1、電磁懸浮飛輪轉子系統的模態解耦控制章琦1, 祝長生2(浙江大學 電氣工程學院，浙江 杭州 310027)摘要：電磁懸浮飛輪轉子系統具有較強的陀螺效應，在高速運行時其過高的章動模態頻率成為影響系統穩定運行的一個主要不利因素。因此，需要使用先進的控制方法來對轉子各模態的動態性能進行調節。傳統分散PD控制策略中各模態之間嚴重耦合，難以滿足對轉子各模態的動態性能進行獨立調節的要求。本文基于電磁懸浮飛輪轉子系統的數學模型，首先提出了一種在高速下能夠使電磁懸浮飛輪轉子系統保持穩定運行的模態解耦控制方法，然后對這種方法的解耦效果以及控制的有效性進行了仿真分析，并與傳統分散PD控制的性能進行了比較。結果表明本

2、文提出的模態解耦控制方法可以實現對電磁軸承飛輪轉子系統的轉動模態和平動模態間的解耦，以達到對各個模態的剛度和阻尼進行獨立調節，使電磁懸浮飛輪轉子系統具有更好的動態性能和更強的抗干擾能力的目的。關鍵詞：電磁懸浮飛輪；陀螺效應；模態解耦控制；主動電磁軸承中圖分類號：TH113 文獻標識嗎：A 文章編號：1004-4523(2011)*-“*引 言基金項目：國家高技術發展計劃(“863”計劃)(2006AA05Z201)資助項目收稿日期: 修訂日期: 高速飛輪儲能具有高比能量、長壽命、高效率、無污染等優點，是一種具有廣泛發展前景的電能儲存方式。由于電磁軸承具有動力特性可控、無機械接觸、壽命長、損耗低

3、、無需潤滑等優點，是高速飛輪儲能系統中最常用的轉子支承結構13。高速飛輪儲能轉子系統具有兩個明顯的特點，一是相對于軸承的剛度來講，轉子的剛性較大；另一個是系統具有較強的陀螺效應。所以飛輪轉子系統一般作為剛性轉子系統來處理，這樣會出現轉動和平動兩種剛性模態。飛輪轉子旋轉時，由于飛輪轉子強陀螺效應的作用，轉動模態又會分解為章動模態和進動模態。章動模態的頻率隨轉速同步上升，高速下與轉子轉動同步頻率之比接近于轉子的極轉動慣量與橫向轉動慣量之比。進動模態的頻率則隨轉速上升不斷下降，在高速下趨向于零。理論上章動模態頻率和進動模態頻率的乘積在任何轉速下保持不變4,5。如果電磁軸承系統中各組成部分都是線性系統

4、且沒有時間延遲，則通過傳統分散PD控制策略完全可以滿足飛輪轉子系統對剛度和阻尼的要求，使飛輪轉子高速時在強陀螺效應作用下也能保持穩定運行6,7。但在實際的系統中，功放和傳感器等的帶寬受到限制，造成電磁力響應的時間延遲。而電磁軸承所產生的力場是非保守力場，會向飛輪轉子輸入能量，章動模態的能量就有可能進入正反饋后不斷積累而導致系統失穩。另外，對進動模態而言，隨著模態頻率的不斷下降，控制力對它的阻尼作用也會不斷下降，尤其當控制器包含積分環節時，低頻段的相位超前難以保證，當進動頻率最終進入積分參數起作用的范圍時，進動模態會造成轉子系統失穩8。為了抑制這些不穩定因素，一方面要提高電磁軸承系統各模塊的帶寬

5、，這容易使得控制信號被高頻噪聲嚴重干擾；另一方面要對陀螺效應產生的章動模態和進動模態進行抑制。對于后者，已經提出了多種解決的方法。這些方法可分為兩類，一類是基于現代控制理論的控制方法，如滑模控制9、綜合10、Gain- Scheduled控制11、Cholesky分解降階12、LQR控制1314等，這些算法都比較復雜且運算量大，受硬件條件影響，在工程上不易實現。另一類是基于傳統分散PD控制器的交叉反饋控制方法，其中交叉反饋又可分為位移交叉15、速度交叉1、速度位移交叉16和電磁力超前結合位移交叉17等形式。交叉反饋尤其是速度交叉反饋方法的優點在于結構簡單，只需在傳統分散PD控制基礎上加上交叉反

