1、一.在0,1區(qū)間上隨機(jī)取一點，將區(qū)間分成兩段.(1) 求分點到區(qū)間任一端點的距離小于的概率；(2)求短的一段與長的一段之比大于的概率。解：設(shè)分點坐標(biāo)為X ，由題意， X U(0,1), 設(shè)A-短的一段與長的一段之比大于則二. 一秘書負(fù)責(zé)5部電話的接聽工作，在同一時刻每部電話需要接聽的概率均為0.3,設(shè)同一時刻有X部電話需要接聽，（1）求同一時刻至少有2部電話需要接聽的概率。(2)求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望與方差。解： 由題意， 三.設(shè)星球A至最近的星球B的距離X（光年）的分布函數(shù)為若，求星球A至最近的星球B的距離大于0.5光年的概率；求B對A的引力，為常數(shù)）的分布函數(shù)。解：（1）若，則， （2）四

2、, 已知(X,Y)的概率密度為，（1）求X、Y的概率密度；（2）問X與Y獨立嗎？解：（1） （2），故與不獨立。 五.設(shè)，（1）若X與Y獨立，,求的概率。(2) 若X與Y的相關(guān)系數(shù)為，求Z1=X+Y和Z2= XY 的相關(guān)系數(shù)（其中、是不為零的常數(shù)）。 解：(1) 若X與Y獨立, ,于是 D(Z1)=D(X+Y)=2D(X)+2D(Y)+=，D(Z2)=D(X-Y)= 2D(X)+2D(Y) -= CoV(Z1 ,Z2)=Cov(X+Y,XY)= 2Cov(X,X) 2Cov(Y,Y)+ Cov(X,Y) Cov(Y,X) = 2 2 六.(15分) 一大批雞蛋中有15%是萊克亨品種，單枚重量(

3、克)服從正態(tài)分布，其余85%是當(dāng)?shù)仄贩N，單枚重量(克)服從正態(tài)分布.(1) 從這批雞蛋中任取1枚，其重量小于60克的概率是多少？（2）從這批雞蛋中抽取500枚，試用中心極限定理近似計算單枚重量大于60克的雞蛋數(shù)不低于80枚的概率是多少？解：(1) 設(shè)A 從這批雞蛋中任取1枚，其重量小于60克,B取到萊克亨品種的雞蛋由全概率公式， （2）設(shè)Z為從這批雞蛋中抽取500枚，其中單枚重量大于60克的雞蛋數(shù)，則,由中心極限定理，七設(shè)總體具有概率密度為 其中是未知參數(shù)，是已知常數(shù)，試根據(jù)來自總體的簡單隨機(jī)樣本，(1)求的極大似然估計.(2)求的極大似然估計。解：樣本的似然函數(shù)為，則 令 得 .（2）關(guān)于嚴(yán)單， 八巖石密度的測量誤差服從正態(tài)分布，在某次巖石密度測定中，檢查了6塊標(biāo)本，測得數(shù)據(jù)如下：0.0987 0.11 0.101 0.0983 0.0997 0.0995 （1）試在水平下檢驗是否可以認(rèn)為平均測量誤差為0.1。(2) 若已知，取 的區(qū)間估計為，問此區(qū)間的置信度是多少？解：（1） 下， 水平的檢驗拒絕域為， 我們有，由此，可得 ，接受，可以認(rèn)為平均測量誤差為0.1。 （2）此區(qū)間的置信度為P9設(shè)，其中隨機(jī)變量服從區(qū)間（0，1）上的均勻分布，證明隨機(jī)過程是平穩(wěn)過程，但不是嚴(yán)平穩(wěn)過程。證明（1） 只與有關(guān)