1、結構隨機振動01教材:1.Stochastic Structural Dynamics In Earthquake Engineering G.D.Manolis P.K.Koliopoulos2.結構隨機振動 歐進萍 王光遠第一章 工程系統中的隨機性1.1 隨機結構動力學的研究對象我們知道有這樣一類載荷:作用在樓房和橋梁上的風載荷;作用在海洋平臺和船艦上的水動力荷載;作用在樓房和壩體上的地震荷載. 這類荷載的特點是隨時間在強度和頻率含量有很大的變化.對于這類載荷中的一條記錄, 它是確定的, 用在以前的結構動力學的課程中知識我們可以求得數值觧.但是這樣的一個觧很少有實用價值, 原因是我們用的一

2、條記錄, 那是以前發生的, 將來發生的記錄是不會和過去的記錄一樣的.這樣,我們不能知道將來的精確的情況, 但還要估計一個大概可能的結果. 這就是隨機動力學要解決的問題. 如果結構本身的參數也存在不確定性, 這更是隨機結構動力學要解決的問題.我們把這類載荷稱為隨機過程, 我們知道這類載荷的輸入具有一定的統計特性, 即均值, 方差等等, 我們想知道輸出的統計特性.這就是隨機結構動力學要研究的對象, 顯然它不同于我們已經學過的結構動力學課程. 這門課程的先修課程為概率論, 隨機過程,和確定性振動理論.1.2 問題的分類按隨機性的來源分:一個是激勵過程的隨機性,這是隨機振動理論主要解決的問題; 一個是

3、振動系統的參數的隨機性,這是參數隨機振動理論.正問題和反問題:已知輸入和系統求輸出這是正問題,稱為響應確定問題; 已知輸入和輸出求系統的參數這是反問題,稱為系統識別問題,我們這門課程不涉及,有專門課程.非線性的來源分:一個是振蕩系統的力學參數的非線性, 對于地震工程來說,一般是指遲滯行為,這樣的系統常常顯示復雜的非線性現象,例如多吸引子,跳躍現象,分岔和混沌;3.(續上)另一個非線性來源于力函數機理,指輸入的非線性.4.最后,另一個分類準則是基于動力問題的力和響應的統計特性,例如高斯分布, 平穩性等等.第二章 隨機變量和隨機過程2.1 引論這一章的目的是介紹概率論的基本概念, 隨機變量的統計特

4、征和隨機過程. 這些知識和結構動力學知識在一起就可以了解以后的章節的內容. 這一章具體要掌握:1.什么是隨機變量和隨機向量?怎樣描述它們的統計特性?2. 作用在隨機變量和隨機向量的算子怎樣改變它的統計特性?3.哪些統計分布通常利用于描述物理現象?4.什么是隨機過程?它與隨機變量怎樣不同?5.平穩的,非平穩的和各態歷經的隨機過程的差別是什么?6.從設計者的角度來看,描述結構動力學涉及的隨機過程的必要的統計測量是什么?2.2 概率論的概念 在自然界或社會活動的許多方面存在著不確定性參數.它們都是一些可測的量(一場地每天最大的溫度,機場乘客數,某種股票交易指數,一指定場地期望出現的下一次嚴重地震的震

5、級)和不可測的量(下一次選舉的贏者,某一任務的后果). 對于這些不確定性參數的可能取值(或可能后果)需要用概率來描述. 我們把某一不確定性參數說成一個事件, 這個事件的一個可能后果為 , 所有可能后果組成一個集合 ,把它稱為樣本空間; 樣本空間的每個元素稱為樣本點. 現在我們對某個事件做試驗,試驗次數是一個大數 , 那么可能的樣本點 出現的次數為 那么有 為樣本空間的樣本點數每一個可能后果出現的相對頻率為很清楚有 和 概率 在相對頻率中 趨于無窮大時, 那么某一后果 出現的概率為Bernoulli大數定理可以證明上面的式子, 即有2.3 隨機變量 定義隨機變量 是一個函數, 是樣本空間到實數域

6、的映射. 這樣就可以用代數來運算概率.樣本空間實數域映射我們用大寫字母來表示隨機變量, 用相應的小寫字母表示它的一個實現, 并且為了簡單隨機變量 寫成 . 隨機變量分為離散的和連續的.2.3.1 隨機變量的概率分布 在概率意義上如何完整描述一個隨機變量? 它依賴于確定控制樣本空間中每一樣本點實現的相對頻率的概率分布.對于離散隨機變量的概率分布一般是根據概率函數來表示. 而連續隨機變量是利用概率密度函數來表示. 這兩類隨機變量都可以用累積分布來表示. 定義累積分布(cumulative distribution) . 考慮事件 ,這個可能事件是對應這個隨機變量X的許多值(或無窮多個值)成為現實,

