1、第1章 最優控制中的變分法本章主要內容： 1.1 變分的基本概念 1.2 無約束條件的最優化問題 1.3 具有等式約束條件的最優化問題1.4 應用變分法求解最優控制問題1.1 變分的基本概念例1-1 最速降線問題 最速降線問題對變分學的創立產生過重大影響。 確立一條連結定點A(0，0)和定點B(xf，yf)的曲線。使質點在重力作用下從點A滑動到點B所需的時間最短(忽略摩擦和阻力的影響)。 解：最速降線問題的示意圖如下(1)泛函的概念函數：對于變量x的某一變域中的每一個值，y都有一個值與之相對應，那么變量y稱作變量x的函數。記為： y=f (x)x稱為函數的自變量自變量的微分：dx=x-x0 （

2、增量足夠小時）泛函：對于某一類函數y()中的每一個函數y(x)，變量J都有一個值與之相對應，那么變量J稱作依賴于函數y(x)的泛函。記為： J=J y(x)y(x)稱為泛函的宗量宗量的變分：例1-1問題的本質：泛函極值泛函的連續性： 對任意給定的正數，總存在另一個正數，當 則稱泛函Jy(x)在點y0(x)處是連續的。兩個函數接近度的概念：k階接近度零階接近度一階接近度線性泛函： 泛函Jy(x)如果滿足下列兩個條件： 則稱為線性泛函。 (2)泛函的變分設泛函Jy(x)為連續泛函，則泛函增量的線性主部稱為泛函的變分：記為： J。 可以證明，泛函的變分是唯一的。如何求解泛函的變分？ 借鑒函數f(x)

3、微分的求解： 與（1-5）類似，可得出泛函Jy(x) 的求解： 例：求下列泛函的變分 (3)泛函的極值泛函極值的定義： 對于與y0(x)接近的曲線y(x)，泛函Jy(x) 的增量 則泛函Jy(x) 在曲線y0(x)上達到極值。泛函極值定理： 若可微泛函Jy(x)在y0(x)上達到極值，則在y= y0(x)上的變分為零。即證明如下：根據函數極值的條件，函數()在=0時達到極值的必要條件為：比較（1-9）和（1-10），可見：1.2 無約束條件的最優化問題1端點固定的情況 了解泛函極值的概念后，再來研究最速降線問題。其目標函數為： 不失一般性，可寫為：問題為：確定一個函數x(t)，使Jx(t) 達

4、到極小（大）值。這條能使泛函Jx(t) 達到極值的曲線稱為極值曲線（軌線），記作： x*(t)對于端點固定的情況，容許軌線x(t)應滿足下列邊界條件：對（1-13）求取泛函極值的思路：求取泛函的變分（通過泰勒展開，求取泛函增量的線性主部，）容許軌線是由極值曲線微小攝動而成，即將（1-15）式代入（1-13）對式（1-21）中被積函數第二項分部積分(消去 ）根據泛函極值的必要條件，可得歐拉方程歐拉方程的展開形式：歐拉方程的特殊形式（L不顯含t時)再來回顧最速降線問題，其指標函數為：代入（1-28）式：整理、簡化后可得若用參數法求解，令 ，可得這是圓滾線的參數方程。關于歐拉方程的幾點說明： 歐拉方

5、程是泛函極值的必要條件，是否充分還需進一步判斷。 （參見p56 “泛函極值的充分條件勒蓋特條件）歐拉方程是二階微分方程，只有在個別情況下才能得到封閉形式的解。（如最速降線問題） 2端點變動的情況 （例如，攔截問題） 始點x0在曲線x=(x)上變動終點xf在曲線x=(x)上變動端點變動時泛函極值的必要條件： （推導過程略） （1）歐拉方程 （2）橫截條件 x21 0 1 2 t例：確定點A(0,1)至給定直線 的最短的曲線方程。解：由A至 的弧長 性能指標為由歐拉方程：積分得， 再積分，得通解 根據始端條件：根據終端橫截條件，得最優軌線方程：1.3 具有等式約束條件的最優化問題 在最優控制問題中

6、，泛函Jx(t)所依賴的函數往往會受到定約束條件的限制。在動態最優化問題中，由于受控系統的數學模型往往用微分方程來描述，所以等式約束就是系統的狀態方程。 解決具有等式約束條件的最優化問題的基本思路，就是應用拉格朗日乘子法，將有約束條件的泛函極值問題轉化為無約束條件的泛函極值問題。1.微分約束問題：已知受控系統狀態方程為目標泛函為：求最優控制u*(t)，使系統從初始狀態x(t0)轉移到終端狀態x(tf)， 其目標函數J取極值。（兩點邊值問題） 這里，為了將有約束條件的泛函極值問題轉化為無約束條件的泛函極值問題，可應用拉格朗日乘子法。為此，引入待定的n維拉格朗日乘子向量(t)，即構造一個新的輔助泛

7、函：定義哈密爾頓(Hamilton)函數H： （將 分離出去）代入（1-36）式 多元輔助泛函J的歐拉方程為：協態方程狀態方程控制方程正則方程組 根據上述三個方程，加上邊界條件，可得最優控制問題的唯一確定解 思考： ， 給定， 自由時的情況。2.端點等式約束（等式約束的更一般形式)問題：已知受控系統狀態方程為目標泛函為：求最優控制u*(t)，使系統從初始狀態x(t0)轉移到終端狀態x(tf)， 其目標函數J 取極值。根據一個微分約束，一個端點約束，共需引入2個拉格朗日乘子向量，構成新的輔助目標泛函：用分部積分法消去極值的必要條件是一階變分為零（2）協態方程（1）狀態方程（3）控制方程 （極值條

8、件）（4）端點約束（5）橫截條件思考：1.4 應用變分法求解最優控制問題 用變分法求解連續系統最優控制問題，實際上就是具有等式約束條件的泛函極值問題，只要把受控系統的數學模型看成是最優軌線x(t) 應滿足的等式約束條件即可。1.變分法中的三類基本問題受控系統狀態方程目標泛函為：拉格朗日(Lagrange)問題：梅耶（Mayer)問題：波爾扎（Bolza)問題：2.變分法應用示例已知系統狀態方程邊界條件為：性能指標為：1）寫出H函數2）由控制方程推導u的表達式解:3）求解協態方程4）求解狀態方程5）利用邊界條件求解c c6）寫出最優控制)將代入J求出最優性能指標J 8)寫出最優軌線解畢！上例中當存在端點約束時，如求解步驟1)-4)相同，5）中所需邊界條件的變動為：*橫截條件用于補充所缺邊界條件作業1。系統的狀態方程為：初態 。欲使系統從初態轉移到目標集且使性能指標為最小的最優控制 及最優軌線 。第1章 要點 無約束條件下泛函極值必要條件（歐拉方程，橫截條件）微分型和端