1、2021-2022高考數學模擬試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知拋物線的焦點為，對稱軸與準線的交點為，為上任意一點，若，則（ ）A30B45C60D752若直線l不平行于平面，且l，則（ ）A內所有直線與l異面B內只存在有限條直線與l共面C內存

2、在唯一的直線與l平行D內存在無數條直線與l相交3若雙曲線：（）的一個焦點為，過點的直線與雙曲線交于、兩點，且的中點為，則的方程為（ ）ABCD41777年，法國科學家蒲豐在宴請客人時，在地上鋪了一張白紙，上面畫著一條條等距離的平行線，而他給每個客人發許多等質量的，長度等于相鄰兩平行線距離的一半的針，讓他們隨意投放.事后，蒲豐對針落地的位置進行統計，發現共投針2212枚，與直線相交的有704枚.根據這次統計數據，若客人隨意向這張白紙上投放一根這樣的針，則針落地后與直線相交的概率約為（ ）ABCD5已知函數，則下列結論中正確的是函數的最小正周期為；函數的圖象是軸對稱圖形；函數的極大值為；函數的最小

3、值為ABCD6已知與函數和都相切，則不等式組所確定的平面區域在內的面積為（ ）ABCD7已知函數f（x）sin2x+sin2（x），則f（x）的最小值為（ ）ABCD8若sin(+32)=33，則cos2=（ ）A-12B-13C13D129已知函數的一條切線為，則的最小值為（ ）ABCD10如圖所示，網格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該幾何體的各個面中最大面的面積為（ ）ABCD11如圖所示，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是由一個棱柱挖去一個棱錐后的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為A72B64C48D3212已知雙曲線的一條漸近線方程是，則雙曲線的離心率為（

4、 ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13在的展開式中，常數項為_.(用數字作答)14邊長為2的菱形中,與交于點O,E是線段的中點,的延長線與相交于點F,若,則_.15在平面直角坐標系中，曲線上任意一點到直線的距離的最小值為_16如圖，兩個同心圓的半徑分別為和，為大圓的一條 直徑，過點作小圓的切線交大圓于另一點，切點為，點為劣弧上的任一點（不包括 兩點），則的最大值是_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）為了解甲、乙兩個快遞公司的工作狀況，假設同一個公司快遞員的工作狀況基本相同，現從甲、乙兩公司各隨機抽取一名快遞員，并從兩人某月(3

5、0天)的快遞件數記錄結果中隨機抽取10天的數據，整理如下：甲公司員工：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350乙公司員工：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務費情況如下：甲公司規定每件0.65元，乙公司規定每天350件以內(含350件)的部分每件0.6元，超出350件的部分每件0.9元.（1）根據題中數據寫出甲公司員工在這10天投遞的快件個數的平均數和眾數；（2）為了解乙公司員工每天所得勞務費的情況，從這10天中隨機抽取1天，他所得的勞務費記為 (單位：元)，求的分布列和數學期

6、望；（3）根據題中數據估算兩公司被抽取員工在該月所得的勞務費.18（12分）設橢圓E:（a,b0）過M（2，） ，N(,1)兩點，O為坐標原點，（1）求橢圓E的方程；（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，若不存在說明理由19（12分）已知函數（1）若恒成立，求實數的取值范圍；（2）若方程有兩個不同實根，證明：20（12分）團購已成為時下商家和顧客均非常青睞的一種省錢、高校的消費方式，不少商家同時加入多家團購網.現恰有三個團購網站在市開展了團購業務，市某調查公司為調查這三家團購網站在本市的開展情況，從本市已加入了團購網站的商家

7、中隨機地抽取了50家進行調查，他們加入這三家團購網站的情況如下圖所示.（1）從所調查的50家商家中任選兩家，求他們加入團購網站的數量不相等的概率；（2）從所調查的50家商家中任取兩家，用表示這兩家商家參加的團購網站數量之差的絕對值，求隨機變量的分布列和數學期望；（3）將頻率視為概率，現從市隨機抽取3家已加入團購網站的商家，記其中恰好加入了兩個團購網站的商家數為，試求事件“”的概率.21（12分）在中，角的對邊分別為，且（1）求角的大??；（2）若函數圖象的一條對稱軸方程為且，求的值22（10分）在本題中，我們把具體如下性質的函數叫做區間上的閉函數：的定義域和值域都是；在上是增函數或者減函數.（1