7、 并且這個不等式實現的概率包括隨機變量X的這些值的每一個實現的概率. 因此我們定義累積分布為 這是x的單調增加函數, 具有 對于離散隨機變量, 假定實現值 , 那么相應的累積分布定義為 對于連續隨機變量, 定義累積分布 的導數為概率密度函數p(x)(the probability density function).即有2.3.2 隨機向量的概率分布 許多物理現象是被隨機向量所描述. 這個向量是由兩個或兩個以上的隨機變量所組成, 這些隨機變量在統計意義上可能是互相獨立,也可能是互相不獨立. 隨機向量的統計描述是這些隨機變量的聯合概率分布(the joint probability distri

8、bution). 假定有兩個隨機變量描述一個隨機事件. 定義聯合累積概率函數 為很清楚, 這個函數要滿足下面的邊界條件: 隨機向量 的聯合概率密度函數定義為 的偏導數:因此 邊緣一維概率函數(the marginal one-dimensional probability functions)可以從相應的聯合概率密度函數導出, 即 條件概率. 定義為在已知隨機變量 取一個值 的條件下,另一個隨機變量 取一個值 的概率. 條件概率密度函數為 上式要求 . 進一步當 , 那么 如果兩個隨機變量統計獨立,那么和 N維概率密度函數, 邊緣概率密度函數和條件概率密度函數分別為(mn):2.3.2.1數值

9、例子. 如果兩個隨機變量 的聯合概率密度函數為證明 是統計獨立的.因為所以 是統計獨立的.2.3.3 統計矩(Statistical Moment) 引言 實際上想要確定一個概率函數是很困難的, 甚至是不可能的, 有時也不是絕對需要的. 例如, 混凝土的強度的實驗估計幾乎不可能確定支配樣本強度值的精確概率法則. 通常實驗室試驗的目的是估計平均強度值和偏離這個平均強度值的程度. 從設計的觀點看, 確定某些統計參數-所謂統計矩-是足夠的,因為這些參數包含了概率函數形狀和性質的重要信息. 平均(期望)值 mean (expected)value 為了定義統計矩, 我們需要介紹隨機變量 或隨機變量 的

10、函數 的平均(期望)值的概念, 它被定義為以下的一個線性操作.對于離散隨機變量 :對于連續隨機變量 : 如果 , 那么函數 的平均值被稱為n-階統計矩, 記為 . 最有用的統計矩是一階矩和二階矩, 分別稱為均值和均方值:如果 ,那么函數 的平均值被稱為n-階中心統計矩, 記為 . 最有用的中心統計矩是二階中心矩,被稱為方差 (variance) ,即方差和它的根 (標準差standard deviation)是測量隨機變量偏離均值的離散程度. 變異系數(coefficient of variation)定義為:它是無量綱測量隨機變量偏離均值的離散程度. 偏度系數(skewness)定義為:這個

11、無量綱系數提供概率密度函數形狀的對稱性信息. 概率密度函數 是對稱于平均值. 概率密度函數集中在左邊, 而 概率密度函數集中在右邊. 峰度系數(kurtosis)定義為:這個系數提供隨機變量的概率密度函數離開均值接近于零的速率. 值大表明分布的尾部厚度增加, 這樣在離平均值一定距離的極值實現的概率比較高.值得注意,了解 對于一個隨機變量的統計特性往往是足夠的, 并不要求概率密度函數的完整的描述. 把上面的關系推廣到 個隨機變量的情況, 函數 的平均值定義為 假定有兩個隨機變量 和 的均值分別為 和 , 那么定義兩個隨機變量的相關(corelation) 和協方差(covarince) 定義兩個

12、隨機變量的無量綱的相關系數可以證明 如果兩個隨機變量的均值為零,那么 如果 , 那么兩個隨機變量 的被稱為不相關. 如果 那么兩個隨機變量 被稱為統計獨立, 因此有2.3.3.1 數值例子 求證證明:2.3.3.2 數值例子 求證 證明:2.3.3.3 數值例子 求證兩個隨機變量 的相關系數 的范圍為證明: 假定這兩個隨機變量 的均值分別為 , 那么我們定義兩個新隨機變量 對于任何實數 , 兩個隨機變量取任意值,不等式 都成立. 因此有 要使上面的右邊的不等式,即關于 的一元二次方程的不等式,成立, 那么它的判別式一定要小于等于零. 即有我們來進一步證明上面推理成立, 上面左式得到即得到上面右

13、式2.3.4 特征函數 特征函數定義為特征函數或矩生成函數可以用來確定統計矩的另外一種方法. 對特征函數做泰勒級數在 處的展開:其中:所以, 對特征函數的對數也做泰勒級數在 處的展開:所以:其中:系數 被稱為半不變量或累積量(semi-invariants),它與統計矩有關, 即無量綱系數 可以用半不變量來表示: 上面的關系也可以推廣到n個變量的情況. 這里給出前三個聯合半不變量, 定義如下:2.3.5 車比雪夫不等式 (Chebyshevs Inequality) 引入車比雪夫不等式的目的. 在結構分析和設計中,目的是估計應力或應變響應超過某一極限的概率. 為了完成這個目的, 我們需要確定感