6、饋部分就可以實現，不足之處在于目前仍然缺乏有效的交叉反饋參數設計方法。另外，在采用傳統分散PD控制時，轉子的轉動模態和平動模態間強烈耦合難以對各模態的特性進行獨立的調節，因此在此基礎上的控制方法都有一定的局限性。本文基于電磁懸浮飛輪轉子系統的數學模型，提出了能夠對電磁懸浮飛輪轉子系統轉動模態和平動模態進行解耦的模態解耦控制方法，以實現對各模態的剛度和阻尼進行獨立控制，能有效地提高電磁懸浮飛輪在高速下的動態特性。1 電磁懸浮飛輪轉子系統數學模型電磁懸浮飛輪轉子系統一般為粗短結構，其彎曲模態的頻率遠高于轉子的工作轉速，忽略轉子彎曲振動的影響，將轉子視為一個剛性轉子系統。雖然飛輪轉子系統中軸向軸承與

7、徑向軸承之間的耦合是存在的，但這種耦合屬于弱耦合，本文忽略了這種影響，重點研究四個徑向自由度上轉子的運動特性。立式電磁懸浮剛性飛輪轉子系統的基本結構如圖1所示。理想情況下，轉子的軸線在兩徑向軸承的中心連線上。為了描述轉子、傳感器和電磁軸承間的相互位置，建立了oxyz主坐標系，其中坐標原點在轉子理想位置的質心c點，z軸在兩徑向軸承中心連線上，x和y與z之間形成右手坐標系。上下徑向電磁軸承A和B的中心到c點的距離分別為和，為正數，為負數；上下傳感器A及B到c點的距離分別為和，為正數，為負數。為了便于分析另外建立了三個徑向平面的坐標系，分別是傳感器坐標系、磁軸承坐標系以及質心坐標系，其原點均在兩徑向

8、軸承的中心連線上。轉子在發生運動時，轉子質心的坐標分別為、及；上下傳感器處的坐標分別為、及；上下電磁軸承處的坐標分別為、及。圖1. 電磁懸浮剛性飛輪轉子系統模型在不考慮外部阻尼以及重力因素影響的條件下，根據轉子動力學理論，容易寫出軸向對稱的電磁懸浮飛輪轉子系統的運動方程為 (1)其中，m為轉子的質量，為轉子繞x及y軸的轉動慣量，為轉子繞z軸的轉動慣量。、及分別為A及B端電磁軸承在x和y方向上的電磁力，為轉子的不平衡偏心距。把方程(1)寫為矩陣的形式為 (2)其中，為轉子系統的質量矩陣，為轉子系統的陀螺效應矩陣，為力臂系數矩陣，為電磁軸承的電磁力向量，為剛性飛輪質心的坐標，為不平衡力向量。一般情

9、況下，無論是C型還是E型磁極結構的電磁軸承所產生的電磁力為線圈電流和定轉子間氣隙的二次函數1，如(3)式所示 (3)其中，為空氣磁導率，為鐵芯與氣隙的橫截面積，為線圈匝數，為線圈電流，為氣隙長度。當結構參數一定，轉子在其靜平衡位置附近作小位移擾動時，則可通過對(3)式在靜態平衡點作Taylor展開，從展開結果中略去高階小量后，這時電磁力就可以表示為電流剛度系數和位移剛度系數的線性函數，從而對電磁力進行線性化控制1,2。由于轉子是垂直放置的，所有磁極上的偏置電流可以取得相同，在上下電磁軸承結構相同的情況下，電磁力可以表示為 (4)其中，為電磁軸承相對于平衡點的位移,為控制電流，為電磁軸承位移剛度

