1、八年級華師大版數學（上）復習提綱 （20112012學年）PAGE PAGE 15第11章 數的開方(ki fng)11.1平方根與立方根一、平方根1、平方根的定義：如果(rgu)一個數的平方等于a，那么(n me)這個數叫做a的平方根。（也叫做二次方根）即：若x2=a，則x叫做a的平方根。2、平方根的性質：（1）一個正數有兩個平方根。它們互為相反數；（2）零的平方根是零；（3）負數沒有平方根。二、算術平方根1、算術平方根的定義：正數a的正的平方根，叫做a的算術平方根。2、算術平方根的性質：（1）一個正數的算術平方根只有一個為正；（2）零的算術平方根是零；（3）負數沒有算術平方根；（4）算術平

2、方根的非負性：0。三、平方根和算術平方根是記號：平方根（讀作：正負根號a）；算術平方根（讀作根號a）即：“”表示a的平方根，或者表示求a的平方根；“”表示a的算術平方根，或者表示求a的算術平方根。其中a叫做被開方數。負數沒有平方根，被開方數a必須為非負數，即：a0。四、開平方：求一個非負數的平方根的運算，叫做開平方。其實質就是：已知指數和二次冪求底數的運算。五、立方根1、立方根的定義：如果一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的立方根。（也叫做三次方根）即：若x3=a，則x叫做a的立方根。2、立方根的性質：（1）一個(y )正數的立方根為正；（2）一個(y )負數的立方根為負；（3）零的立方根是

3、零。3、立方根的記號(j ho)：（讀作：三次根號a），a稱為被開方數，“3”稱為根指數。中的被開方數a的取值范圍是：a為全體實數。六、開立方：求一個數的立方根的運算，叫做開立方。其實質就是：已知指數和三次冪求底數的運算。七、注意事項：1、“”、“”、“”的實質意義：“”問：哪個數的平方是a；“”問：哪個非負數的平方是a；“”問：哪個數的立方是a。2、注意和中的a的取值范圍的應用。如：若有意義，則x取值范圍是 。（x-30，x3）（填：x3） 若有意義，則x取值范圍是 。（填：全體實數）3、。如：，4、對于幾個算數平方根比較大小，被開方數越大，其算數平方根的值也越大。如：等。2和3怎么比較大小

4、？（你知道嗎？不知道就問！）5、算數平方根取值范圍的確定方法：關鍵：找鄰近的“完全平方數的算數平方根”作參照。如：確定的取值范圍。，23。6、幾個常見的算數平方根的值：，。八、補充的二次根式的部分內容1、二次根式的定義：形如（a0）的式子，叫做二次根式。2、二次根式的性質：(1)（a0，b0）；(2) （a0，b0）；(3) （a0）； (4) 3、二次根式的乘除(chngch)法：（1）乘法：（a0，b0）；（2）除法(chf)：（a0，b0）。11.2實數(shsh)與數軸一、無理數1、無理數定義：無限不循環小數叫做無理數。2、常見的無理數：（1）開方開不盡的數。如：，等。（2）“”類的數

5、。如：，等。（3）無限不循環小數。如：2.1010010001，-0.234242242224，等二、實數1、實數定義：有理數與無理數統稱為實數。2、與實數有關的概念：（1）相反數：實數a的相反數為-a。若實數a、b互為相反數，則a+b=0。（2）倒 數：非零實數a的倒數為（a0）。若實數a、b互為倒數，則ab=1。（3）絕對值：實數a的絕對值為：3、實數的運算：有理數的所有運算法則及運算律均適用于實數的運算。4、實數的分類：（1）按照正負性分為：正實數、零、負實數三類。（2）按照(nzho)定義分為：5、幾個(j )“非負數(fsh)”：（1）a20； （2）|a|0； （3）0。6、實數與

6、數軸上的點是一一對應關系。第12章 整式的乘除12.1冪的運算一、同底數冪的乘法1、法則：amanap=am+n+p+（m、n、p均為正整數） 文字：同底數冪相乘，底數不變，指數相加。2、注意事項：（1）a可以是實數，也可以是代數式等。如：234=2+3+4=9；(-2)2(-2)3=(-2)2+3=(-2)5=-25；()3()4=()3+4=()7；(a+b)3(a+b)4(a+b)= (a+b)3+4+1=(a+b)8（2）一定要“同底數冪”“相乘”時，才能把指數相加。（3）如果是二次根式或者整式作為底數時，要添加括號。二、冪的乘方1、法則：(am)n=amn（m、n均為正整數）。推廣：