14、興趣的隨機響應量的分布. 如果這樣的確定不能達到, 人們就要利用近似技術來計算它們超過某一極限的概率. 這個技術是基于車比雪夫不等式并考慮均值 和標準 差 . 車比雪夫不等式為來證明這個不等式:(a)根據定義有(b)另外有(c) 考慮到積分極限有所以:比較(a)和( c)車比雪夫不等式得到證明.結構隨機振動022.4 隨機變量的變換 問題的提出 感興趣的工程中的許多量是隨機變量 的線性或非線性的變換 . 假定 定義為 的一一對應. 的任一值是一個隨機事件, 因為它聯系隨機變量 的一個指定值的實現. 問題是:已知 的累積分布 和概率密度函數 , 隨機變量 的累積分布 和概率密度函數 是什么? 條

15、件是隨機變量 是連續的, 函數 是單調增加(或減少)的,并且可微的, 我們得到 證明上式(a) 假定 是增函數, 那么對上式求導數得到概率密度函數:(b)如果 是遞減的, 那么對上式求導得到概率密度函數:(a)和(b)考慮在一起就證明了上面的問題: 如果 不是一一對應 假定隨機變量 的 個值 滿足方程 , 那么這個變換關系為 例題2.4.1 如果隨機變量 有零均值概率密度函數 , 我們來確定隨機變量 的概率密度函數. 我們知道隨機變量 的每一值 對應隨機變量 的兩個值那么有考慮對稱性 上式變為 一個隨機向量 的一一對應的n-維變量的映射 : 那么概率密度函數變換為其中 是雅克比(Jacobia

16、n)變換 如果 是 維,并且 , 這種情況可以把 擴充為 維,方法如下:利用邊緣概率密度函數的概念有如果 我們有 , 那么有2.5 一些有用的概率分布2.5.1 正態分布(或高斯分布)Normal (or Gaussian) Distribution 隨機變量 的正態分布標記為 ,概率密度函數為正態分布是關于平均值 對稱的,并且 . 另外半不變量 . 標準狀態分布為 正態隨機變量有些很有用的性質. 在工程應用中最重要有:如果 是正態隨機變量 的線性變換, 那么 也是正態分布的隨機變量.如果 , 那么 .也就是高階統計矩都可以用 和 來表示. 如果 是統計獨立的隨機變量,并且有有限均值和標準差,

17、 那么隨機變量 當 時它的分布趨于正態分布. 這個性質就是中心極限定理. 任何具有均值 方差 的非正態隨機變量的概率密度函數可以近似用標準正態分布 ,高階半不變量 和Hermite多項式 來表示. 令 , 這個非正態隨機變量的概率密度函數表示為其中 n-維正態分布隨機向量 的概率密度函數為其中:稱為協方差矩陣 正態隨機向量 的一個極其有用的性質是:其中例題2.5.1.1 如果隨機變量 ,相關系數為 求證我們取有證畢.2.5.2 瑞利, 韋布爾,泊松,平均分布 瑞利(Rayleigh)分布:在研究隨機振動的振幅值, 以及在噪聲理論中很有用. 韋布爾(Weibull)分布:許多產品的壽命(如軸承的

18、疲勞壽命)服從這個分布. 泊松(Poisson)分布, 它是離散型隨機變量的一種重要分布,它的概率分布為:其中 . 泊松分布的均值和方差都等于 . 平均分布(uniform distribution):一般隨機初相角被認為是在 區間內是平均分布的.課堂練習:1. 如果 和 是兩個統計獨立的, 概率分布分別為 的隨機變量, 確定隨機變量 的概率密度函數.2. 確定隨機變量 的概率密度函數, 假定3. 如果兩個隨機變量 和 都服從標準正態分布N(0,1),相關系數為 , 求 . 可以利用例題2.5.1.1的結果.2.6 隨機過程(Stochastic Process) 什么是隨機過程? 我們回憶一

19、下隨機變量的定義.它是概率空間到實數域的一個映射, 即 , 簡寫為 . 如果概率空間的每一元素被映射為與時間有關的一條隨機變化的記錄, 即 ,簡寫為 , 這被稱為隨機過程. 這實際上隨機過程是這些隨時間變化的記錄的集合. 那么如何描述一個隨機過程?每給一個時刻 , 那么每一條記錄在這一時刻對應的值,構成一個隨機變量 . 如果在 個時刻 , 那么有 個這樣的隨機變量 即 , 簡寫為 所以隨機過程也可以定義為一組隨機變量的集合. 就可以用描述隨機向量的方法來描述這個隨機過程. 完整地描述一個隨機過程需要確定 階的聯合概率密度函數.即2.7 非平穩, 平穩和各態歷經隨機過程這一節來處理隨機過程的兩個

