1、20XX年高考數學試題分類匯編（導數）（福建理11文）已知對任意實數，有，且時，則時（ B ）ABCD（海南理10）曲線在點處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（ D ）（海南文10）曲線在點處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（ D ）（江蘇9）已知二次函數的導數為，對于任意實數都有，則的最小值為（ C ）A B C D（江西理9）12設在內單調遞增，則是的（B）充分不必要條件必要不充分條件充分必要條件既不充分也不必要條件（江西理5）5若，則下列命題中正確的是（D）（江西文8）若，則下列命題正確的是（ B ）（遼寧理12）已知與是定義在上的連續函數，如果與僅當時的函數值為0，且，那么下列情形不可

2、能出現的是（ ）A0是的極大值，也是的極大值B0是的極小值，也是的極小值C0是的極大值，但不是的極值D0是的極小值，但不是的極值（全國一文11）曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為（ A ）（全國二文8）已知曲線的一條切線的斜率為，則切點的橫坐標為（ A ）A1B2C3D4（浙江理8）設是函數的導函數，將和的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是（ D ） (北京文9)是的導函數，則的值是3（廣東文12）函數的單調遞增區間是（江蘇13）已知函數在區間上的最大值與最小值分別為，則32（湖北文13）已知函數的圖象在點處的切線方程是，則3（湖南理13）函數在區間上的最小值是（浙江文15）曲

3、線在點處的切線方程是（安徽理 18）設a0，f (x)=x1ln2 x2a ln x（x0）.（）令F（x）xf（x），討論F（x）在（0.）內的單調性并求極值；（）求證：當x1時，恒有xln2x2a ln x1.本小題主要考查函數導數的概念與計算，利用導數研究函數的單調性、極值和證明不等式的方法，考查綜合運用有關知識解決問題的能力本小題滿分14分（）解：根據求導法則有，故，于是，列表如下：20極小值故知在內是減函數，在內是增函數，所以，在處取得極小值（）證明：由知，的極小值于是由上表知，對一切，恒有從而當時，恒有，故在內單調增加所以當時，即故當時，恒有(安徽文 20)設函數f（x）=-cos

4、2x-4tsincos+4t2+t2-3t+4,xR,其中1，將f(x)的最小值記為g(t).()求g(t)的表達式；()詩論g(t)在區間（-1,1）內的單調性并求極值.本小題主要考查同角三角函數的基本關系，倍角的正弦公式，正弦函數的值域，多項式函數的導數，函數的單調性，考查應用導數分析解決多項式函數的單調區間，極值與最值等問題的綜合能力解：（ = 1 * ROMAN I）我們有 由于，故當時，達到其最小值，即 （ = 2 * ROMAN II）我們有列表如下：極大值極小值由此可見，在區間和單調增加，在區間單調減小，極小值為，極大值為（北京理 19）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為，短半

5、軸長為，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓上，記，梯形面積為（ = 1 * ROMAN I）求面積以為自變量的函數式，并寫出其定義域；（ = 2 * ROMAN II）求面積的最大值解：（ = 1 * ROMAN I）依題意，以的中點為原點建立直角坐標系（如圖），則點的橫坐標為點的縱坐標滿足方程，解得，其定義域為（ = 2 * ROMAN II）記，則令，得因為當時，；當時，所以是的最大值因此，當時，也取得最大值，最大值為即梯形面積的最大值為（福建理 22）已知函數（）若，試確定函數的單調區間；（）若，且對于任意，恒成立，試確定實數的取值范圍；（）設函數，求

6、證：本小題主要考查函數的單調性、極值、導數、不等式等基本知識，考查運用導數研究函數性質的方法，考查分類討論、化歸以及數形結合等數學思想方法，考查分析問題、解決問題的能力滿分14分解：（）由得，所以由得，故的單調遞增區間是，由得，故的單調遞減區間是（）由可知是偶函數于是對任意成立等價于對任意成立由得當時，此時在上單調遞增故，符合題意當時，當變化時的變化情況如下表：單調遞減極小值單調遞增由此可得，在上，依題意，又綜合，得，實數的取值范圍是（）， 由此得，故（福建文 20）設函數（）求的最小值；（）若對恒成立，求實數的取值范圍本題主要考查函數的單調性、極值以及函數導數的應用，考查運用數學知識分析問題

