1、插值多項式1、 兩點三次Hermite插值問題2.5 Hermite插值多項式2、 一般Hermite插值問題3、 Hermite插值余項例2.12 補充：不完全導數條件的Hermite 插值問題描述三次Hermite插值的構造高次Hermite插值的構造定理1定理2 三次Hermite插值余項補例1 練習 2.5 Hermite插值多項式1、 兩點三次Hermite插值問題 許多實際問題不但要求插值函數p(x)在插值節點處與被插函數f (x)有相同的函數值p (xi)=f (xi) (i=0,1,2,n), 而且要求在有些節點或全部節點上與f(x)的導數值也相等，甚至要求高階導數值也相等，能

2、滿足這種要求的插值問題就稱為埃爾米特插值(Hermite).求3次多項式 使滿足插值條件問題:已知函數表及導數表（1） 三次Hermite插值的構造存在性 給定 f (xi) = yi, f (xi) = mi, i = 0, 1. 設 代入插值條件: H3(xi) = f(xi), H3(xi) = f (xi), i =0,1,得其解存在唯一, 解 出 a0, a1, a2, a3, 代入即得 H3(x).利用拉格朗日插值的基函數法構造設在 處的插值基函數分別為 它們的取值如下表：函數值導數值 或簡記為 基函數法則滿足條件（1）的多項式函數值導數值為 先構造 0(x), 設 0(x) =

3、( + x)(x x1)2 ,為方便計算，可設 0(x1)= 0(x1)=0 先構造 0(x), 設 0(x) = ( + x)(x x1)2 ,為方便計算，可設由 0(x0) = 1, 得 =1；由 所以，同理設 0(x1)= 0(x1)=00(x0)=0(x1)=0, 0(x1)=0綜上可得（2）由 0(x0) =1, 得 =1。所以可得注：我們知道，過 x0, x1 兩點的Lagrange插值基函數為 顯然， 于是，三次Hermite插值的基函數可表為 三次Hermite插值多項式為 容易驗證，當 f(x)C4a, b時, 三次Hermite插值的截斷誤差為 提示：設 作輔助函數 固定x

4、 a, b，則(t) 有三個零點 x0, x1, x, 且 x0, x1為二重零 點。反復應用Rolle定理可證。以上方法推廣到一般情形，給定 n+1個節點 x0, x1,xn 上的函數值 f (xi)和導數值 f(xi) ，可以構造 2n+1 次Hermite插值多項式 高次Hermite插值的構造插值基函數法在n+1個節點函數表及導數表已知其中互異,尋求次多項式使滿足插值條件:2、 一般Hermite插值問題定理1且已知函數表及導數表，如果次多項式滿足插值條件(3).則存在唯一次數不超過類似于拉格朗日插值的基函數構造法，可得Hermite插值基函數 (4)(5)（滿足插值條件(3)的多項式

5、）則有其中3、Hermite插值余項定理2 Hermite插值余項)為Hermite插值多項式， 證明與拉格朗日余項公式證明類似.則三次Hermite插值余項為 設f(x)=lnx，給定f (1)=0, f (2)=0.693147,f (1)=1, f (2)=0.5。用三次Hermite插值多項式H3(x)計算f (1.5)的近似值。解 記x0=1,x1=2, 利用(2)可得得三次Hermite插值多項式由此得f (1.5)的近似值H3(1.5)=0.409074例2.12補例1 給定 f(0) = 1, f(1) = 2, f (0) = 2, 構造二次插值函數。解 (1) 公式法 設 f (1) = m1，由三次Hermite插值公式得， 令 m1 = 0，得到二次Hermite插值函數 P2(x) = x2 + 2x + 1.不完全導數條件的Hermite 插值解 (2) 擴展牛頓法-用牛頓差商表構造Hermite插值 寫