20、基本性質. 第一是關于指定時刻 的隨機變量 的統計特性的依賴性; 第二是關于前面通過集合分析得到的統計特性是否可以通過對每一條記錄的統計特性分析來代替. 非平穩和平穩(Non-stationary and stationary)隨機過程如果指定時刻有一個延遲 時間 , 下面的關系成立, 那么這個隨機過程就是平穩隨機過程.不滿足這個關系就是非平穩隨機過程. 強地面運動就是屬于非平穩隨機過程. 各態歷經隨機過程(Ergodic Stochastic Processes) 平穩隨機過程依賴于時間的統計特性是通過樣本空間的不同實現的“豎向”分析得到的, 如果它們和任意一條記錄(實現)的“橫向”分析的統

21、計特性一致, 那么這個平穩隨機過程被稱為各態歷經的隨機過程. 平穩和各態歷經隨機過程的關系. 一個各態歷經的隨機過程一定是平穩的; 而平穩的隨機過程不一定是各態歷經的. 弱平穩和弱各態歷經上面的隨機過程的數學分類是很嚴格的. 要求 階的聯合概率密度函數是很少能做到. 一般就要放松這個定義,只需平均值和相關函數保持平穩就可以. 這樣就有所謂弱平穩隨機過程, 也稱為廣義平穩隨機過程. 如果那么這個弱平穩隨機過程是弱各態歷經的.2.7.1 數值例子證明隨機過程 是平穩和各態歷經的隨機過程.其中 是正常數, 而 在區間 中均勻分布.(a) 垂直分析:(b)橫向分析:證畢.2.8 平穩-各態歷經隨機過程

22、的統計描述 各態歷經過程是被假定的, 沒有經過數學證明. 在各態歷經的假定下, 一條記錄分析得到的統計特性可以被認為是整個隨機過程的特性. 讓我們假定一個各態歷經隨機過程 有一條足夠長的總持時為 秒記錄 . 一個隨機過程 的第一水準分析包括均值,方差,和變異,偏度和峰度等無量綱系數. 這些統計特性的計算足夠近似估計隨機過程 包括一階統計描述的分布. 很自然, 第一水準統計描述是有限的,并且是不夠的. 它沒有關于這個隨機過程的相鄰值的相關和依賴程度的信息. 兩個具有相同一階統計特性的隨機過程可以顯示不同的形狀(如圖2-7).這個差別不是局限于時域變化, 它是反映這兩個記錄的頻率含量.前者有比較寬

23、的頻率含量, 后者有比較窄的頻率含量. 上面的例子說明需要了解關于隨機過程的時間進程和頻率含量. 也就是需要引入統計分析的二階或高階項.2.8.1 自相關函數(Autocorrelation Function) 一個平穩/各態歷經的隨機過程 的時間進程的一個非常有用的統計特性被表示為自相關函數 , 它揭示了隨機過程的不同的兩個時刻 的值 的相關程度. 是時間延遲 .自相關函數定義為: 自協方差函數(Cross-correlation Function)定義為: 自相關函數的性質 互相關函數,互協方差函數與其性質1.互相關函數:2.互協方差函數3.主要特性a)不是偶函數,但有b)極大值不在 處,

24、 但有2.8.2 功率譜密度函數(Power Spectrum Density Function) 隨機過程的二階統計信息是在時間域中求得的, 在頻率域中也有相應的表示,即功率譜密度函數. 對于 平穩隨機過程的功率譜密度函數它是和這個平穩隨機過程的相關函數形成Fourier變換對. 功率譜密度函數是偶函數,即 在負頻率處的功率譜值沒有直觀的物理意義,在工程應用中,往往引入單邊功率譜密度函數 功率譜密度函數下的面積等于均方值,即 互功率譜密度函數定義為主要性質:(1)它們一般不是實數;(2)它們一般不是偶函數, 但滿足下面關系(3)它們的模滿足下面關系注意:互譜沒有明顯的物理意義, 但隨機振動計

25、算涉及它們.2.9平穩-各態歷經隨機過程的線性變換 微分操作 這個式子說明一個隨機過程和它的時間導數是不相關的. 卷積積分 其中 是 的Fourier變換, 星號 表示共軛函數. 例題 白噪聲過程 在頻率域 范圍, 其自功率譜為一常數 , 研究其自相關函數.解先研究限帶白噪聲:討論:其中 是Dirac函數, 它有如下的性質:自相關函數見圖自相關函數是一直線結構隨機振動032.10 正態-高斯隨機過程 我們已經知道隨機過程的完整的統計描述是要求確定它的n-階概率密度函數, 并且這也是不現實的. 對于大多數情況,一般僅限于了解隨機過程的一階概率密度函數(常常只通過了解某種統計矩)和二階功率譜密度函

26、數(或是自相關函數). 但是這些有限的信息是不可能唯一確定一個隨機過程, 因為有許多具有這樣的統計信息, 但它們有明顯不的性質. 盡管這樣, 對于我們經常遇到的正態平穩/各態歷經的隨機過程, 知道功率譜密度函數(或相關函數)就足夠描述這個隨機過程的完整統計特性. 因為高階的統計信息可以從二階統計信息來構成.我們在前面已經接觸過. 上面提及的正態平穩隨機過程性質, 再加上這種隨機過程的線性變換的正態性的保持, 使得它的功率譜密度函數和相關函數在線性隨機振動中有很大用處.2.11 窄帶隨機過程的包絡和極值 什么是窄帶隨機過程? 對于功率譜密度函數的最簡單的模型是所謂帶限噪聲如圖所示.(1)當 它是