7、解決問題的能力滿分12分解：（），當時，取最小值，即（）令，由得，（不合題意，舍去）當變化時，的變化情況如下表：遞增極大值遞減在內有最大值在內恒成立等價于在內恒成立，即等價于，所以的取值范圍為(廣東理、文 20)已知是實數，函數如果函數在區間上有零點，求的取值范圍解: 若 , ,顯然在上沒有零點, 所以 令 得 當 時, 恰有一個零點在上; 當 即 時, 也恰有一個零點在上;當 在上有兩個零點時, 則 或解得或因此的取值范圍是 或 ;（海南理 21）設函數（ = 1 * ROMAN I）若當時，取得極值，求的值，并討論的單調性；（ = 2 * ROMAN II）若存在極值，求的取值范圍，并證明

8、所有極值之和大于解：（），依題意有，故從而的定義域為，當時，；當時，；當時，從而，分別在區間單調增加，在區間單調減少（）的定義域為，方程的判別式（）若，即，在的定義域內，故的極值（）若，則或若，當時，當時，所以無極值若，也無極值（）若，即或，則有兩個不同的實根，當時，從而有的定義域內沒有零點，故無極值當時，在的定義域內有兩個不同的零點，由根值判別方法知在取得極值綜上，存在極值時，的取值范圍為的極值之和為（海南文 19）設函數（）討論的單調性；（）求在區間的最大值和最小值解：的定義域為（）當時，；當時，；當時，從而，分別在區間，單調增加，在區間單調減少（）由（）知在區間的最小值為又所以在區間的最

9、大值為（湖北理 20）已知定義在正實數集上的函數，其中設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同（I）用表示，并求的最大值；（II）求證：（）本小題主要考查函數、不等式和導數的應用等知識，考查綜合運用數學知識解決問題的能力解：（）設與在公共點處的切線相同，由題意，即由得：，或（舍去）即有令，則于是當，即時，；當，即時，故在為增函數，在為減函數，于是在的最大值為（）設，則故在為減函數，在為增函數，于是函數在上的最小值是故當時，有，即當時，（湖北文 19）設二次函數，方程的兩根和滿足（I）求實數的取值范圍；（II）試比較與的大小并說明理由本小題主要考查二次函數、二次方程的基本性質及二次不等式的解法，

10、考查推理和運算能力解法1：（）令，則由題意可得故所求實數的取值范圍是（II），令當時，單調增加，當時，即解法2：（I）同解法1（II），由（I）知，又于是，即，故解法3：（I）方程，由韋達定理得，于是故所求實數的取值范圍是（II）依題意可設，則由，得，故（湖南理 19）如圖4，某地為了開發旅游資源，欲修建一條連接風景點和居民區的公路，點所在的山坡面與山腳所在水平面所成的二面角為（），且，點到平面的距離（km）沿山腳原有一段筆直的公路可供利用從點到山腳修路的造價為萬元/km，原有公路改建費用為萬元/km當山坡上公路長度為km（）時，其造價為萬元已知，（I）在上求一點，使沿折線修建公路的總造價最小

11、；（II） 對于（I）中得到的點，在上求一點，使沿折線修建公路的總造價最?。↖II）在上是否存在兩個不同的點，使沿折線修建公路的總造價小于（II）中得到的最小總造價，證明你的結論AEDBHP解：（I）如圖，由三垂線定理逆定理知，所以是山坡與所成二面角的平面角，則，設，則記總造價為萬元，據題設有當，即時，總造價最?。↖I）設，總造價為萬元，根據題設有則，由，得當時，在內是減函數；當時，在內是增函數故當，即（km）時總造價最小，且最小總造價為萬元（III）解法一：不存在這樣的點，事實上，在上任取不同的兩點，為使總造價最小，顯然不能位于 與之間故可設位于與之間，且=，總造價為萬元，則類似于（I）、（

12、II）討論知，當且僅當，同時成立時，上述兩個不等式等號同時成立，此時，取得最小值，點分別與點重合，所以不存在這樣的點 ，使沿折線修建公路的總造價小于（II）中得到的最小總造價解法二：同解法一得當且僅當且，即同時成立時，取得最小值，以上同解法一（湖南文 21）已知函數在區間，內各有一個極值點（I）求的最大值；（II）當時，設函數在點處的切線為，若在點處穿過函數的圖象（即動點在點附近沿曲線運動，經過點時，從的一側進入另一側），求函數的表達式解：（I）因為函數在區間，內分別有一個極值點，所以在，內分別有一個實根，設兩實根為（），則，且于是，且當，即，時等號成立故的最大值是16（II）解法一：由知在點

