1、1第十二章 薄板彎曲概述第一節 基本假設 第二節 基本方程第三節 橫截面上的內力第四節 薄板的邊界條件第五節 薄板彎曲的直角坐標求解第六節 圓形薄板的軸對稱彎曲第七節 變分法求薄板的位移2薄板彎曲概述薄板區別于厚板。通常情況下，板的厚度t與板面的最小尺寸b的比值滿足如下條件。則稱為薄板。 將坐標原點取于中面內的一點，x 和y 軸在中面內，z 垂直軸向下，如圖所示。 我們把平分板厚度的平面稱為中面。3 當薄板受有一般載荷時，總可以把每一個載荷分解為兩個分量，一個是垂直于中面的橫向載荷，另一個是作用于中面之內的縱向載荷。對于縱向載荷，可認為它沿薄板厚度均勻分布，按平面應力問題進行計算。本章只討論由

2、于橫向載荷使薄板彎曲所引起的應力、應變和位移。薄板彎曲4第一節 基本假設 薄板小撓度彎曲問題，通常采用如下假設：（1）板厚不變假設即：在垂直于中面的任一條法線上，各點都具有相同的撓度。（2）中面法線保持不變假設 垂直于中面方向的正應變 很小，可以忽略不計。 即 ，由幾何方程得 ，從而有：薄板彎曲5 在變形前垂直于中面的直線，變形后仍為直線，并垂直于彎曲后的中面。即（3）板面為中性層假設即由幾何方程得（4）應力 對變形的影響很小，可以略去不計。亦即認為薄板彎曲6第二節 基本方程 按位移求解薄板彎曲問題。取薄板撓度 為基本未知量，把所有其它物理量都用 來表示。（1）幾何方程 在薄板的中面上取一微小

3、矩形ABCD如圖所示。它的邊長為dx和dy，載荷作用后，彎成曲面ABCD。設A點的撓度為 ，彈性曲面沿x和y方向的傾角分別為 和 ，則薄板彎曲7B點的撓度為D點的撓度為 由 和 可知或寫成對z進行積分，并利用 ，得于是應變分量用 表示為:薄板彎曲8 小變形下，由于撓度是微小的，彈性曲面在坐標方向的曲率可近似地用撓度 表示為:所以應變分量又可寫成薄板彎曲9薄板彎曲（2）物理方程 不計 所引起的應變，物理方程為：把應力分量用應變分量表示，得：10薄板彎曲（3）彈性曲面微分方程 在不計體力的情況下，由平衡方程的前二式得： 上式說明，主要的應力分量 沿板的厚度線性分布。將應力分量用撓度 表示，得：11

4、薄板彎曲 將應力分量用撓度 表示的物理方程代入上式，并化簡得： 由于撓度 不隨z 變化，且薄板在上下面的邊界條件為：12薄板彎曲將上列二式對z 進行積分，得：再由平衡微分方程第三式，得：將 用撓度 表達式代入，并化簡得：（1）13薄板彎曲由于撓度 不隨z 變化，且薄板有邊界條件:將（1）式對z 積分，得: 設在薄板頂面上每單位面積作用的載荷q(包括橫向面力和橫向體力），板上面的邊界條件為:將 的表達式代入該邊界條件，得薄板撓曲微分方程:14薄板彎曲其中稱為薄板的彎曲剛度。 薄板撓曲微分方程也稱為薄板的彈性曲面微分方程，它是薄板彎曲問題的基本微分方程。15薄板彎曲第三節 橫截面上的內力 在薄板橫

5、截面上取一微分六面體，其三邊的長度分別為 ,如圖所示。在垂直于x 軸的橫截面上，作用著正應力 和剪應力 。由于 和 在板厚上的總和為零，只能分別合成為彎矩 和扭矩 ；而 只能合成橫向剪力 。 顯然，在垂直于x 軸的橫截面上，每單位寬度之值如下：16 薄板彎曲同理17 薄板彎曲將上節給出的應力分量與撓度 之間關系代入，并積分得：上式稱為薄板彎曲問題中內力與變形之間的彈性方程。18 薄板彎曲 利用應力分量與撓度 之間的關系、薄板撓曲微分方程以及內力與形變之間的彈性方程，消去 ，可以給出各應力分量與彎矩、扭矩、剪力、載荷之間的關系。19薄板彎曲 顯然，沿著薄板的厚度，應力分量 的最大值發生在板面，

6、和 的最大值發生在中面，而 之最大值發生在載荷作用面。并且，一定載荷引起的應力分量中， 在數值上較大，因而是主要應力； 及 數值較小，是次要的應力；擠壓應力 在數值上最小，是更次要的應力。因此，在計算薄板的內力時，主要是計算彎矩和扭矩。20 薄板彎曲第四節 薄板的邊界條件以圖示矩形板為例：1、 固定邊 假定OA 邊是固支邊界，則邊界處的撓度和曲面的法向斜率等于零。即：2、 簡支邊 假設OC 邊是簡支邊界，則邊界處的撓度和彎矩My21薄板彎曲等于零。即：由于且在OC上即則簡支邊OC 邊界條件可寫成：22 薄板彎曲3、自由邊 板邊CB 為自由邊界，則沿該邊的彎矩、扭矩和橫向剪應力都為零，即：由于扭

