1、現(xiàn)代金融研討專題GARCH模型.1、金融時(shí)間序列的特點(diǎn)尖峰厚尾Leptokurtosis：金融報(bào)答序列普遍表現(xiàn)出厚尾fat tails和在均值處出現(xiàn)過度的峰度excess peakedness，偏離正態(tài)分布。就投資報(bào)答率而言，其分布的峰度比規(guī)范正態(tài)分布的峰度高。這闡明股票投資比其它行為對(duì)更多的人而言具有同向影響，即市場(chǎng)具有收益時(shí)更多的人會(huì)有收益，市場(chǎng)虧損時(shí)，更多的人會(huì)虧損，迸發(fā)戶和暴跌戶為少數(shù)。 厚尾意味著其動(dòng)搖繼續(xù)時(shí)間較長。動(dòng)搖叢集性volatility clustering和動(dòng)搖集中性 volatility pooling，動(dòng)搖是自相關(guān)的正負(fù)沖擊的非對(duì)稱性：好音訊和壞音訊對(duì)投資者的影響以上

2、的這些特點(diǎn)，傳統(tǒng)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的線性回歸模型是無法處理的?；貧w的結(jié)果能夠是錯(cuò)誤的.1、金融時(shí)間序列的特點(diǎn)實(shí)證結(jié)果闡明：金融資產(chǎn)的報(bào)答率并不完全滿足正態(tài)分布對(duì)深市2000.1.42006.5.9日?qǐng)?bào)答率樣本偏度是0.75，峰度是8.91。由于大多數(shù)的金融資產(chǎn)具有明顯的重尾性，可以采用兩種方法進(jìn)展改良條件分布：ARCH和GARCH尋覓其他分布方式來描畫，主要有t分布，GED分布和g&h分布.峰度K=8.91，大于規(guī)范峰值3，具有尖峰特征，偏度S= 0.750， 具有右厚尾的特征 。 注： 1、偏度Skemness)反映的是序列分布密度對(duì)稱性的目的。 假設(shè)偏度大于0，那么分布是右偏或正偏。反之,假設(shè)偏度

3、小于0，稱分布是左偏或負(fù)偏。它普通是由序列的三階矩計(jì)算.峰度Kurtosis)是用來測(cè)定序列分布的外形，普通以正態(tài)分布的峰度=3為規(guī)范，假設(shè)峰度大于3，那么表示該分布具有尖峰厚尾的特性；反之，假設(shè)峰度小于3，那么表示該分布具有低峰薄尾的特征。假設(shè)峰度值較大，是由于存在大幅度偏離均值的異常值所呵斥的。峰度由序列的四階矩來度量：普通服從正態(tài)分布時(shí)偏度值K應(yīng)有KN(0 ,6/ n) ,在本次檢驗(yàn)中95 %置信度時(shí)的置信區(qū)間應(yīng)為( - 0.0077 , 0.0077) ,0.0077=1.96*6/1520,因此0.7514不在此區(qū)間內(nèi)，故不服從正態(tài)分布。另外，假設(shè)樣本數(shù)據(jù)完全服從規(guī)范正態(tài)分布時(shí),峰度

4、值K應(yīng)有KN(3 ,24/ n) ,在本次檢驗(yàn)中95 %置信度時(shí)的置信區(qū)間為(3 0.031 ,3 +0.031)=(2.969,3.031) ,其中0.031 = 1.96 24/ 1520。而該樣本的峰度值是8.916 ,不在置信區(qū)間內(nèi),因此不服從正態(tài)分布。.金融系列動(dòng)搖的叢集性特征。 如下圖，為上證指數(shù)對(duì)數(shù)日收益率時(shí)間序列圖，從圖中直觀可見，收益率存在著叢集性效應(yīng)(即一次大的動(dòng)搖后往往伴隨著大的動(dòng)搖，一次小的動(dòng)搖后往往伴隨著小的動(dòng)搖)。.2 ARCH模型ARCH，autoregressive conditionally heteroscedastic，自回歸條件異方差模型條件：在時(shí)間序列

5、中，給出不同的時(shí)點(diǎn)的樣本對(duì)于不同時(shí)點(diǎn)的觀測(cè)值，得到殘差的方差是不同的，故方差隨時(shí)間給出的條件而變化，即異方差。自回歸：殘差平方服從AR(p)過程:ut=0+1ut-1+2ut-2+t假設(shè)線性回歸模型的誤差實(shí)踐上是異方差，卻被假定為同方差，這就意味著規(guī)范誤差的估計(jì)值是錯(cuò)誤的。此時(shí)，參數(shù)的估計(jì)量的方差是有偏估計(jì)或者不收斂，是時(shí)變的，統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)和置性區(qū)間就不正確！.普通最小二乘估計(jì)OSL：回歸直線要使得殘差平方和最小。異方差存在時(shí)，普通最小二乘估計(jì)法給誤差方差大的觀測(cè)值以較大的權(quán)重，給誤差方差小的觀測(cè)值以較小的權(quán)重?；貧w結(jié)果：使得殘差平方和最小，故產(chǎn)生一個(gè)后果，只需方差大的那部分?jǐn)?shù)據(jù)得到很好的擬合，這