7、(am)nps=amn p s 文字：冪的乘方，底數不變，指數相乘。2、注意事項：（1）a可以是實數，也可以是代數式等。如：(2)3=23=6；()34=()34=()12；(a-b)24= (a-b)24=(a-b)8（2）運用時注意符號的變化。（3）注意該法則的逆應用，即：amn= (am)n，如：a15= (a3)5= (a5)3三、積的乘方1、法則(fz)：(ab)n=anbn（n為正整數）。推廣(tugung)：(acde)n=ancndnen 文字：積的乘方等于(dngy)把積的每一個因式都分別乘方，再把所得的冪相乘。2、注意事項：（1）a、b可以是實數，也可以是代數式等。如：(2

8、)3=222=42；()2=()2()2=23=6；(-2abc)3=(-2)3a3b3c3=-8a3b3c3；(a+b)(a-b)2=(a+b)2(a-b)2（2）運用時注意符號的變化。（3）注意該法則的逆應用，即：anbn =(ab)n；如：2333= (23)3=63，(x+y)2(x-y)2=(x+y)(x-y)2四、同底數冪的除法1、法則：aman=am-n（m、n均為正整數，mn，a0） 文字：同底數冪相除，底數不變，指數相減。2、注意事項：（1）a可以是實數，也可以是代數式等。如：43=4-3=；(-2)5(-2)3=(-2)5-3=(-2)2=4；()6()4=()6-4=()

9、2=2；(a+b)16(a+b)14= (a+b)16-14=(a+b)2=a2+2ab +b2（2）注意a0這個條件。（3）注意該法則的逆應用，即：am-n = aman；如：a x-y= axay，(x+y)2a-3=(x+y)2a(x+y)312.2 整式的乘法一、單項式與單項式相乘法則：單項式與單項式相乘，只要將它們的系數與系數相乘，相同字母的冪相乘，多余的字母照搬到最后結果中。如：(-5a2b2)(-4 b2c)(-ab)=(-5)(-4)(-)(a2a)(b2b2)c =-30a3b4c二、單項式與多項式相乘法則：（乘法分配律）只要將單項式分別去乘以多項式的每一項，再將所得的積相加

10、。如：(-3x2)(-x2)+(-3x2)2 x一(-3x2)1=三、多項式與多項式相乘法則：（1）將一個多項式中的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再將所得的積相加。如：(m + n)(a + b)= ma+mb+na+nb (2)把其中一個多項式看成一個整體（單項式），去乘以另一個多項式的每一項，再按照單項式與多項式相乘的法則繼續相乘，最后(zuhu)將所得的積相加。如：(m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb12.3 乘法(chngf)公式一、兩數和乘以這兩數的差1、公式(gngsh)：(a+b)(a-b)=a2-b2；名稱：平方差公式。2、

11、注意事項：（1）a、b可以是實數，也可以是代數式等。如：(10+9)(10-9)=102-92=100-81=19；(2xy+a)(2xy-a)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2；(a+b+)( a+b -)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2；（2）注意公式中的第一項、第二項各自相同，中間是“異號”的情況，才能用平方差公式。（3）注意公式的來源還是“多項式多項式”。二、完全平方公式1、公式：(ab)2=a22a b+b2；名稱：完全平方公式。2、注意事項：（1）a、b可以是實數，也可以是代數式等。如：(+3)2=()2+23+32=2+6+9=11+6；(mn-a) 2=(mn)2

12、-2mna+ a2= m2n2-2mna+ a2；( a+b -)2=( a+b)2-2( a+b)+2= a2+2a b+b2-2a-b +2；（2）注意公式運用時的對位“套用”；（3）注意公式中“中間的乘積項的符號”。3、補充公式：(a+ b+ c)2=a2+c2+b2+2a b+2bc+2ca特別提醒：利用乘法公式進行整式的運算時注意“思維順序”是：“一看二套三計算”。12.4 整式的除法一、單項式除以單項式法則：單項式相除，只要將它們(t men)的系數與系數相除，相同字母的冪相除，只在被除式中出現的字母，則連同它的指數一起作為商的一個因式。如：-21a2b3c3ab=(-213)a2