10、系數矩陣，為電磁軸承電流剛度系數矩陣。在電磁軸承的結構參數和工作點的電流和間隙確定后，電磁軸承的電流剛度系數和位移剛度系數都是常數。將(4)式代入(2)式可得 (5)對于剛性轉子來講，軸承位置軸承坐標系的坐標、及與質心坐標系的坐標、及之間的關系為 (6) 故有 (7)令可以得到電磁懸浮剛性飛輪轉子系統用質心坐標系坐標表示的運動方程為 (8)其中, (9)2 模態解耦控制原理模態解耦控制器設計的目的是為了實現電磁懸浮飛輪轉子系統轉動模態和平動模態控制通道之間的相互獨立。首先將輸入模態解耦控制器四個傳感器處的位移信號轉化為轉子質心處平動的位移信號及轉動的角度信號，即將傳感器坐標系坐標、及轉化為質心

11、坐標系坐標、及，這樣就可以直接對轉子各模態進行控制。為便于和傳統分散PD控制器進行比較，模態解耦控制器中仍使用PD控制算法來產生控制信號。由于產生的控制信號的作用點是在轉子質心處，而實際的電磁軸承是位于轉子的兩端。因此還需要將轉子質心處的控制信號轉化為上下電磁軸承處電磁力的控制信號，即將質心坐標系的坐標轉化為軸承坐標系的坐標。最后將得到的電磁力控制信號加上負剛度補償信號后輸入到功率放大器，再由功率放大器產生控制電流來使轉子穩定到給定位置。控制流程如圖2所示。圖2. 模態解耦控制流程圖下面討論模態解耦控制器的具體設計過程及其數學表達式。如式(9)所示，若，即A及B電磁軸承到坐標原點的距離不同，則

12、負剛度矩陣不是對角矩陣，這樣會削弱模態解耦的效果。從物理意義上來看，轉子質心產生一個平移后，會在該平面上兩端軸承位置處產生同樣大小的電磁力，若為不對稱軸承，相對于質心c會產生非零力矩，導致轉子發生轉動。同時也為了使PD控制器的比例和微分參數能更直接的作用于各模態剛度，需要對負剛度進行補償。 如果將輸入功放的電流信號分為模態解耦控制器輸出的電流信號和負剛度補償電流信號兩部分，則控制器輸入給功率放大器的電流信號i為 (10)將式(10)式代入式(8)式可得 (11)由式(11)可知，要對負剛度進行補償，必須要滿足。由于傳感器相對質心的位置已知，故可寫出變換矩陣為 (12)由此可得到，因此的表達式為

13、 (13)下面來討論模態解耦控制器輸出的電流信號的表達式。對控制器的輸入端來講，傳統分散PD控制器輸出的電流信號為 (14)其中，為比例系數矩陣，為微分系數矩陣。傳統分散PD控制器的輸入端是傳感器坐標系信號、及，其與質心坐標系坐標、及之間的關系為 (15)其中為上下傳感器之間的距離。由式(15)可知，控制器中任意一個控制通道輸入的改變都會造成轉子質心處轉動角度和平動位移的改變，這使得轉動模態和平動模態在輸入端就相互耦合。故應將傳感器坐標系的坐標、及轉化為質心坐標系的坐標、及，即將矩陣轉化為矩陣。由前面推導可知，即在傳感器和PD控制器之前再加上一個關系矩陣為的坐標轉換環節。從物理意義來說，就是實

14、現了PD控制算法對各模態偏移信號的直接調節。對輸出端來講，矩陣和的乘積的表達式為 (16)可見，由于不是對角矩陣，所以中存在著轉動模態和平動模態之間的耦合。為了使轉動模態和平動模態在輸出端解耦，同樣需要在輸出路徑上設置一個轉換矩陣使得變為一個對角矩陣。這種對角矩陣的選擇有多種形式，本文令，由此可得 (17)從物理意義上來看，經過輸入端解耦后，控制算法可直接對轉子各模態進行調節，但此時輸出的控制信號作用對象是轉子的質心處，即轉子穩定所需的信號，并不是二個徑向軸承所需產生的電磁力信號。所以必須設置一個轉換模塊，將力矩信號轉化為電磁軸承的電磁力信號。由此便實現了控制器輸入端和輸出端的解耦，最后得到P