8、）若在區間上是閉函數，求常數的值；（2）找出所有形如的函數（都是常數），使其在區間上是閉函數.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】如圖所示：作垂直于準線交準線于，則，故，得到答案.【詳解】如圖所示：作垂直于準線交準線于，則，在中，故，即.故選：.【點睛】本題考查了拋物線中角度的計算，意在考查學生的計算能力和轉化能力.2D【解析】通過條件判斷直線l與平面相交，于是可以判斷ABCD的正誤.【詳解】根據直線l不平行于平面，且l可知直線l與平面相交，于是ABC錯誤，故選D.【點睛】本題主要考查直線與平面的位置關系，直

9、線與直線的位置關系，難度不大.3D【解析】求出直線的斜率和方程，代入雙曲線的方程，運用韋達定理和中點坐標公式，結合焦點的坐標，可得的方程組，求得的值，即可得到答案.【詳解】由題意，直線的斜率為，可得直線的方程為，把直線的方程代入雙曲線，可得，設，則，由的中點為，可得，解答，又由，即，解得，所以雙曲線的標準方程為.故選：D.【點睛】本題主要考查了雙曲線的標準方程的求解，其中解答中屬于運用雙曲線的焦點和聯立方程組，合理利用根與系數的關系和中點坐標公式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.4D【解析】根據統計數據，求出頻率，用以估計概率.【詳解】.故選:D.【點睛】本題以數學文化為背景，考查利用頻

10、率估計概率，屬于基礎題.5D【解析】因為，所以不正確；因為，所以，所以，所以函數的圖象是軸對稱圖形，正確；易知函數的最小正周期為，因為函數的圖象關于直線對稱，所以只需研究函數在上的極大值與最小值即可當時，且，令，得，可知函數在處取得極大值為，正確；因為，所以，所以函數的最小值為，正確故選D6B【解析】根據直線與和都相切，求得的值，由此畫出不等式組所表示的平面區域以及圓，由此求得正確選項.【詳解】.設直線與相切于點，斜率為，所以切線方程為，化簡得.令，解得，所以切線方程為，化簡得.由對比系數得，化簡得.構造函數，所以在上遞減，在上遞增，所以在處取得極小值也即是最小值，而，所以有唯一解.也即方程有

11、唯一解.所以切線方程為.即.不等式組即，畫出其對應的區域如下圖所示.圓可化為，圓心為.而方程組的解也是.畫出圖像如下圖所示，不等式組所確定的平面區域在內的部分如下圖陰影部分所示.直線的斜率為，直線的斜率為.所以，所以，而圓的半徑為，所以陰影部分的面積是.故選：B【點睛】本小題主要考查根據公共切線求參數，考查不等式組表示區域的畫法，考查圓的方程，考查兩條直線夾角的計算，考查扇形面積公式，考查數形結合的數學思想方法，考查分析思考與解決問題的能力，屬于難題.7A【解析】先通過降冪公式和輔助角法將函數轉化為，再求最值.【詳解】已知函數f（x）sin2x+sin2（x），=，=，因為，所以f（x）的最小

12、值為.故選：A【點睛】本題主要考查倍角公式及兩角和與差的三角函數的逆用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.8B【解析】由三角函數的誘導公式和倍角公式化簡即可.【詳解】因為sin+32=33，由誘導公式得cos=-33，所以cos2=2cos2-1=-13 .故選B【點睛】本題考查了三角函數的誘導公式和倍角公式，靈活掌握公式是關鍵，屬于基礎題.9A【解析】求導得到，根據切線方程得到，故，設，求導得到函數在上單調遞減，在上單調遞增，故，計算得到答案.【詳解】，則，取，故，.故，故，.設，取，解得.故函數在上單調遞減，在上單調遞增，故.故選：.【點睛】本題考查函數的切線問題，利用導數求最值，意在考

13、查學生的計算能力和綜合應用能力.10B【解析】根據三視圖可以得到原幾何體為三棱錐，且是有三條棱互相垂直的三棱錐，根據幾何體的各面面積可得最大面的面積【詳解】解：分析題意可知，如下圖所示，該幾何體為一個正方體中的三棱錐，最大面的表面邊長為的等邊三角形，故其面積為，故選B【點睛】本題考查了幾何體的三視圖問題，解題的關鍵是要能由三視圖解析出原幾何體，從而解決問題11B【解析】由三視圖可知該幾何體是一個底面邊長為4的正方形，高為5的正四棱柱，挖去一個底面邊長為4，高為3的正四棱錐，利用體積公式，即可求解。【詳解】由題意，幾何體的三視圖可知該幾何體是一個底面邊長為4的正方形，高為5的正四棱柱，挖去一個底