27、簡諧(單色)隨機過程;(2)當 它是白噪聲隨機過程.窄帶隨機為什么研究過程?對于一個振蕩系統,它相當于一個濾波器, 它的輸出一般是比輸入的帶寬要窄. 這個窄帶輸出的較高階的統計特性是很重要的,因為它超過極值的概率涉及結構的倒塌;它超越某一中間界限的次數涉及結構的疲勞損傷. 窄帶隨機過程的極值的研究.一般對于對于一個隨機過程的極值的研究是相當復雜的, 因為在指定時間間隔內某一幅值的極值出現的概率要涉及高階聯合統計特性.但是對于一個窄帶隨機過程這種分析要簡單得多.我們假定一個窄帶隨機過程 , 它具有隨機幅值 (它相當于 的包絡),循環頻率 (相應于 的中心頻率)和隨機相角 ,設為假定這個窄帶隨機過

28、程 是正態分布的,上面提及的參數可以確定如下:期望中心頻率 是包絡 是隨機相角 的概率假定為在 是均勻分布考慮到 和它的導數 是正態平穩/各態歷經的隨機過程, 那么包絡過程 的概率密度函數 是瑞利分布(Rayleigh distribution). 隨機過程的交差問題 如果隨機過程 表示一個振蕩器的響應, 那么上面提及的包絡過程的統計特性提供了一個期望交差率(單位時間交差次數的期望值)的估計手段和響應界限 之間的時間的估計手段. 正交差率(即從下面向上穿過界限 的次數 )的期望值 是對于正態隨機過程, 這個量等于從上面公式可以得到一個正態窄帶隨機過程0界限( )的交差率為它可以用來估計振動的平

29、均頻率, 進而估計在給定時間內的振動的平均循環數.第三章 單自由度系統對隨機輸入的響應3.1 引言 這一章的目的:(1)介紹一些基本動力性質, 包括SDOF系統的單位脈沖響應和復頻率響應函數;響應的相關函數和功率譜密度函數;在時間域和在頻率域響應都等于結構性質乘以荷載. (2)詳細介紹荷載為正態分布的白噪聲的解. (3)SDOF系統的動力響應的極值的統計分析.3.2 問題的描述圖示SDOF系統是地震動,假定是各態歷經的平穩隨機過程的一個實現.是對 的一個響應.我們希望這個響應不要超過某一極限值 ,否則結構要倒塌.這里必須在統計意義上來研究.即要研究:其中 是y的概率密度函數, 是倒塌的概率.

30、是概率密度函數,是所有可能的實現 的概率描述. 那么我們怎樣來得到它, 本質上說是這一章的任務.3.3 SDOF系統圖示系統的運動方程為為了方便兩邊除以M,得到3.3.1 時間域求解注意: (1)上面積分在 為零,因為此時荷載 為零.(2)對初始條件即初位移和初速度的響應沒有包括,因為這部分隨時間推移會衰減掉的.(3) 是脈沖響應函數(脈響函數).因為我們輸入一個脈沖得到的響應就是它 .3.3.2 頻率域求解我們對運動方程 作Fourier變換得到解為其中 為復頻率響應函數等于注意: (1) 是 的FT.(2) 時間域的單位脈沖函數的卷積積分被頻率域的簡單乘法所替代.(3) 復頻率響應函數說復

31、數可以寫成3.4 SDOF系統的隨機響應3.4.1正態分布的假定 假定響應 是正態分布的, 那么就需要計算兩個統計量當 的極限. 通常對于處于彈性,并且在初始平衡位置的SDOF系統 . 如何計算 ?如果利用上面的式子, 它需要很長的持時,理論上是無窮長.所以我們可以用別的方法.下面先介紹Parseval定理.3.4.2 Parseval定理Parseval定理為: 如果 是兩個各態歷經的過程,它們相應的Fourier變換為 ,那么令 , 上面關系變為最后我們得到: 在上面式子中定義為功率譜密度函數.可以證明這個定義和我們前面定義的相關函數的Fourier變換為功率譜密度函數是一致的.最后我們得

32、到物理意義:3.5 頻率域解 3.5.1 功率譜密度函數 我們知道兩邊作Fourier變換有所以這和前面得到的式子一樣. 上面式子兩邊乘以它們的共軛再除以T,并令 得到有 這樣得到用上面公式可以計算 ,另外 , 這樣就可以利用Chebychev不等式或者正態分布函數來計算超過預定位移限值的概率.3.5.2 自相關函數 各態歷經型的隨機過程,例如荷載函數 ,它的自相關函數定義為兩邊作Fourier變換得到再作Fourier逆變換得到 上式如果 , 我們得到3.5.3 舉例3.5.3.1例題13.5.3.2例題23.6 在隨機荷載下的單層框架結構的設計通過兩個例題來說明.3.6.1.1例題13.6