13、-1b3-1c =-7ab2c（2x2y）3（-7xy2）14x4y3 =8x6y3（-7xy2）14x4y3=8（-7）x6+1y3+214x4y3 =（-5614）x7-4y5-3=-4x3y25（2a+b）4（2a+b）2=（51）（2a+b）4-2=5（2a+bz2=5（4a2+4ab+b2）=20a2+20ab+5b2二、多項式除以單項式法則：（乘法分配律）只要將多項式的每一項分別(fnbi)去除以單項式，再將所得的商相加。如：(21x4y3-35x3y2+7x2y2)(-7x2y)=21x4y3(-7x2y)-35x3y2(-7x2y)+ 7x2y2(-7x2)=-3x2y2+5x

14、y-y4y(2x-y)-2x(2x-y)(2x-y)= 4y(2x-y)(2x-y)-2x(2x-y)(2x-y)=4y-2x整式的運算順序：先乘方（開方），再乘除(chngch)，最后加減，括號優先。12.5 因式分解一、因式分解的定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做因式分解。（分解因式）因式分解與整式乘法互為逆運算二、提取公因式法：把一個多項式的公因式提取出來，使多項式化為兩個因式的積，這種分解因式的方法叫做提公因式法。公因式定義：多項式中每一項都含有的相同的因式稱為公因式。具體步驟：（1）“看”。觀察各項是否有公因式；（2）“隔”。把每項的公因式“隔離”出來；（3）“提”。按照

15、乘法分配律的逆運用把公因式提出來，使多項式化為兩個因式的積。(a-b) 2n=(b-a) 2n(n為正整數)；(a-b) 2n+1=-(b-a) 2n+1(n為正整數)；如：8a2b-4ab+2a=2a4ab-2a2b+2a1=2a(4ab-2b+1)；-5 a2+25 a=-5 aa+5a5=-5 a(a+5)(注意：凡給出的多項式的“首項為負”時，要連同“-”號與公因式一并提出來。)三、公式法：利用乘法公式進行因式分解的方法，叫做公式法。1、平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)；名稱：平方差公式。注意事項：（1）a、b可以(ky)是實數，也可以是代數式等。如：102-92 =(1

16、0+9)(10-9)=191=19；4 x2y2-a2=(2xy)2-a2=(2xy+a)(2xy-a)；（2）注意(zh y)公式中的第一項、第二項各自相同，中間是“異號”的情況，才能(cinng)用平方差公式。（3）注意公式的結構好形式，運用時一定要判斷準確。2、完全平方公式：(ab)2=a22a b+b2；名稱：完全平方公式。注意事項：（1）a、b可以是實數，也可以是代數式等。如：m2n2-2mna+ a2=(mn)2-2mna+ a2=(mn-a)2；x2+4xy+y2=x2+2x2y+(2y)2=( x+2 y)2（2）注意公式運用時的對位“套用”；（3）注意公式中“中間的乘積項的符

17、號”。四、補充分解法：1、公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)( x+b)。如：x2+5x+6= x2+(2+3)x+23=(x+2)( x+3)；x2+5x-6=x2+6+(-1)x+6(-1)=(x+6)( x-1)2、“十字相乘法”如：=(x+2)( x+7) =(x+2)( x-4) 1 2 1 2 1 7 1 -4 2 + 7=9 2 + (-4)=-2五、綜合1、注意利用乘法公式進行因式分解時注意“思維順序”是：“一看二套三分解”。2、遇到因式分解的題目時，其整體的思維順序是：（1）看首項是否為“一”，若為“一”，就要注意提負號；（2）看各項是否有公因式，若有公因式，應該首先

18、把公因式提取出來再說；（3）沒有公因式時，就要考慮用乘法公式進行因式分解或者“十字相乘法”。3、注意事項：（1）注意(zh y)（a-b）與（b-a）的關系是互為相反數；（2）因式分解要徹底，不要只提出公因式就完，還要看剩下的因式是否可以(ky)繼續分解；（3）現階段的因式分解(fnji)的題目，一般都要求在有理數范圍內分解，所以不能出現帶根號的數；（4）注意“十字相乘法”只適用于“二次三項式型”因式分解，不要亂用此法。全等三角形13.1命題與證明知識點1、 命題的概念敘述一件事情的句子（陳述句），要么是真的，要么是假的，那么稱這個陳述句是一個命如“你是一個學生”、“我們所使用是教科書是湘教版