13、處的切線的方程是，即，因為切線在點處空過的圖象，所以在兩邊附近的函數值異號，則不是的極值點而，且若，則和都是的極值點所以，即，又由，得，故解法二：同解法一得因為切線在點處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數值異號，于是存在（）當時，當時，；或當時，當時，設，則當時，當時，；或當時，當時，由知是的一個極值點，則，所以，又由，得，故（遼寧理 22）已知函數，（I）證明：當時，在上是增函數；（II）對于給定的閉區間，試說明存在實數，當時，在閉區間上是減函數；（III）證明：（遼寧文 22）已知函數，且對任意的實數均有，（I）求函數的解析式；（II）若對任意的，恒有，求的取值范圍（全國一 理20）設函數（

14、）證明：的導數；（）若對所有都有，求的取值范圍解：（）的導數由于，故（當且僅當時，等號成立）（）令，則，（）若，當時，故在上為增函數，所以，時，即（）若，方程的正根為，此時，若，則，故在該區間為減函數所以，時，即，與題設相矛盾綜上，滿足條件的的取值范圍是（全國一文 20）設函數在及時取得極值（）求a、b的值；（）若對于任意的，都有成立，求c的取值范圍解：（），因為函數在及取得極值，則有，即解得，（）由（）可知，當時，；當時，；當時，所以，當時，取得極大值，又，則當時，的最大值為因為對于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范圍為（全國二理 22）已知函數（1）求曲線在點處的切線方程；（2）

15、設，如果過點可作曲線的三條切線，證明：解：（1）求函數的導數；曲線在點處的切線方程為：，即（2）如果有一條切線過點，則存在，使于是，若過點可作曲線的三條切線，則方程有三個相異的實數根記，則 當變化時，變化情況如下表：000極大值極小值由的單調性，當極大值或極小值時，方程最多有一個實數根；當時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數根；當時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數根綜上，如果過可作曲線三條切線，即有三個相異的實數根，則即（全國二文 22）已知函數在處取得極大值，在處取得極小值，且（1）證明；（2）若z=a+2b,求z的取值范圍。解：求函數的導數（）由函數在處取得極大值，在處取得極小值，知

16、是的兩個根所以當時，為增函數，由，得（）在題設下，等價于即化簡得此不等式組表示的區域為平面上三條直線：所圍成的的內部，其三個頂點分別為：ba2124O在這三點的值依次為所以的取值范圍為（山東理 22）設函數，其中（）當時，判斷函數在定義域上的單調性；（）求函數的極值點；（）證明對任意的正整數，不等式都成立解：（）由題意知，的定義域為，設，其圖象的對稱軸為，當時，即在上恒成立，當時，當時，函數在定義域上單調遞增（）由（）得，當時，函數無極值點時，有兩個相同的解，時，時，時，函數在上無極值點當時，有兩個不同解，時，即，時，隨的變化情況如下表：極小值由此表可知：時，有惟一極小值點，當時，此時，隨的變

17、化情況如下表：極大值極小值由此表可知：時，有一個極大值和一個極小值點；綜上所述：時，有惟一最小值點；時，有一個極大值點和一個極小值點；時，無極值點（）當時，函數，令函數，則當時，所以函數在上單調遞增，又時，恒有，即恒成立故當時，有對任意正整數取，則有所以結論成立（山東文 21）設函數，其中證明：當時，函數沒有極值點；當時，函數有且只有一個極值點，并求出極值證明：因為，所以的定義域為當時，如果在上單調遞增；如果在上單調遞減所以當，函數沒有極值點當時，令，將（舍去），當時，隨的變化情況如下表：0極小值從上表可看出，函數有且只有一個極小值點，極小值為當時，隨的變化情況如下表：0極大值從上表可看出，函

18、數有且只有一個極大值點，極大值為綜上所述，當時，函數沒有極值點；當時，若時，函數有且只有一個極小值點，極小值為若時，函數有且只有一個極大值點，極大值為（陜西理 20）設函數f(x)=其中a為實數.()若f(x)的定義域為R,求a的取值范圍;()當f(x)的定義域為R時，求f(x)的單減區間.解：（）的定義域為，恒成立，即當時的定義域為（），令，得由，得或，又，時，由得；當時，；當時，由得，即當時，的單調減區間為；當時，的單調減區間為(陜西文21)已知在區間0,1上是增函數,在區間上是減函數,又()求的解析式;()若在區間(m0)上恒有x成立,求m的取值范圍.解：（），由已知，即解得，（）令，即

