1、關于一元二次方程根與系數的關系復習課第1頁，共34頁，2022年，5月20日，15點5分，星期四復習一元二次方程根與系數的關系推論1推論2第2頁，共34頁，2022年，5月20日，15點5分，星期四說出下列各方程的兩根之和與兩根之積：(1) x2 - 2x - 1=0(3) 2x2 - 6x =0(4) 3x2 = 4(2) 2x2 - 3x + =0 x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0 x1x2=x1x2=0 x1x2= -說一說：在使用韋達定理時，應注意： 、不是一般式的要先化成一般式； 、在使用X1+X2= 時，注意“ ”不要漏寫。（3） 前提是方程有實

2、數根即0第3頁，共34頁，2022年，5月20日，15點5分，星期四幾種常見的求代數式的值第4頁，共34頁，2022年，5月20日，15點5分，星期四引申:1、若ax2bxc0 (a0 0)（1）若兩根互為相反數, （2）若兩根互為倒數, （3）若一根為0, （4）若一根為1, （5）若一根為1, （6）若a、c異號, 補充規律：則b0;則ac;則c0 ;則abc0 ;則abc0;方程一定有兩個實數根.第5頁，共34頁，2022年，5月20日，15點5分，星期四例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2 , 求它的另一個根及k的值。解法一：設方程的另一個根為x1.由韋達定理，得x1

3、 2= k+1x1 2= 3k解這方程組，得x1 =3 k =2答：方程的另一個根是3 , k的值是2。作用1：已知方程一根，求另一根及未知數。第6頁，共34頁，2022年，5月20日，15點5分，星期四例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2 , 求它的另一個根及k的值。解法二：設方程的另一個根為x1.把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0解這方程，得 k= - 2由韋達定理，得x123k即2 x1 6 x1 3答：方程的另一個根是3 , k的值是2。作用1：已知方程一根，求另一根及未知數。第7頁，共34頁，2022年，5月20日，15點5分，星期四解：設方程的兩根分

4、別為 和 ， 則： 而方程的兩根互為倒數 即 所以： 得： 例2.方程 的兩根互為倒數，求k的值。例3.方程3x2+x+k=0的兩根之積為-3,求k的值。解：設方程的兩根分別為x1和x2， 則：x1x2= k=-9第8頁，共34頁，2022年，5月20日，15點5分，星期四例1.已知兩個數的和是1，積是-2，求這兩 個數。 解法一:設兩數分別為x,y則:解得:x=2y=1或 1y=2解法二:設兩數分別為一個一元二次方程的兩根則:求得這兩個數為2和-作用2：已知兩個數的和與積，求兩數第9頁，共34頁，2022年，5月20日，15點5分，星期四例2.已知兩數之和為14，乘積為-51，求這兩數.設這

5、兩數為 m, n， 解：m, n可以看作是方程 x2-14x-51=0的兩個根這兩數為17，-3作用2：已知兩個數的和與積，求兩數第10頁，共34頁，2022年，5月20日，15點5分，星期四作用3：求代數式的值例1、已知2x2-x-2=0的兩根是x1 , x2 。求下列代數式的值。(1) x12+x22 （2） （3） （x1-x2)2解：x1+x2= , x1 x2=-1x12+x22 (x1x2)2 -2x1x2（2）x1+x2= , x1 x2=-1（3）x1+x2= , x1 x2=-1（x1-x2)2=x12+x22-2x1x2=(x1+x2)2-4x1x2第11頁，共34頁，20

6、22年，5月20日，15點5分，星期四作用3：求代數式的值(4) (x1+1)(x2+1) （5）x1-x2 （6）（4）x1+x2= , x1 x2=-1原式=x1x2+x1+x2+1=（5）x1+x2= , x1 x2=-1（6）x1+x2= , x1 x2=-1第12頁，共34頁，2022年，5月20日，15點5分，星期四（7）x1+x2= , x1 x2=-1(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2（8）x1+x2= , x1 x2=-1第13頁，共34頁，2022年，5月20日，15點5分，星期四例2.已知方程的兩個實數根 是且 求k的值。 解：由根與系數的關系得 x1+x2=

7、-k， x1x2=k+2 又 x12+ x2 2 = 4 即(x1+ x2)2 -2x1x2=4 K2 -2(k+2）=4 K2 -2k-8=0 解得：k=4 或k=-2 = K2-4k-8當k=4時， =-80k=4(舍去）當k=-2時，=40 k=-2第14頁，共34頁，2022年，5月20日，15點5分，星期四1.已知a、b是一元二次方程x2+3x-7=0的兩個實數根，求代數式a2+4a+b的值解：a、b是一元二次方程x2+3x-7=0的兩個實數根a2+3a-7=0，a+b=-3，則a2+4a+b=a2+3a+a+b=7-3=4課堂練習作業：已知m、n是方程x2-3x+1=0的兩根，求2

8、m2+4n2-6n+2014的值。第15頁，共34頁，2022年，5月20日，15點5分，星期四2.已知x1、x2是方程x2+(m-2)x+2=0的兩個實數根，求(2+mx1+x12)(2+mx2+x22)的值。解：x12+(m-2)x1+2=0 , x22+(m-2)x2+2=0 x12+2=2x1-mx1 , x22+2=2x2-mx2 又x1x2=2 原式=(2x1-mx1+mx1)(2x2-mx2+mx2) =2x12x2 =4x1x2 =42 =8作業：已知x1、x2是方程x2-2013x+1=0的兩個實數根，求(1-2015x1+x12)(1-2015x2+x22)的值。第16頁，