19、的”等。注意：（1）命題必須是一個完整的句子。 （2）這個句子必須對某事情作出肯定或者否定的判斷，二者缺一不可。知識點2、 命題的結構每個命題都有條件和結論兩部分組成。條件是已知的事項，結論是由已知事項推斷出的事項。一般地，命題都可以寫出“如果，那么”的形式。有的命題表面上看不具有“如果，那么”的形式，但可以寫成這種形式。如：“對頂角相等”，改寫成“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”。例 把下列命題改寫成“如果，那么”的形式，并指出條件與結論。同角的余角相等 2、兩點確定一條直線知識點3、 真命題與假命題如果一個命題敘述的事情是真的，那么稱它是真命題；如果一個命題敘述的事情是假的，那么稱它

20、是假命題 注意：真、假命題的區別就在于其是否是正確的，在判斷命題的真假時，要注意把握這點。知識點4、 證明及互逆命題的定義從一個命題的條件出發，通過講道理（推理），得出它的結論成立，這個過程叫作證明。注意：證明一個命題是假命題的方法是舉反例，即找出一個例子，它符合命題條件，但它不滿足命題的結論，從而判斷這個命題是假命題。一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，這兩個命題稱為互逆的命題，其中的一個命題叫作另一個命題的逆命題。注意：一個命題為真不能保證它的逆命題為真，逆命題是否為真，需要具體問題具體分析。例 說出下列命題的逆命題，并指出它們的真假。直角三角形的兩銳角互余； （2）全等三角

21、形的對應角相等。知識點5、 基本事實與定理數學中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結出來的，并把它們作為判斷其它命題真假的原始依據，這樣的真命題叫做基本事實。以基本定義和公理作為推理的出發點，去判斷其他命題的真假，已經判斷為真的命題稱為定理。注意：（1）基本事實是不需要證明的，它是判斷其他命題真假的依據，定理是需要證明； (2 ) 定理都是真命題，但真命題不一定都是定理。例 填空：（1）同位角相等，則兩直線 ；（2）平面內兩條不重合的直線的位置關系是 ；（3） 四邊形是平行四邊形。知識點6、 互逆定理 如果一個定理的逆命題也是定理，那么稱它是原來定理的逆定理，這兩個定理稱為互逆定理。注意：每

22、個命題都有逆命題，但并非所有的定理都有逆定理。如：“對頂角相等”就沒逆定理。知識點7、 證明的含義從一個命題的條件出發，通過講道理（推理），得出它的結論成立，從而判定該命題為真，這個過程叫做證明。推理證明的必要性：判斷猜想的數學結論是否正確，僅僅依靠經驗是不夠的，必須一步一步，有理有據地進行推理。證明命題的步驟：由題設出發，經過一步步的推理最后推出結論（書證）正確的過程叫做證明。證明中的每一步推理都要有根據，不能“想當然”，這些根據，可以是已知條件，也可以是定義、基本事實，在此以前學過的定理。（證明命題的格式一般為：1）按題意畫出圖形；2）分清命題的條件和結論，結合圖形在“已知”中寫出條件，在

23、“求證”中寫出結論；3）在“證明”中寫出推理過程）證明的四個注意 (1)注意：公理是通過長期實踐反復驗證過的，不需要再進行推理論證而都承認的真命題： 公理可以作為判定其他命題真假的根據. (2)注意，定理都是真命題，但真命題不一定都是定理；一般選擇一些最基本最常用的真命題作為定理，可以以它們為根據推證其他命題. 這些被選作定理的真命題，在教科書中是用黑體字排印的. (3)注意：在幾何問題的研究上，必須經過證明，才能作出真實可靠的判斷。如“兩直線平行，同位角相等”這個命題，如果只采用測量的方法. 只能測量有限個兩平行直線的同位角是相等的. 但采用推理方法證明兩平行直線的同位角相等，那么就可以確信

24、任意兩平行直線的同位角相等. (4)注意：證明中的每一步推理都要有根據，不能“想當然”. 論據必須是真命題，如；定義、公理、已經學過的定理和已知條件；論據的真實性不能依賴于論證的真實性；論據應是論題的充足理由.13.2全等三角形一、全等形1、定義：能夠完全(wnqun)重合的兩個圖形叫做全等圖形，簡稱全等形。2、一個圖形經過翻折、平移和旋轉等變換后所得到的圖形一定與原圖形全等。反之，兩個全等的圖形經過上述(shngsh)變換后一定能夠互相重合。二、全等多邊形1、定義：能夠完全重合的多邊形叫做(jiozu)全等多邊形。互相重合的點叫做對應頂點，互相重合的邊叫做對應邊，互相重合的角叫做對應角。AB

