識：（1）只有同一數位上的數才能直接進行加減；（2）同一數位上的數的加減與個位數的加減完全相同；（3）“進位”與“退位”的概念。（更為一般地說，就是“位值制”的概念。） 例8 “分數的初步認識”的教學應當清楚地看到在

45、“分數”與“倍數”這兩個概念之間所存在的重要聯系，特別是這樣一個認識：除去單位“1”，我們也可用其他的數作為比較的基本單位。就“倍數”而言，我們就是將兩個數之中的較小的數用做了新的“計量單位”；分數的引入則代表了相反方向上的運作，也即將較大的數看成了新的“計量單位”。特殊地，后者顯然也就直接關系到了關于分數意義的如下解釋，即是“整體與部分之間的關系”“一個物體、一個計量單位或是一些物體等都可以看作一個整體。把這個整體平均分成若干份，這樣的一份或幾份都可以用分數來表示。”必要的提醒：分數教學的真正難點由于分數具有多個不同的意義，因此，作為“分數的初步認識”，我們就既應幫助學生很好地掌握“部分與整

46、體之間的關系”這樣一個具體的解釋，同時也應幫助他們清楚地認識到以下的事實：我們在此是在自然數以外引進了一種新的數，這也就是指，這即可被看成“數的不斷擴展”這一數學思想的又一體現。關鍵：教師的引領作用 相關的論述：“促進學生主動思考是教師的成長任務，教師自身也必須主動思考。”（林福來）實踐性解讀（四）：努力提升學生的思維品質相對于各種具體的數學思想和數學思想方法的學習而言，我們應當更加重視學生思維品質的提高，特別是，即應不斷提升學生思維的清晰性與嚴密性（合理性）、思維的深刻性與全面性、思維的綜合性與靈活性、以及思維的自覺性與創造性。1. 現實意義：中國人的時髦病（1）“中國人，趕時間。最愛快進，

47、狂點刷新。評論，要搶秒發。寄信，最好是特快專遞。拍照，最好是立等可取。坐車，最好是高速公路、高速鐵路、磁懸浮。坐飛機，最好是直航。做事，最好是名利雙收。創業，最好是一夜暴富。結婚，最好有現房現車。排隊，最好能插隊，若不能，就會琢磨：為什么別人排的隊總比我的快呢？”進一步的思考“靜心思量，在教育行業內部，我們不是也存在著諸多的急躁行為嗎？學校要辦最大的，教學樓要最新的，設備要最現代化的，教育思想要最前沿的，教學實驗最好馬上出成果。”（白宏太）顯然，由此我們即可更好地理解數學中明確提倡“長時間思考”的積極意義。即如我們在課堂中不應過多地去宣揚“看看誰已經做出來了”，而是應當表現出更大的耐心：“孩子，不要急，慢慢想！”教育是慢的藝術！（張文質） 中國人的時髦病（2）這也是現代人的普遍性弊病，即是過于任性；思想又往往過于膚