6、樣普通最小二乘不再是有效的參數(shù)估計(jì)量的方差不再是最小的方差。這樣由OSL估計(jì)得到的參數(shù)估計(jì)量的方差是“偽方差，無法證明回歸參數(shù)與真實(shí)值的關(guān)系。.單指數(shù)模型的偽回歸：中國銀行.單指數(shù)模型的偽回歸：中國銀行.2.1 條件矩條件均值對(duì)于時(shí)間序列x的每個(gè)值都存在一個(gè)時(shí)間序列y的條件分布了解：條件期望是關(guān)于隨機(jī)變量X的值的函數(shù)，對(duì)于X不同的取值，條件期望也是不同，即E(y|x)為隨機(jī)變量。.所謂條件期望值函數(shù)，也就是因變量對(duì)自變量的回歸。在本例中，也就是y對(duì)x的回歸條件均值是x的函數(shù)，假設(shè)X是一個(gè)分布，那么條件均值也是一個(gè)分布?；貧w與條件均值.2.2 ARCH模型的導(dǎo)出留意：ut是一個(gè)白噪聲，其無條件方

7、差是一個(gè)常數(shù)。但是ut的條件方差隨時(shí)間而變化，假設(shè) 服從AR(1)過程模型的稱號(hào)來源.正態(tài)-ARCHq或者或者.隨機(jī)過程的平穩(wěn)性平穩(wěn)性：假設(shè)隨機(jī)過程的隨機(jī)特征如均值，方差不隨時(shí)間發(fā)生變化，那么稱該過程是平穩(wěn)。區(qū)別：條件方差是時(shí)變的，故其為一個(gè)分布，但是該分布卻是平穩(wěn)的，即平穩(wěn)隨機(jī)過程的隨機(jī)性質(zhì)不隨時(shí)間而變。平穩(wěn)性的優(yōu)點(diǎn)：1可用系數(shù)方程將時(shí)間序列的模型化；2方程的系數(shù)可以利用序列的過去數(shù)據(jù)來估計(jì)得到.2.3 ARCH1模型的參數(shù)約束由殘差序列的平穩(wěn)性可知.ARCH的參數(shù)的約束殘差序列ut的無條件峰度K該ARCH模型估計(jì)的殘差序列的無條件分布具有尖峰厚尾特性，進(jìn)一步.ARCH與厚尾性參看均值方程的

8、情形，假設(shè)假設(shè)某資產(chǎn)的報(bào)答率滿足由于均值方程中只需殘差是隨機(jī)過程，那么有以上闡明，利用ARCH可以描畫報(bào)答序列的厚尾性！.實(shí)證：中石化ARCH1.ARCH的缺陷ARCH模型對(duì)參數(shù)的限制非常嚴(yán)厲。ARCH1對(duì)于參數(shù)給出的非常嚴(yán)厲的限制，并且隨著ARCH階數(shù)的添加，其限制將更為復(fù)雜，在實(shí)踐的回歸過程中，能夠很難滿足這樣的條件。ARCH1描畫金融時(shí)間序列是不夠的，ARCHP需求大量的參數(shù)估計(jì)，且要保證一切的參數(shù)均滿足參數(shù)約束是很困難的，以及保證顯著性是很困難的。如今，ARCH主要是用來檢驗(yàn)金融時(shí)間序列能否具有條件異方差效應(yīng)，即ARCH檢驗(yàn)。.2.4 ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)1進(jìn)展均值方程的回歸，可以采用普通

9、的一元或者多元回歸，或者是AR(n)的均值方程，均值方程的構(gòu)建取決于金融學(xué)的研討目的AR(m)-ARCHp或者.ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)2根據(jù)ARCH模型的定義因此，首先由均值方程得到殘差，然后對(duì)其取平方，最后斷定上述的各個(gè)參數(shù)能否顯著不為零.因此，一個(gè)結(jié)合的零假設(shè)檢驗(yàn)，其一切q階殘差平方的系數(shù)不能顯著地異于零，因此，可以采用F統(tǒng)計(jì)量進(jìn)展參數(shù)的結(jié)合檢驗(yàn)。假設(shè)因變量全部由殘差得到了解釋，這就闡明回歸系數(shù)是不顯著的。.ARCH效應(yīng)的檢驗(yàn)：中國銀行ARCH Test:F-statistic12.02976Probability0.000000Obs*R-squared35.92259Probability0

10、.000000Test Equation:Dependent Variable: RESID2Method: Least SquaresDate: 01/22/07 Time: 17:23Sample (adjusted): 6 132Included observations: 127 after adjustmentsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.C 0.000118 7.33E-05 1.604891 0.1111RESID2(-1)0.2492160.0884882.8163700.0057RESID2(-2)0.018758