25、CABC2、性質：（1）全等多邊形的對應邊相等，對應角相等。（2）全等多邊形的面積相等。三、全等三角形1、全等符號：“”。如圖，記作：ABCABC。讀作：三角形ABC全等于三角形ABC。2、全等三角形的判定定理（1）有兩邊和它們的夾角對應相等的兩三角形全等。（即SAS，“邊角邊”）（2）有兩角和它們的夾邊對應相等的兩三角形全等。（即ASA，“角邊角”）（3）有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩三角形全等。（即AAS，“角角邊”）（4）有三邊對應相等的兩三角形全等。（即SSS，“邊邊邊”）（5）有斜邊和一條直角邊對應相等的兩直角三角形全等。（即HL，“斜邊直角邊”）3、全等三角形的作用（1）用于直

26、接證明線段相等，角相等。（2）用于證明直線的平行關系、垂直關系等。（3）用于測量人不能的到達的路程的長短等。（4）用于間接證明特殊的圖形。（如證明等腰三角形、等邊三角形）。（5）用于解決有關等積等問題。13.3等腰三角形知識(zh shi)梳理】一、等腰三角形的性質(xngzh)1、有關定理(dngl)及其推論定理：等腰三角形有兩邊相等；定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）。推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，這就是說，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60。等腰三角形是以底邊的垂直平

27、分線為對稱軸的軸對稱圖形；2.定理及其推論的作用等腰三角形的性質定理揭示了三角形中邊相等與角相等之間的關系，由兩邊相等推出兩角相等，是今后證明兩角相等常用的依據之一。等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高、頂角的平分線“三線合一”的性質是今后證明兩條線段相等，兩個角相等以及兩條直線互相垂直的重要依據。二、等腰三角形的判定1.有關的定理及其推論定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”。）推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形。推論2：有一個角等于60的等腰三角形是等邊三角形。推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。2

28、.定理及其推論的作用。等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角與邊的轉化關系，它是證明線段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等關系轉化為邊的相等關系的重要依據，是本節的重點。3.等腰三角形中常用的輔助線等腰三角形頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線常常作為解決有關等腰三角形問題的輔助線，由于這條線可以把頂角和底邊折半，所以常通過它來證明線段或角的倍分問題，在等腰三角形中，雖然頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合，添加輔助線時，有時作哪條線都可以，有時需要作頂角的平分線，有時則需要作高或中線，這要視具體情況來定。13.4尺規作圖尺規作圖的定義(dngy)：尺規作圖是指用沒有(mi yu)

29、刻度的直尺和圓規作圖。最基本,最常用(chn yn)的尺規作圖,通常稱基本作圖。一些復雜的尺規作圖都是由基本作圖組成的。五種基本作圖：1、作一條線段等于已知線段； 2、作一個角等于已知角； 3、作已知線段的垂直平分線； 4、作已知角的角平分線； 5、過一點作已知直線的垂線；題目一：作一條線段等于已知線段。已知：如圖，線段a .求作：線段AB，使AB = a .作法：作射線AP；在射線AP上截取AB=a .則線段AB就是所求作的圖形。題目二：作已知線段的中點。已知：如圖，線段MN.求作：點O，使MO=NO（即O是MN的中點）.作法：（）分別以M、N為圓心，大于的相同線段為半徑畫弧，兩弧相交于P，

30、Q；（）連接PQ交MN于O則點O就是所求作的的中點。（試問：PQ與有何關系？）題目三：作已知角的角平分線。已知：如圖，AOB，求作：射線OP, 使AOPBOP（即OP平分AOB）。作法：（1）以O為圓心，任意長度為半徑畫弧，分別交OA，OB于M，N；（2）分別以M、為圓心，大于的相同線段為半徑畫弧，兩弧交AOB內于；作射線OP。則射線OP就是AOB的角平分線。題目四：作一個角等于已知角。（請自己寫出“已知”“求作”并作出圖形，不寫作法）題目(tm)五：已知三邊作三角形。已知：如圖，線段(xindun)a，b，c.求作：ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.作法(zu f)：作線段AB = c；以A為圓心b為半徑作弧，以B為圓心a為半徑作弧與前弧相交于C；連接