7.5二階常系數線性非齊次微分方程（教案）_第1頁
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1、7.5二階常系數線性非齊次微分方程（教案）7.5二階常系數線性非齊次微分方程（教案）7.5二階常系數線性非齊次微分方程（教案）山東理工職業學院教案首頁 學年 第 學期課程名稱 高等數學任課教師授課班級授課時間第 周第 周第 周第 周第 周第 周星期星期星期星期星期星期第 節第 節第 節第 節第 節第 節 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日授課課題7.4二階常系數線性非齊次微分方程教學目的知道二階常系數線性非齊次微分方程的解法教學重點二階常系數線性非齊次微分方程的解法教學難點教學用具備 注 復習講授新課小結二階常系數線性齊次微分方程的解法二階常系數線性非齊次微分方程的一般形式是 （1

2、）其中是常數。方程（1）的通解為對應的齊次方程 （2）的通解Y和方程（1）的一個特解之和。即 .在第四節中，我們已解決了求二階常系數線性齊次方程通解的問題，所以，我們只需討論求二階常系數線性非齊次微分方程的特解的方法。下面我們只介紹當方程（1）中的為如下兩種常見形式時求其特解的方法。一、由于方程（1）右端函數是指數函數與次多項式的乘積，而指數函數與多項式的乘積的導數仍是這類函數，因此，我們推測：方程（1）的特解應為( 是某個次數待定的多項式 )代入方程（1），得消去，得 （3）討論、如果不是特征方程的根。即 由于是一個次的多項式，欲使（3）的兩端恒等，那未必為一個次多項式，設為將之代入（3），

3、比較恒等式兩端的同次冪的系數，就得到以為未知數的個線性方程的聯立方程組，解此方程組可得到這個待定的系數，并得到特解、如果是特征方程的單根。即 ，但 欲使（3）式的兩端恒等，那么必是一個次多項式。因此，可令 并且用同樣的方法來確定的系數。、如果是特征方程的二重根。 即 ，且 。欲使（3）式的兩端恒等，那么必是一個次多項式因此， 可令 并且用同樣的方法來確定的系數。綜上所述，我們有結論如果，則方程（1）的特解形式為其中是與同次的多項式，的取值應滿足條件例1求 的通解。解 特征方程為 特征根為 齊次方程的通解為 因為是特征單根，所以，設非齊次方程的特解為 則將上述三式代入原方程，得 ，比較恒等式兩端的系數，得解得 ， 因此 所以方程的通解為二、由于方程（1）右端函數為，這種形式得到非齊次方程的特解的過程稍微復雜些，所以我們這里就只給出結論其中，、是兩個次多項式，且 例2求方程 的通解。解 特征方程 特征根 齊次方程的通解為 這里，由于不是特征方程的根，所以設方程的特解為代入原方程，得比較兩端同類項的系數，得 解得 于是 所以非齊次方程的通解為小結：二階常系數線性非齊次方程（1）形式： ，其中為常數， （2）求解： = 1 * GB3 若 ，則特解形式為 其中是與同次的多項式，且不是特征根時 ，是單重特征

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