33、.1.2例題23.7 隨機動力響應的極值3.7.1 顯著頻率 如果響應 是正態分布,具有 的psdf, 那么在單位時間 內穿過 的平均交差數 為上面式子中的兩個積分可以利用殘數方法去做, 在特殊情況下可以簡化.(1)是小阻尼,(2)隨機荷載譜接近常數 有這樣得到形狀頻率為 在單位時間 內穿過非零界限 的平均交差數為其中 的方差 為3.7.2 響應的包絡函數 的瑞利分布函數如果sdof系統有小阻尼, 并且隨機荷載有較寬的頻帶 即 ,那么響應可以寫為其中位移幅值的包絡 , 相角在 平均分布.我們假定隨機變量 和 的聯合分布概率密度函數為這兩個變量是獨立的所以有這是瑞利分布. 相角的概率密度函數為3

34、.7.3 舉例基于上面分析,包絡函數 超過指定值 的概率為這兩個隨機量的平均值為:結構隨機振動04第四章 多自由度系統對隨機輸入的響應4.2 Mdof系統隨機動力分析原則 線性系統的運動方程 這里阻尼是相對簡單的類型被稱為Rayleigh阻尼,阻尼矩陣可以是質量矩陣和剛度矩陣的線性組合: 線性mdof系統的分析可以有四種方法:物理坐標廣義坐標時間域頻率域12344.2.1 時間域分析(物理坐標下). 運動方程的解為其中 是 的脈沖響應矩陣. 其中元素 表示: 在第 個物理坐標上作用一個單位脈沖, 在第 個物理坐標上的響應. 如果荷載向量 是正態分布的, 那么正態響應 的統計描述由均值向量 和相

35、關矩陣 (或協方差矩陣 )完成確定.a) 均值向量為后面的等式成立是對于平穩過程而言, 它具有與時間無關的均值向量.b)假定是零均值,平穩正態的激勵向量, 那么有均方值矩陣為4.2.2頻率域分析 (物理坐標) 對運動方程兩邊做Fourier變換可以得到:其中稱為頻率響應矩陣在前一節有:兩邊做Fourier變換得到比較頻率域的有互成Fourier變換對.頻率響應矩陣的元素 是第k個坐標有一個單位簡諧激振 , 在第j個坐標響應幅值.即 均值向量可以寫為參考本頁第一式 對時間域的相關矩陣的公式做Fourier變換,可以得到 均方響應矩陣4.2.3 時間域分析(廣義坐標) 將mdof系統解偶,成n個獨

36、立方程.坐標變換從物理坐標到廣義坐標,坐標變換矩陣為振型矩陣 . 設 為廣義坐標.代入運動方程,然后用 前乘方程兩邊得:考慮到振型矩陣對質量矩陣和剛度矩陣的正交性, 又假定阻尼矩陣有 ,所以上面方程就可以解偶成:其中 是廣義力向量 中的第j個分量.展開寫為 解偶的方程的解為其中 最后得到mdof運動方程的解為比較時間域(物理坐標)的解得到 均值向量和相關矩陣為4.2.4 頻率域分析(廣義坐標) 上一節得到的解耦運動方程為兩邊做Fourier變換得到:其中 是解耦的第j個運動方程的頻響函數,即這樣把n個解偶方程的頻率域的解寫在一起得到其中 稱為頻率域廣義坐標下的頻響矩陣,它是一個對角矩陣. 頻率

37、域物理坐標下的頻響矩陣與上面的頻響矩陣的關系為:它是 兩邊做Fourier 變換得到的. 下面我們在廣義坐標下表示響應的功率譜密度函數.我們曾經得到物理坐標的響應的功率譜密度函數為我們把 代入上式得到:我們知道廣義力向量為 那么它的相關矩陣為即兩邊做Fourier變換得到于是得到第j個物理坐標的響應的psdf為:這個式子可以把各個模態的獨立貢獻和耦合影響分開,即令那么對第j個物理坐標的響應的psdf積分得到響應 的方差4.2.5 例題 假定廣義力向量 的psdf矩陣 對所有頻率都是常數(白噪聲假定),即計算系數根據公式那么積分得到上面積分利用了Elishakoff1983年的結果.4.3 兩個

38、自由度系統在白噪聲激勵下的響應分析 圖示系統,運動方程為其中可以求出系統的兩個頻率和振型相應的兩個模態阻尼比為 激勵被假定正態平穩的白噪聲僅作用在第一個質量上,荷載過程的psdh矩陣為: 在頻率域的物理坐標下求解, 首先要求出頻響矩陣在第一坐標作用 , 響應 代入運動方程得到 求解上面方程得到 見書上的公式. 同理可以得到4.3.1.1 例題 上面的運動方程計算響應的方差.a)按照方程 , 我們有所以得到系統響應的psdf:b) 第一坐標響應方差為其中 , 同樣可以計算第二坐標響應方差 討論4.3.2頻率域廣義坐標下的解 將運動方程其中做如下的坐標變換得到這里 那么 廣義力的psdf矩陣 輸出