11、0.0804930.2330380.8161RESID2(-3)0.4786840.0804625.9491670.0000RESID2(-4)-0.2053100.088212-2.3274670.0216.3 GARCH模型廣義的ARCH模型Generalized autoregressive conditionally heteroscedastic是由Engle的學(xué)生Bollerslev1986和Taylor1986各自獨(dú)立的開展起來的。GARCH模型允許條件方差依賴本身的前期，最簡單為GARCH(1,1)類似地，GARCHp，q.GARCH模型的優(yōu)點(diǎn)GARCH模型僅僅包含三個(gè)參數(shù)就可

12、以表達(dá)ARCH存在的無窮多個(gè)參數(shù)的方程。.3.1 GARCH的參數(shù)約束由ARCH模型可知將上式代入GARCH模型有.在ARCH模型中，無條件方差為那么在GARCH模型中，無條件方差為.類似地，在ARCH模型中峰度K那么在GARCH模型中峰度K.3.2 正態(tài)-GARCH極大似然估計(jì)完好的GARCH模型分為均值方程和方差方程均值方程可以設(shè)定要根據(jù)不同的意義設(shè)定或者.3.2 GARCH極大似然估計(jì).3.2 GARCH極大似然估計(jì)由于時(shí)間序列y抽樣的時(shí)候是獨(dú)立，那么對(duì)于一切的結(jié)合概率密度函數(shù)有f(y)，等于邊沿密度的乘積闡明：對(duì)于三個(gè)獨(dú)立的事件A、B和c同時(shí)發(fā)生的概率是A、B和C三者概率的乘積。同樣在

13、從時(shí)間序列抽取的樣本中，這些樣本既然被抽取了，便表示他們同時(shí)發(fā)生了，似然函數(shù)就是同時(shí)發(fā)生的概率。.將似然函數(shù)取對(duì)數(shù)，構(gòu)造對(duì)數(shù)似然函數(shù).建立似然方程運(yùn)用osl回歸得到初始參數(shù)的值，作為迭代的初始值選擇對(duì)條件方差參數(shù)的一些初始值。如設(shè)定為無條件方差，或者0設(shè)定收斂準(zhǔn)那么，對(duì)于Eviews默許的收斂為0.001算法：Berndt等1974提出的BHHH算法.中石化：正態(tài)-GARCH1，1.中石化：osl回歸.3.3 GARCH滯后階數(shù)的選擇在模型回歸參數(shù)顯著的根底上，為了挑選最優(yōu)秀的模型其斷定的準(zhǔn)那么是AIC準(zhǔn)那么Schwarz準(zhǔn)那么l為對(duì)數(shù)似然值，T為樣本數(shù)量，K為參數(shù)的個(gè)數(shù).中石化：正態(tài)-GAR

14、CH滯后階數(shù)選擇.GARCH回歸后的殘差檢驗(yàn).4 GARCH方差預(yù)測(cè)經(jīng)過回歸得到GARCH參數(shù)，以及根據(jù)t時(shí)辰的殘差和方差來預(yù)測(cè)t+1時(shí)辰條件方差留意：t時(shí)辰前，由樣本回歸得到參數(shù)，推斷樣本外的方差1步預(yù)測(cè)方程為對(duì)于n步預(yù)測(cè)，推導(dǎo)如下均值方程得到.對(duì)于兩步預(yù)測(cè)，只能采用t時(shí)辰推斷出的t+1時(shí)辰的方差來估計(jì)，給出的僅僅是其期望方式下的方差.GARCH方差預(yù)測(cè)：中石化自回歸樣本外預(yù)測(cè)：總共樣本有227個(gè)2006/01/04 2007/01/19，回歸只用了217個(gè)樣本2006/01/04 2007/01/04，剩下的10天經(jīng)過預(yù)測(cè)得到樣本外預(yù)測(cè)經(jīng)過回歸得到以下方程.預(yù)測(cè)結(jié)果日期 樣本外預(yù)測(cè)實(shí)際條件

15、方差 2007/01/080.0011260.001293 2007/01/090.0011250.001195 2007/01/100.001101260.001762 2007/01/110.001078000.001604 2007/01/120.001056040.001789 2007/01/150.001035330.002122 2007/01/160.001015780.001942 2007/01/170.000997340.001753 2007/01/180.000979930.001688 2007/01/190.000963510.001561.ARCH類模型的其它模

16、型1、均值自回歸條件異方差模型ARCH-M模型 在金融運(yùn)用中，人們很自然地會(huì)假定資產(chǎn)的預(yù)期收益率與資產(chǎn)預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)是成比例的，即通常所說的風(fēng)險(xiǎn)越大，收益越大，所以人們將條件方差或條件規(guī)范差作為外生變量或前定變量引入到均值方程中。而根據(jù)條件均值方程的不同，將ARCH模型分為普通ARCH模型和ARCH-M模型，即均值自回歸方程。其模型如下：與普通ARCH模型的主要區(qū)別在于收益方程不同，思索了風(fēng)險(xiǎn)情況。其中A代表風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)。.2、指數(shù)GARCH模型 (EGARCH) EGARCH模型中條件方差采用了自然對(duì)數(shù)，意味著 非負(fù)，且杠桿效應(yīng)是指數(shù)型的；模型的另一個(gè)重要特征就在于引入一個(gè)參數(shù)， 假設(shè)0，闡明信息作用非對(duì)