15、D控制器的電流指令信號為 (18)結合式(10)、式(13)及式(18)可得 (19)將式(19)代入式(8)可得 (20) (21) (22)其中,及分別為轉動模態控制通道中的比例和微分系數，及分別為平動模態控制通道中的比例和微分系數。由式(20)-(22)可知，平動模態和轉動模態控制通道已經相互獨立，這樣就可以分別通過改變、及來調整各模態的剛度和阻尼。另外還可以看出，此時陀螺矩陣G只對轉動模態控制通道產生耦合影響，對平動模態控制通道沒有任何影響，陀螺耦合效應明顯降低。這樣在控制器帶寬設計方面也可以有不同的考慮，如平動模態控制通道可以設計較低帶寬的控制器以降低噪聲干擾，轉動模態控制通道則由于

16、轉速高時章動模態頻率很高，需要設計較高帶寬的控制器以保證系統的穩定性。模態解耦控制還為其它先進控制算法提供了一個很好的平臺。為了進一步改善系統性能，可以在模態解耦控制的基礎上用先進控制算法代替PD控制器。這里我們簡要分析交叉解耦的方法來實現對轉動模態控制通道進行解耦，此時控制器的平動模態控制通道保持不變，轉動模態控制通道的輸出有所改變。由于在實際系統中并不能百分之百補償，故用一個系數來進行調節，則轉動模態控制通道的表達式為 (23) (24)3 電磁懸浮飛輪轉子系統的模態特性下面我們通過具體的算例來對電磁懸浮飛輪轉子模態特性進行分析。首先對傳統分散PD控制器下的飛輪轉子系統的模態進行分析，設其

17、控制算法為 (25)其中，為各通道的比例增益系數矩陣，為各通道的微分增益系數矩陣，為傳感器坐標系的坐標。將式(25)及式(12)代入式(8)可得 (26)移項得 (27)令，可得 (28)由式(28)可以看出，和分別為分散PD控制器所提供的剛度和阻尼。為了產生位于虛軸的閉環特征值，剛度矩陣必須足夠大以補償負軸承剛度矩陣，并使系統擁有足夠的剛度以保持穩定。阻尼矩陣可以使系統成為漸進穩定系統，即讓閉環特征值全部位于復平面的左半邊。令狀態變量，輸入u為不平衡力向量，輸出，得系統的狀態方程為 (29)其中，為系統的系數矩陣，為輸入矩陣，為輸出矩陣。由矩陣A的階數可知，該狀態方程中有八個特征值及八個特征

18、模態。但是，由于轉子關于軸向對稱，兩個方向上的模態重合，只有四對特征值及四個特征模態。另外，在矩陣A中的陀螺力矩G是隨轉速變化的，這也意味著系統某些特征值也可能會隨轉速發生變化。對稱剛性陀螺轉子系統特征轉速的變化如圖3所示，其中粗實線為同步振動頻率。結果表明，在轉子系統中存在著轉動和平動兩種模態。平動模態描述轉子的質心在x或y方向的移動，轉動軸不存在任何的傾斜，如圖3上細實線所示，該模態頻率不隨轉速變化，即它不受陀螺效應的影響。轉動模態描述轉子圍繞質心的轉動運動，質心不存在任何的位移，如圖3上兩條虛線所示，該模態受陀螺效應影響而分解為兩個隨轉速變化趨勢完全不同的模態，稱為章動模態和進動模態。章

19、動模態進動的方向方向是與轉子轉動方向相同，為正進動模態；而進動模態進動的方向是與轉子的轉動方向相反，為反進動模態。章動模態的頻率隨著轉速的升高不斷增大，在高速下與轉子轉動同步頻率之比接近于轉子與的之比。進動模態的頻率隨著轉速的升高不斷下降，在高速下趨向于0。理論上，章動頻率和進動頻率的乘積不隨轉速變化。因此，我們可以在零轉速下測得章動頻率和進動頻率的乘積，然后利用章動頻率和進動頻率的乘積在其他轉速下保持不變的特性，來對各轉速下的模態頻率進行設計。圖3. 對稱剛性轉子模態頻率隨轉速的變化曲線為了進一步分析飛輪轉子系統的模態特性，圖4給出了系統特征值隨轉速變化的曲線。其中橫軸為特征值實部，虛軸為特