19、，或又在區間上恒成立，(上海理科19) 已知函數，常數 （1）討論函數的奇偶性，并說明理由； （2）若函數在上為增函數，求的取值范圍解：（1）當時， 對任意， 為偶函數 當時， 取，得 ， ， 函數既不是奇函數，也不是偶函數 （2）解法一：設， ， 要使函數在上為增函數，必須恒成立 ，即恒成立 又， 的取值范圍是 解法二：當時，顯然在為增函數 當時，反比例函數在為增函數，在為增函數 當時，同解法一 (上海文科19) 已知函數，常數 （1）當時，解不等式； （2）討論函數的奇偶性，并說明理由解： （1）， ， 原不等式的解為 （2）當時， 對任意， 為偶函數 當時， 取，得 ， ， 函數既不是奇

20、函數，也不是偶函數 (四川理 22)設函數.()當x=6時,求的展開式中二項式系數最大的項;()對任意的實數x,證明()是否存在,使得an恒成立?若存在,試證明你的結論并求出a的值;若不存在,請說明理由.本題考察函數、不等式、導數、二項式定理、組合數計算公式等內容和數學思想方法?？疾榫C合推理論證與分析解決問題的能力及創新意識。（）解：展開式中二項式系數最大的項是第4項，這項是（）證法一：因證法二：因而故只需對和進行比較。令，有由，得因為當時，單調遞減；當時，單調遞增，所以在處有極小值故當時，從而有，亦即故有恒成立。所以，原不等式成立。（）對，且有又因，故，從而有成立，即存在，使得恒成立。（四川

21、文20）設函數為奇函數，其圖象在點處的切線與直線垂直，導函數的最小值為（）求，的值；（）求函數的單調遞增區間，并求函數在上的最大值和最小值解析：本題考查函數的奇偶性、單調性、二次函數的最值、導數的應用等基礎知識，以及推理能力和運算能力（）為奇函數，即的最小值為又直線的斜率為因此，（），列表如下：極大極小所以函數的單調增區間是和，在上的最大值是，最小值是（天津理 20）已知函數，其中（）當時，求曲線在點處的切線方程；（）當時，求函數的單調區間與極值本小題考查導數的幾何意義，兩個函數的和、差、積、商的導數，利用導數研究函數的單調性和極值等基礎知識，考查運算能力及分類討論的思想方法滿分12分（）解：

22、當時，又，所以，曲線在點處的切線方程為，即（）解：由于，以下分兩種情況討論（1）當時，令，得到，當變化時，的變化情況如下表：00極小值極大值所以在區間，內為減函數，在區間內為增函數函數在處取得極小值，且，函數在處取得極大值，且（2）當時，令，得到，當變化時，的變化情況如下表：00極大值極小值所以在區間，內為增函數，在區間內為減函數函數在處取得極大值，且函數在處取得極小值，且（天津文 21）設函數（），其中（）當時，求曲線在點處的切線方程；（）當時，求函數的極大值和極小值；（）當時，證明存在，使得不等式對任意的恒成立本小題主要考查運用導數研究函數的性質、曲線的切線方程，函數的極值、解不等式等基礎

23、知識，考查綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法滿分14分（）解：當時，得，且，所以，曲線在點處的切線方程是，整理得（）解：令，解得或由于，以下分兩種情況討論（1）若，當變化時，的正負如下表：因此，函數在處取得極小值，且；函數在處取得極大值，且（2）若，當變化時，的正負如下表：因此，函數在處取得極小值，且；函數在處取得極大值，且（）證明：由，得，當時，由（）知，在上是減函數，要使，只要即設，則函數在上的最大值為要使式恒成立，必須，即或所以，在區間上存在，使得對任意的恒成立（浙江理 22）設，對任意實數，記（ = 1 * ROMAN I）求函數的單調區間；（ = 2 * ROMAN II）求證：（）當時，對任意正實數成立；（）有且僅有一個正實數，使得對任意正實數成立本題主要考查函數的基本性質，導數的應用及不等式的證明等基礎知識，以及綜合運用所學知識分析和解決問題的能力滿分15分（I）解：由，得因為當時，當時，當時，故所求函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是（II）證明：（i）方法一：令，則，當時，由，得，當時，