9、共34頁，2022年，5月20日，15點5分，星期四 3.已知 m2+2m-2009=0，n2+2n-2009=0（mn）求(m-1)(n-1).解:由已知條件得， m, n是方程 x2+2x-2009=0的兩個不相等的實數根，由韋達定理得： m+n=-2, mn=-2009(m-1)(n-1)=mn- (m+n)+1= - 2009-(-2)+1= - 2006課堂練習第17頁，共34頁，2022年，5月20日，15點5分，星期四4.已知3m2-2m-5=0 , 5n2+2n-3=0 .其中m,n為實數，求 的值 。解： 3m2-2m-5=0 與由于m, 的關系沒有給定，故應分兩種情況：當m

10、= 時，當m 時，可知m, 是方程3x2-2x-5=0的兩個根，則綜合，得 或第18頁，共34頁，2022年，5月20日，15點5分，星期四5.已知：x1、x2是方程x2-x+a=0的兩個實數根，且 ，求a的值. 解：據題意得x1+x2=1；x1x2=a3a2+2a-1=0，即又=1-4a0， aa=1/3舍去，a= -1.第19頁，共34頁，2022年，5月20日，15點5分，星期四第20頁，共34頁，2022年，5月20日，15點5分，星期四 7. 已知方程x2+3x+1=0的兩個根為 求 的值。解：第21頁，共34頁，2022年，5月20日，15點5分，星期四 8.已知關于 x 的方程

11、x2+2（m-2）x+m2+4=0 有兩個實數根，并且這兩個根的平方和比兩根的積大21。求m的值。 解=4(m-2)2-4(m2+4) =-16m0 m0 設方程兩個根為x1、x2，則由題意： x1+x2 = -2(m-2) , x1x2 = m+4 x12+x22 - x1x2=21 (x1+x2)2 - 3x1x2 = 21 4(m-2)2 - 3(m2+4) = 21 m2 - 16m - 17 = 0 m1 = -1 ，m2=17（不符合m0，舍去） m = -1 第22頁，共34頁，2022年，5月20日，15點5分，星期四9.當m為何值時，2x2-3mx+2m+3=0的一個根是另一

12、個根的兩倍.解：設兩根分別為則由韋達定理得：2 得第23頁，共34頁，2022年，5月20日，15點5分，星期四10.已知一元二次方程2x2-mx-2m+1=0的兩根的平方和是 ，求的m值 。解：設方程兩根為x1,x2. 則解得：m1=-11, m2=3當m=-11時，方程為2x2+11x+23=0, =112-42230,方程無實數根，m=-11不合題意，舍去當m=3時，方程為2x23x5=0, =(-3)2-42(-5) 0,方程有兩個不相等的實數根.m的值為3第24頁，共34頁，2022年，5月20日，15點5分，星期四11已知x1，x2是關于x的一元二次方程kx2+4x-3=0的兩個不

13、相等的實數根。求k的取值范圍；是否存在這樣的實數k，使 成立？若存在，求k的值；若不存在，請說明理由解：42-4k(-3) 0且k0 k 且k0假設存在. 存在滿足條件的k值，且k=4第25頁，共34頁，2022年，5月20日，15點5分，星期四1.已知關于x的一元二次方程(k-1)x2+(2k+2)x+k=0有兩個不相等的實數根。 求實數k的取值范圍；是否存在實數k，使方程的兩個實數根的倒數和等于？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由。解：（2k+2)2-4k(k-1) 0且k-10 k 且k1假設存在,設方程的兩根為x1，x2 不存在滿足條件的k第26頁，共34頁，2022年，5月20

14、日，15點5分，星期四13.是否存在實數m，使關于x的一元二次方程x2-2(m-2)x+m2=0的兩實數根的平方和為56，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由。解：假設存在,設方程的兩根為x1，x2 x1+x2=2(m-2)=2m-4 , x1x2=m2又x12+x22=56 , (x1+x2)2-2x1x2=56(2m-4)2-2m2=56 即m2-8m-20=0解得：m1=10 ,m2=-2當m=10時，方程為x2-16x+100=0, =(-16)2-41000，方程無實數根， m=10不合題意，舍去當m=-2時，方程為x2+8x+4=0 , =82-440,方程無實數根， m=-2

15、不合題意，舍去不存在滿足條件的m第27頁，共34頁，2022年，5月20日，15點5分，星期四例1.求作一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程 x2-6x+2=0的兩根平方的倒數.解：設方程x2-6x+2=0的兩根為m, n,設所求方程的兩根為x1, x2作用4：求作一個一元二次方程第28頁，共34頁，2022年，5月20日，15點5分，星期四2.甲、乙兩同學解方程x2+px+q=0，甲看錯了一次項系數p，解得根為4和-9；乙看錯了常數項q，解得根為2和3；求原方程。解：甲看錯了一次項系數，解得根為4和-9，得q=4(-9)=-36，乙看錯了常數項，解得根為2和3，得p=-（2+3）=-5則原

16、方程為：x2-5x-36=0，第29頁，共34頁，2022年，5月20日，15點5分，星期四例1：已知方程 x2-2(k-1)x+k2-2=0解：（1）設方程的兩個根為x1,x2，則x1 0 ，x2 0作用5：研究方程根的情況（1）k 為何值時，方程有兩個負數根？第30頁，共34頁，2022年，5月20日，15點5分，星期四例1：已知方程 x2-2(k-1)x+k2-2=0（2）k 為何值時，方程有一正根和負根？解：(2)設方程的兩個根為x1,x2，則x1 0作用5：研究方程根的情況補充規律：一正根，一負根0 x1x20兩個正根0 x1x20 x1+x20兩個負根0 x1x20 x1+x2000第31頁，共34頁，2022年，5月20日，