20、征值虛部。特征值的實部表示模態的幅值按指數形式衰減或增大的快慢，特征值的虛部則表示模態的振動頻率。圖中四個圓圈表示飛輪轉子系統在靜止時的特征模態。可見，隨著轉速的增加，章動模態(實線)呈上升趨勢，進動模態(虛線)呈下降趨勢，另外兩個保持不變的是平動模態。在高速下章動模態的頻率很高，受到系統時間延遲的影響后可能會使系統失穩。另外，由于高速下進動模態頻率和阻尼都趨于0，系統的穩定性減弱，這樣當控制器包含積分環節時，如果低頻段的相位超前難以保證，當進動頻率最終進入積分參數起作用的范圍后，進動會造成系統失穩。圖4. 對稱剛性轉子系統特征值隨轉速的變化曲線由前面分析可知，對轉子章動模態的剛度(即頻率)以

21、及進動模態的阻尼進行調節是非常必要的。由于模態剛度和阻尼的調節方法類似，下面僅以對模態剛度的調節為例進行說明。由模態頻率的分析可知，我們可以通過確定零轉速下飛輪轉子系統的轉動模態和平動模態的頻率來大致確定飛輪轉子轉動時各模態頻率的變化曲線。首先，分析傳統PD控制器和模態解耦控制器在零轉速下各模態頻率隨比例增益的變化情況。圖5為在零轉速下傳統分散PD控制的比例增益參數P從5000變到30000，微分增益保持不變時轉動(實線)及平動模態(虛線)頻率的變化情況。可以看出，轉動模態和平動模態頻率都隨著比例增益P的增大而增大。尤其是在轉動模態頻率還是0的時候，平動模態頻率就已經達到150 Hz左右，這樣

22、就很難使其調節到理想的模態頻率值。從上面的模態分析可以看出，傳統分散PD控制不能直接對各模態的剛度和阻尼進行單獨調節，故基于傳統分散PD控制的先進控制算法都有其局限性。圖5. 零轉速下傳統PD控制比例參數P對各模態頻率的影響其次，分析在模態解耦控制下，對零轉速下飛輪轉子系統的各模態頻率的調節能力。圖6及圖7分別為在其它控制參數保持不變情況下，轉動(實線)及平動模態(虛線)頻率隨轉動模態控制通道比例增益參數及平動模態控制通道比例增益參數的變化情況。可見，隨著轉動模態控制通道比例增益參數的增大，轉動模態頻率持續增大，而平動模態頻率始終保持不變。隨著平動模態控制通道比例增益參數的增大，只有平動模態頻

23、率隨之增大，而轉動模態頻率始終保持不變。這樣，轉動及平動兩種模態的控制通道是完全相互獨立，可以通過調節各自控制器的比例增益的大小來對其模態頻率進行調節。圖6. 零轉速下模態解耦控制器轉動模態控制通道比例參數對各模態頻率的影響圖7. 零轉速下模態解耦控制平動模態控制通道比例參數對各模態頻率的影響4 模態解耦控制系統性能分析下面對模態解耦控制的有效性利用進行仿真。仿真中飛輪轉子系統的主要參數來源于實際電磁懸浮飛輪實驗裝置，具體參數為，m=25.8 kg，Jz=0.1151 kgm2，J=0.2388 kgm2，m，m， N/m，ki=37.7 N/A，m。不同控制方式下轉子系統平動模態的控制性能相