14、面邊長為4，高為3的正四棱錐，所以幾何體的體積為，故選B。【點睛】本題考查了幾何體的三視圖及體積的計算，在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要根據三視圖的規則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線。求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關系和數量關系，利用相應公式求解。12D【解析】雙曲線的漸近線方程是，所以，即 ， ，即 ，故選D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】的展開式的通項為，取計算得到答案.【詳解】的展開式的通項為：，取得到常數項.故答案為：.【點睛】本題考查了二

15、項式定理，意在考查學生的計算能力.14【解析】取基向量，然后根據三點共線以及向量加減法運算法則將，表示為基向量后再相乘可得【詳解】如圖：設，又，且存在實數使得，故答案為：【點睛】本題考查了平面向量數量積的性質及其運算，屬中檔題15【解析】解法一：曲線上任取一點，利用基本不等式可求出該點到直線的距離的最小值；解法二：曲線函數解析式為，由求出切點坐標，再計算出切點到直線的距離即可所求答案.【詳解】解法一（基本不等式）：在曲線上任取一點，該點到直線的距離為，當且僅當時，即當時，等號成立，因此，曲線上任意一點到直線距離的最小值為；解法二（導數法）：曲線的函數解析式為，則，設過曲線上任意一點的切線與直線

16、平行，則，解得，當時，到直線的距離；當時，到直線的距離.所以曲線上任意一點到直線的距離的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查曲線上一點到直線距離最小值的計算，可轉化為利用切線與直線平行來找出切點，轉化為切點到直線的距離，也可以設曲線上的動點坐標，利用基本不等式法或函數的最值進行求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.16【解析】以為坐標原點，所在的直線為軸，的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，從而可得、，然后利用向量數量積的坐標運算可得，再根據輔助角公式以及三角函數的性質即可求解.【詳解】以為坐標原點，所在的直線為軸，的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，則、，由，且，所以，所以，

17、即 又平分，所以，則,設，則，所以，所以，所以的最大值是.故答案為：【點睛】本題考查了向量數量積的坐標運算、利用向量解決幾何問題，同時考查了輔助角公式以及三角函數的性質，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）平均數為360，眾數為330；（2）見詳解；（3）甲公司：7020（元），乙公司：7281（元）【解析】（1）將圖中甲公司員工A的所有數據相加，再除以總的天數10，即可求出甲公司員工A投遞快遞件數的平均數從中發現330出現的次數最多，故為眾數；（2）由題意能求出的可能取值為340，360，370，420，440，分別求出相對應的概率，由此能求出

18、的分布列和數學期望；（3）利用（1）（2）的結果，可估算兩公司的每位員工在該月所得的勞務費【詳解】解：（1）由題意知甲公司員工在這10天投遞的快遞件數的平均數為.眾數為330.（2）設乙公司員工1天的投遞件數為隨機變量，則當時，當時，當時，當時，當時，的分布列為204219228273291（元）；（3）由（1）估計甲公司被抽取員工在該月所得的勞務費為(元)由（2）估計乙公司被抽取員工在該月所得的勞務費為(元).【點睛】本題考查頻率分布表的應用，考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題.18（1）（2）【解析】試題分析：（1）因為橢圓E:（a,b0）過M（2，），N

19、(,1)兩點,所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設該圓的切線方程為解方程組得,即,則=,即，要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且考點：本題主要考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，圓與橢圓的位置關系點評：中檔題，涉及直線與圓錐曲線的位置關系問題，往往要利用韋達定理存在性問題，往往從假設存

20、在出發，運用題中條件探尋得到存在的是否條件具備（2）小題解答中，集合韋達定理，應用平面向量知識證明了圓的存在性19（1）（2）詳見解析【解析】（1）將原不等式轉化為，構造函數，求得的最大值即可；（2）首先通過求導判斷的單調區間，考查兩根的取值范圍，再構造函數，將問題轉化為證明，探究在區間內的最大值即可得證【詳解】解：（1）由，即，即，令，則只需，令，得，在上單調遞增，在上單調遞減，的取值范圍是；（2）證明：不妨設，當時，單調遞增，當時，單調遞減，當時，要證，即證，由在上單調遞增，只需證明，由，只需證明，令，只需證明，易知，由，故，從而在上單調遞增，由，故當時，故，證畢【點睛】本題考查利用導數研究函數單調性，最值等，關鍵是要對問題進行轉化，比如把恒成立問題轉化為最值問題，把根的個數問題轉化為圖像的交點個數，進而轉化為證明不等式的問題，屬難題20（1）;（2）從而的分布列為012;（3）.【解析】（1）運用概率的計算公式求概率分布，再運用數學期望公式