39、psdf矩陣其中所以 響應的方差, 上面在頻率域內積分得到 分析上面的式子. 前兩項是兩個模態的單獨貢獻, 第三項是模態相關的貢獻. 如果令 是第三項與前兩項和的比值, 并令那么 上式表明, 如果兩個頻率相差很大, 那么 ,說明模態相關貢獻可以忽略.如果不是這樣,不考慮模態相關貢獻誤差比較大. 圖4-3說明 小, 那么兩個頻率接近, 誤差大, 當 兩個頻率相差大,可以不考慮模態相關貢獻.4.4 荷載分量的互相關的作用 上一節我們考慮只有一個力的作用, 如果兩個質量都有力的作用,那么會有什么不同.我們舉例來說明.4.4.1 例題 上圖中,兩個自由度系統遭遇基底加速度 的作用,假定它是平穩白噪聲,

40、具有功率譜密度為 .它的運動方程為阻尼取Rayleigh型 , 我們有頻率和振型: 從物理坐標到廣義坐標的變換得到 廣義力的功率譜密度矩陣,因為所以即 計算響應方差其中利用前面得到的公式得到結構隨機振動05補充:結構平穩隨機響應的虛擬激勵法一. 結構受單點平穩激勵假定外部激勵是一個平穩隨機過程(通常還假定是服從正態分布的), 則一般給出它的自功率譜函數 (對于多點激勵問題則給出激勵功率譜矩陣 ).結構分析的主要計算量用于計算重要的位移,內力等響應量的功率譜密度. 然后計算出相應的譜矩(特別是方差,二階矩). 根據這些功率譜和譜矩, 就可以計算各種直接應用于工程設計的統計量, 例如導致結構首次超

41、越破壞的概率或疲勞壽命, 評價汽車行駛平順性的指標等. 顯然,改進結構響應功率譜密度的計算方法, 使其計算方便,高效,精確, 對于推進隨機振動成果的實用性具有重要意義. 虛擬激勵法就是為此目的而發展起來的假定方法. 下面先按單激勵問題來闡述其基本原理.1.基本原理我們知道輸入功率譜和輸出功率譜的關系是其中 是頻率響應函數, 它的物理意義是單位簡諧輸入時系統響應的幅值,即現在我們構造一個虛擬激勵 , 即在上面的輸入前乘以輸入的功率譜的開方 ,它對于時間來說是常數,這樣有虛擬響應量 . 如圖所示這樣有如果上述系統中有兩個虛擬響應量即那么有利用以上式子可得關于功率譜矩陣的算式上述虛擬激勵法用起來很方

42、便, 只要是線性系統,就能用.這是因為虛擬簡諧因子 與它的共軛 總是成對出現,最終相乘而抵消;這反映了平穩問題的自譜互譜非時變性.例1 用虛擬激勵法計算平穩隨機過程各階導數的自譜及其相互之間的互譜. 設平穩隨機過程 的自譜密度 為已知.構造虛擬激勵其各階導數為所以利用以上簡單計算,可以避免許多記憶的麻煩.例2 用虛擬激勵法推導Kanai-Tajimi過濾白噪聲表達式.設基巖的水平加速度 為平穩隨機過程,其自譜為白譜 . 地面運動方程為即其中構造虛擬基巖水平加速度代入運動方程得到虛擬地面絕對加速度為于是由虛擬激勵法推導出地面加速度的自功率譜表達式為這正是Kanai-Tajimi過濾白譜公式.2.

43、 對復雜結構的降階處理對于自由度很高的結構, 可以采用振型疊加法實現方程的降階, 以進一步提高計算效率. 通過下面例題說明.例3 求解結構受均勻一致平穩隨機激勵的響應. 設地面水平運動加速度為一零均值平穩隨機過程, 其功率譜密度為 已知.離散結構受地面激勵的運動方程為坐標變換到模態坐標即構造虛擬地面加速度激勵假定阻尼矩陣為比例阻尼矩陣,這樣運動方程可以解耦為:其中 為振型參與系數. 上面方程的解為其中因此這樣我們就得到響應功率譜矩陣:這個結果和常規算法結果一樣, 但計算效率有很大提高.3. 對非正交阻尼矩陣的處理當結構不具備正交阻尼性質時, 用虛擬激勵法仍可以基于以上實振型而求出 的閉合解.