24、差不大，而模態解耦控制憑借對模態剛度和阻尼良好的調節能力，對高速下轉子系統的轉動模態有更好的控制性能，這里著重討論對轉動模態的控制問題。首先，按照實際應用中剛度和阻尼的數量級對傳統PD控制器的比例增益和微分增益進行調節。然后，按照所需的各模態剛度和阻尼對模態解耦控制器各參數分別進行調節。這里主要考慮降低高速下轉子系統的章動模態頻率和提高高速下轉子系統的進動模態阻尼。調節完畢后，在轉速為60000 rpm下，分別對傳統分散PD控制和模態解耦控制策略給定同樣的初始狀態偏差，觀察模態量能否快速收斂并保持穩定。設定質心坐標和初始值為0.001，即軸承坐標。圖8及圖9表示傳統分散PD控制方法在高速下可以

25、使系統漸進穩定，但十分緩慢，在實際系統中由于時間延遲作用容易使系統失穩。圖10及11表示模態解耦控制高速下可以使系統快速收斂并保持穩定。可知，模態解耦控制可以有效的改善系統高速下的動態特性。 (a) 轉子A端的運動軌跡 (b) 轉子B端的運動軌跡圖8. 傳統分散PD控制時轉子兩端的運動軌跡圖9. 傳統分散PD控制時轉子在傳感器位置處的位移圖(a) 轉子在A端的運動軌跡 (b) 轉子在B端的運動軌跡圖10. 模態解耦控制時在傳感器位置處的運動軌跡圖11. 模態解耦控制時轉子在傳感器位置處的位移圖接下來對兩種控制方式下磁懸浮飛輪轉子系統抗干擾能力進行仿真分析，轉速依舊設為60000 rpm。將轉子

26、A端x方向傳感器輸出的位移信號加上一個階躍干擾信號后再輸入控制器。階躍干擾信號跳變時間設為0.4 s，終值為0.00025。由于兩種控制方式控制器中都沒有積分環節，故轉子A端x方向最后應該穩定在位移為-0.00025 mm處，其它方向還是穩定在位移為0 mm處。圖12及圖13為使用傳統分散PD控制方法時系統對階躍干擾信號的響應。可知傳統分散PD控制方法可以使高速下受到干擾的系統逐漸趨于穩定，但所需時間較長，且轉子振動較大，在實際系統中由于時間延遲作用容易使系統失穩。圖14及圖15為使用模態解耦控制方法時系統對階躍干擾信號的響應。可知，模態解耦控制方法可使在高速下受到干擾的系統快速地穩定在給定位

27、置，且振動很小。可知，模態解耦控制方法比傳統分散PD控制方法有更強的抗干擾能力。(a) 轉子A端的運動軌跡 (b) 轉子B端的運動軌跡圖12. 傳統分散PD控制時轉子在傳感器位置處的運動軌跡圖13. 傳統分散PD控制時轉子在傳感器位置處的位移圖(a) 轉子A端的運動軌跡 (b) 轉子B端的運動軌跡圖14. 模態解耦控制時轉子在傳感器位置處的運動軌跡圖15. 模態解耦控制時轉子在在傳感器位置處的位移圖5 結論本文從磁懸浮飛輪轉子系統的數學模型出發，提出了模態解耦控制方法，并和傳統分散PD控制方法進行了比較。通過對飛輪轉子的模態特性分析可知，高速下過高的章動模態頻率和過低的進度模態頻率和阻尼都成為

28、影響系統穩定的不利因素，需要對模態剛度和阻尼進行有效的調節。但是，傳統PD控制策略存在轉動模態和平動模態之間嚴重耦合，不能對它們的剛度和阻尼單獨進行調節的不足，導致了高速下傳統分散PD控制策略動態性能較差。而在模態解耦控制策略下，轉動模態控制通道和平動模態控制通道是相互獨立的，這樣就可以分別調節兩個通道的參數來實現對各模態的剛度和阻尼的獨立調節。仿真結果表明，模態解耦控制相比傳統分散PD控制有更好的動態性能和更強的抗干擾能力，在高速下可以更快的收斂并保持穩定。參考文獻：1施韋策G, 布魯勒H, 特拉克斯勒A. 主動磁軸承基礎、性能及應用M. 北京: 新時代出版社, 1997.2Ahrens M

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