1、 9.9UnitarySimilarity&Transformations酉相似 & 線性變換若 B U 1AU , 則稱 A 與 B 酉相似;定義9.1其中 U 為酉方陣.幾何意義:V 中, 一個線性變換 A對不同標準正交基1,n 和e1 , en 的方陣 A, B , 酉相似:B U 1AU .特別: 給定復方陣 A :的列是的坐標.可定義(n) 的線性變換,則 A 對自然基(標準正交) 1,n 的方陣為 A , 對(任一新)標準正交基e , e 的方陣為 B U 1AU ,A其中1(e1, en ) U .n引理9.9 任一復方陣 A 酉相似于上三角:,的特征根.證明類似于 “實方陣正交

2、相似上三角”.但現在方陣有n 個復根, 故為上三角, 更簡單了.TT若 N N N N , 則復方陣 N 稱為Normal Matrix定義(正規方陣)引理9.10. (正規方陣的 “準對稱”特點)若 N 為正規陣, 且酉相似于, 則證. 與實正規方陣類似.上述 兩結果結合, 得:定理9.5 (正規方陣酉相似(譜)定理)設 N 為(復)正規方陣, 則存在酉方陣U 使1, n 為 N 的特征根.其中特別知:正規方陣 N 必有n 個兩兩酉的向量為其特征向量.1 1U 1N U n N3 01N U N1N3 0N 2 Uk 為 A 1* U 1 AU * n A ( x) Ax AeiU酉空間(經

3、典酉空間(n) 的標準正交基)I. 則特征根k 滿足,即 k,.即T法: 因 U U I , 得()TUx k x , 則x U k x ,TT證法1. 設相乘得,. 1 ,證法2. 由上述 U 1U U11n T由 U U I ,知 kk 1(根隨陣跳舞的原因)系1. 酉陣U 的酉相似標準形)ei1 1 U UU11ien其中k eik 為U 的特征根,為實數 ( k 1, n ).kII. N H 為Hermite陣. 則特征根T法: 因 H H , 故()證法1. 設 H x k x , 則 x HT ,均實數 :. 1 ,1H U證法2. 由上述 Un T由 H H , 故(根隨陣跳舞

4、的原因)系2. (Hermite陣 H 酉相似, 譜分解Spectral theorem for symmetric matrix ) 1 1 Hn其中1, n 為 H 的特征值.-2i T kkx T H x T x T H xx T H x 和 x T x T kkk 必為實數.x T UTU,T xkk 1 T 1kkik e長度為1kk 1N U 為酉陣3III.N K 為斜Hermite陣. 則特征根(記法: 因, 故)系3. (斜稱陣 K 酉相似標準形)習題:69， 70（證明矩陣正規）定義9.7 設(V , g) 是酉空間, A 為其線性變換. A 為 A 對(某一)標準正交基1

5、,n 的方陣表示.如果 A 為正規 (或酉、Hermite、斜Hermite) 方陣,則稱 A 為正規 (或酉、Hermite、斜Hermite) 變換. Hermite變換也稱為自伴隨變換.因取定基之后: End(V ) Mn () ,線性變換全體的空間 同構于 方陣空間.故上述矩陣結果, “翻譯”為如下結果:引理9.10 設 N 是酉空間V 的 正規變換, 則N 的不變子空間W 的正交補W 也是其不變子空間.定理9.10 (正規變換下空間的分解). 設 N 是酉空間V 的 正規變換, 則 N 有特征向量e1 , en標準正交基, 故V 分解為一維不變子空間Wj e j (1 j n ) 的

6、正交直和:V e1 e2 enN 在各不變子空間的(限制)作用為 “數乘”:N e j j e j(1 j n )系1 (酉變換下空間的分解). 設U 是酉空間V 的 酉變換, 則U 有特征向量e1 , en標準正交基, 故V e1 e2 en(1 k n )系2 (Hermite變換的譜分解). 設 H 是酉空間V 的 Hermite 變換, 則存在H 的 特征向量的 標準正交基e1 , en , 從而 V 分解為一維不變子空間的正交直和:V e1 e2 enU ek eik ekai i a11 K U i an Uk kTK Kk 必為純虛數(或0).H ek k ekk (1 k n

7、)系3 ( 斜Hermite變換下空間的分解). 設 K 是酉空間V 的斜 Hermite變換, 則存在 K 的特征向量 標準正交基e1 , en ,故V e1 e2 enK ek k ekk i(1 k n )酉變換是最基本的變換:定理9.21. 設V1,V2 為n 維酉空間, A 是V1 到V2 的線性. 則以下等價:A 保內積: 即 A, A , ( , ) (2) A 是等距 (同構), 即保內積且雙射. (3) A 將任意標準正交基映為標準正交基. (4) A 將某一標準正交基映為標準正交基. (5) A 是酉( 即對V1,V2 的標準正交基的方陣為);證明. (1) (2): A

8、保內積, 故必為單射:若 A 0 , 則, A, A 0, 0 0 , 故 0 . (3): 因為保長度、角度. (3) (4): 顯然.(4) (5): 設 A 將i映為ei (分別是V1 ,V2 的彼岸準正交基)即 A j e j . 則 A 的方陣表示為 A I(因為 A 的第 j 列 恰為 A j e j 的坐標列).則 對 V1 ,V2 任, A 的方陣表示為(為酉方陣)其中U1 , U2 為i 到i, ei 到ei 的過渡矩陣.(見書177頁, 定理6.2)(5) (1):設 A 對 V1 ,V2 的標準正交基i, ei 方陣 A 是酉陣.設 , , A, A 的坐標分別為 x,

9、y, Ax, Ay ,則 A , A ( Ax)T ( Ay) xT AT Ay xT y , 系5. (1) 任一個n 維酉空間V (等距)同構于經典酉空間(n)(內積為 x, y xT y )(2) 維數相同的酉空間均(等距)同構.4意標準正交基i,eiA U 1AU U 1U2121酉陣證明. (1) 取標準正交基, 向量為其坐標列 x . 系6. 設U 為酉空間V 的線性變換, 則以下等價:(1) U保內積. (2) U 是(等距)自同構 (即到自身的保內積雙射線性變換). (3) U 將任意標準正交基映為標準正交基. (4) U 將某一標準正交基映為標準正交基. (5) U 對標準正交基的方陣為酉陣; (6) U 為酉變換, 即 U *U =UU * (U * 為U 的伴隨變換)引理9.20. n 維酉空間V 的每個線性變換 A 誘導出V 的唯一的線性變換 A * (稱為伴隨變換), 定義為 A * , , A( , V )T且 A 和 A * 對的方陣表示為 A 和 A .(其中 _ , _ 是V 的固有內積)證明. 可直接驗證(和得情形類似)因為 End(V ) Mn ()(取定基后, 線性變換與其方陣一一對應, 運算也對應.)故 A *A = AA * 當且僅當A *A =1A * = A當且僅當TA A當且僅當故關于正規變換等的定義等價于