7、矩可以變換為等效的剪力，故第二及第三個條件可合并為：23 薄板彎曲將Mx、Qx、Mxy與 的關系代入，得自有邊界CB 的邊界條件為：24 薄板彎曲第五節 薄板彎曲的直角坐標求解 用位移法求解薄板彎曲問題，通常采用半逆解法。首先設定具有待定系數的薄板撓度 的表達式；其次利用薄板曲面微分方程和邊界條件，確定待定常數；最后由撓度與應力分量的關系，求得應力分量。例1 試求邊界固定的橢圓形薄板在承受均布載荷q 后的最大撓度和最大彎矩。解：在圖示坐標下，橢圓薄板的邊界方程為:25 薄板彎曲設撓度的表達式為:其中C為常數。設n為薄板邊界外法線，則在薄板的邊界上應有:注意到顯然所設撓度 的表達式滿足固定邊界條

8、件。26薄板彎曲將撓度 的表達式代入彈性曲面微分方程得:從而內力27 薄板彎曲最大撓度為:最大彎矩為（設ab):其中28 薄板彎曲例2、試求圖示四邊簡支，承受均布載荷 的矩形薄板之最大撓度。解：取圖示坐標系設則在x=0及x=a邊界上，邊界條件自然滿足。將 的表達式代入彈性曲面微分方程29 薄板彎曲得將 展為傅立葉級數其中m為偶數m為奇數則取微分方程的特解為：30 薄板彎曲并注意到撓度 是y 的偶函數，則非齊次線性常微分方程的一般解為:利用邊界條件 (已用對稱性）處， 得31 薄板彎曲撓度的表達式：若a=b，則可見，在級數中僅取兩項，就可以達到較高的精度。32 薄板彎曲第六節 圓形薄板的軸對稱彎

9、曲 求解圓板彎曲問題時，采用極坐標較方便。如果圓形薄板所受的橫向載荷是繞z 軸對稱的（z 軸垂直板面朝下），則該彈性薄板的位移也將是繞z 軸對稱的，即 只是r 的函數，不隨 而變。一、彈性曲面微分方程 參照直角坐標下的彈性曲面微分方程。極坐標下，圓形薄板軸對稱彎曲時，曲面微分方程可寫成：或33 薄板彎曲二、內力展開后得：該微分方程的通解為其中 是任意一個特解。 從薄板內取出一個微分單元體，圖示。在 r 為常量的橫截面上，彎矩和橫向剪力分別為Mr 和 ；在 為常量的橫截面上，則為 和 。由于是軸對稱問題，故沒有扭矩。34 薄板彎曲 把x 軸和y 軸分別轉到這個微分單元體的r 和 方向，則利用坐標

10、轉換公式，有：35 薄板彎曲三、應力分量利用坐標轉換公式，同理有：將應力分量用內力表示有：36薄板彎曲例3、半徑為a的實心圓板，周邊固支，受均布載荷 及圓心處的集中力P 作用，求撓度。解：由題意知，本題為圓板軸對稱彎曲，撓曲線方程為：取特解知通解為由實心圓板中心處的撓度 應有界知：從板中取出半徑為r 的部分圓板，由z方向的平衡條件給出37薄板彎曲故而又有故由 得由 得故板的撓度38薄板彎曲第七節 變分法求薄板的位移 薄板小撓度彎曲時， 為微量，可略去不計。此時彈性薄板的變形能:用撓度 表示:39 薄板彎曲其中A為薄板面積。 對于板邊固定的任意形狀板，以及板邊界處 的多邊形（板中無孔洞），由分步

11、積分公式得:對于固定板， 即對于沿板邊 的矩形板，總有 或因此40薄板彎曲即彈性板的變形能簡化為：例4 求四邊簡支矩形板 在均布載荷 作用下的撓度。解：用里茲法。取板的撓度為如下重三角級數顯然，該級數的每一項都滿足四邊簡支的邊界條件。板的彈性變形能：41 薄板彎曲在均布載荷 作用下，外力勢能V 為總位能:由取極值的條件得出：（ m,n均為奇數）42 薄板彎曲由此得出故（ m,n均為奇數）(m或n為偶數時）43薄板彎曲習題12.1 矩形薄板具有固定邊OA，簡支邊OC及自由邊AB和BC，角點B處有鏈桿支承，板邊所受荷載如圖所示。試將板邊的邊界條件用撓度表示。xyzM0qoACBab解：（1）OA邊（2）OC邊后一式用撓度表示為44薄板彎曲（3）AB邊用撓度表示為（4）BC邊45薄板彎曲用撓度表示為（5）在B支點46薄板彎曲習題12.2 有一塊邊長分別為a 和b 的四邊簡支矩形薄板，坐標如圖所示。受板面荷載 作用，試證 能滿足一切條件，并求出撓度、彎矩和反力。xyzoab解： 不難驗證 能滿足所有簡支邊的邊界條件，由撓曲面方程可確定 ，從而求出撓度、彎矩和反力。47薄板彎曲48薄板彎曲49薄板彎曲習題12.