44、事實上, 這時 雖然不是對角陣, 但由于荷載是簡諧的, 所以仍可以求得 的閉合解.為此令把它代入下面方程可以得到其中這樣由上面方程求得 和 ,也就是得到 , 然后虛擬激勵法得到 .例4 某雙跨結構的剛度,質量,阻尼的分布如圖. 設地面運動加速度的功率譜密度為 , 不考慮各柱跟間地面運動的相位差.計算結構位移向量的功率譜密度矩陣 和三根柱剪力的自功率譜密度向量構造虛擬激勵則該結構的運動方程為它的解可從下式得到可以求得其中三根柱虛擬剪力為所以所以二, 結構受多點完全相干平穩激勵火車軌道存在不平度. 火車在軌道上運行時,在同一條軌道上的任意兩車輪可以認為受到輪軌相同的隨機激勵, 但其間存在某一時間差

45、.大跨度橋梁的抗震分析一直是工程界極為關心的問題, 現在已經普遍認為對這類結構考慮不同地面節點的運動相位差(即所謂行波效應)是很重要的;導管架海洋平臺各個支腿受到的隨機力之間也必須考慮相位差. 對于這類問題,按傳統的隨機振動方法計算時工作量極大,稱為隨機振動工程應用的一大障礙.其實上述問題皆可視為廣義的單激勵問題,略微推廣前節虛擬激勵法即可簡單地解決.設n自由度的彈性結構受多點(m點)異相位平穩隨機激勵設 的自譜密度為 已知, 效應的虛擬激勵為顯然,與 相應的虛擬激勵為 ;而與前面的虛擬激勵為在此虛擬激勵作用下結構的運動方程為其中 為 常量矩陣,表征外力分布情況.當 很大時先用振型疊加法降階.

46、先求出q個特征向量 和特征值它們滿足正交規一條件:方程降階為其中我們可以利用前面的方法來求解,不管阻尼矩陣是否正交.可以求得各種相應量的自譜和互譜.三, 結構多點部分相干平穩激勵汽車運行時, 其各車輪所受的路面隨機激勵之間通常并非如上節所述的是完全相干, 又非彼此完全不相干, 而是部分相干. 大跨度橋在地震荷載作用下,除了必須考慮不同地面節點的運動相位差(行波效應)外,還應考慮地震波并非嚴格出自一點, 以及因土壤介質不均勻而造成各點激勵之間相干性的損失;陣風作用于建筑物上時,同一迎風面的不同點處所受的隨機陣風荷載之間也是有部分相干性的. 處理這類問題比上節處理完全相干問題更為困難. 用上節的虛

47、擬激勵方法為基礎,再前進一步也就可以解決現在的問題.設n個自由度的線性結構受多點(m點)部分相干平穩隨機激勵作用 , 其功率譜矩陣 已知. 它一般不能分解為前面的兩個向量相乘的形式(2.2.10). 但由于功率譜矩陣必定是一厄密特矩陣,所以它可以被表達成下式我們對每一階特征對構造下列虛擬激勵就可以將 表達為以下形式這種情況的虛擬激勵與上節的虛擬激勵有一樣的形式, 其虛擬響應按上節的方法計算,首先得到不能證明:還可以求其它譜矩陣. 設虛擬激勵還可以有其它方法.結構隨機振動06第五章(部分)線性系統對非平穩激勵的響應1. 分析的基本原則 假定 是具有零均值和單位方差的各態歷經的正態隨機過程 的一個

48、實現, 并且把它做一個下面的代數變換 上面的非正態荷載激勵一個單位質量,固有頻率 和阻尼比 的線性系統得到下面的平衡方程 沒有精確的方法來確定非正態響應的概率分布, 我們可以計算它們的前四階矩, 或相應的無量綱參數 ,然后通過(2.46)公式來近似估計響應的分布.(a)均值 ;考慮到正態分布 隨機變量有下面的性質(見2.5.1)我們得到所以(b) 方差計算響應的方差需要計算激勵的相關 我們就可以得到激勵的相關為(c) 偏度系數其中 是三階自相關函數可以參照前面的方法求得這樣我們可以得到(d) 峰度系數其中 是四階自相關函數上面的結果也可以用二階自相關函數 來表示.我們也可以得到我們需要利用數值

49、計算來求解 , 最后得到峰度系數: 從上面分析可以看出,響應的分布計算是相當復雜的.下面介紹一種比較有效的方法.2. 可分性方法(Separability Method) 這個方法在計算響應參數( )時, 避免計算高階自相關函數, 用下面方法來代替:其中 很明顯, 上面的計算要比計算高階自相關函數簡單. 對于正態分布 . 動力響應有一個正態化影響, 也就是 偽靜力響應和激勵的非正態分布相同例題 運動方程為計算響應的參數 . 假定 利用前面的式子可以得到激勵的參數 前面公式 得到把它代入得到 這樣響應的參數變為我們知道脈沖響應函數為其中最后得到可以看出當阻尼減小,動力放大稱為主要,但響應參數 接近于3,正態分布的峰度系數.3. 混合分布現在我們來估計響應的概率分布. 剛才我們分析知道,當阻尼很小時響應接近正態分布, 當忽略動力時響應接近激勵的分布.于是我們可以認為在一般情況下響應的分布在它們之間.我們令, 那么響應的概率分布為 這里 是在0,1區間內. 那么如何來確定這個值呢?1) 首先用前面的方法計算2) 然后用我們假定的響應概率分布來計算響應參數得到3) 使下面均方誤差最小得到 .數值例子，還是上面的例題，計算響應的概率密度函數。 利用書上（5.3）和（5.6）公式，以及可分性方法來計算概率的幾個參數。