1、高考資源網（ ），您身邊的高考專家 PAGE 歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。 PAGE 19高考資源網（ ），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。 河南名校聯盟20212022學年高二（下）期中考試數學（理科）第卷（選擇題 共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 已知，則“”是“方程表示雙曲線”的（ ）A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先由方程表示雙曲線解出的范圍，再由充分性、必要性的定義判斷即可.【詳解】由方程表示雙曲線可得，解得

2、，顯然能推出，反之不能推出，故“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件.故選：A.2. 已知復數滿足（i為虛數單位），復數的共軛復數為，則（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】先求出，再由復數的運算求出，結合共軛復數及復數的乘法即可求解.【詳解】，故，則，.故選：B.3. 已知a，則下列不等式中一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用作差法逐一判斷符號即可求解.【詳解】對于A：，因為，所以，但的正負不確定，所以不一定成立，即選項A錯誤；對于B：，因為，所以，但的正負不確定，所以不一定成立，即選項B錯誤；對于C：，因為，所以，所以一定成立

3、，即選項C正確；對于D：，因為，所以，但的正負不確定，所以不一定成立，即選項D錯誤.故選：C.4. 已知，且，則三個數（ ）A. 都小于B. 至少有一個不小于C. 都大于D. 至少有一個不大于【答案】B【解析】【分析】先求出，通過反證法證得都小于不成立，即可得出結果.【詳解】，假設都小于，則，與題設矛盾，故假設不成立，即至少有一個不小于.故選：B.5. 已知函數，其中e為自然對數的底數，.若曲線在處的切線與直線平行，則實數a的值為（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】先求導得到，再利用斜率相等解方程即可求解.【詳解】，則，又直線的斜率為，故，解得.故選：A.6. 用數學歸

4、納法證明“”過程中，從到時，不等式的左邊增加了的項數為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據題意分別列出、時不等式左邊，對比判斷【詳解】由題意知，假設時，不等式左邊為當時，不等式左邊為，相比時增加了，共項故選：C7. 在2022年2月北京冬奧會短道速滑男子500米項目決賽前，某家庭中的爸爸、媽媽和孩子對進入決賽的甲、乙、丙、丁、戊五位選手誰能奪冠進行猜測，依據運動員的實力和比賽規則，這五位選手都有機會獲得冠軍.爸爸：冠軍是甲或丙；媽媽：冠軍一定不是乙和丙；孩子：冠軍是丁或戊.比賽結束，冠軍在這五人中產生，且爸爸、媽媽、和孩子三人之中只有一人的猜測是正確的，則冠軍是（ ）A

5、. 甲B. 丙C. 丁D. 戊【答案】B【解析】【分析】假設孩子的猜測正確，推出不成立，再假設媽媽的猜測正確，推出不成立，進而得到爸爸的猜測正確，即可求解.【詳解】若孩子的猜測是正確的，則媽媽的猜測也正確，不合題意，故孩子的猜測是錯誤的，即冠軍不是丁也不是戊；若媽媽的猜測是正確的，則冠軍是甲，爸爸的猜測也正確，不合題意，故媽媽的猜測是錯誤的，即冠軍是乙或丙；爸爸的猜測是正確的，故冠軍是丙.故選：B.8. 觀察等式：，.若第n個等式為，則滿足不等式恒成立的最大正整數的值為（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】依題意可得，再參變分離得到，結合二次函數的性質及的取值范圍，求

6、出的取值范圍，即可得解；【詳解】解：由題意得，恒成立，在上單調遞增，又，時取最小值為7，即的取值范圍為，故最大正整數的值為故選：B9. 若是函數（其中e為自然對數的底數）的一個極值點，則在區間上的最大值為（ ）A. B. C. eD. 【答案】D【解析】【分析】先求導由解出，再檢驗滿足是一個極值點，確定函數在區間上的單調性，比較極大值及端點值即可求出最大值.【詳解】，由是一個極值點可得，解得，此時，故函數在單減，在單增，滿足是一個極值點. 在單減，在單增，又，故最大值為.故選：D.10. 在數列中，且.表示不超過x的最大整數，若，數列的前n項和為，則（ ）A. 2B. 3C. 2022D. 2

7、023【答案】B【解析】【分析】先由得到為等差數列，求出的通項，再由累加法求出，直接計算，再求得當時，即可求解.【詳解】由可得，故為公差為2的等差數列，首項為，則，將以上各式相加得，故，也符合，故，易得，當時，故，故，故.故選：B11. “楊輝三角”是中國古代數學文化的瑰寶之一，最早出現在中國南宋數學家楊輝于1261年所著的詳解九章算法一書中，法國數學家帕斯卡在1654年才發現這一規律.“楊輝三角”揭示了二項式系數在三角形數表中的一種幾何排列規律，如圖所示.則下列關于“楊輝三角”的結論正確的是（ ）A. B. 在第2022行中第1011個數最大C. 第6行的第7個數、第7行的第7個數及第8行的

8、第7個數之和等于9行的第8個數D. 第34行中第15個數與第16個數之比為2：3【答案】C【解析】【分析】A選項由及即可判斷；B選項由二項式系數的增減性即可判斷；C選項由及即可判斷；D選項直接計算比值即可判斷.【詳解】由可得，故A錯誤；第2022行中第1011個數為，故B錯誤；，故C正確；第34行中第15個數與第16個數之比為，故D錯誤.故選：C.12. 已知實數a，b滿足，且，e為自然對數底數，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由得到，構造函數，確定函數的單調性及最值，得到，即可判斷A選項；由化簡即可判斷D選項；令即可判斷C選項；構造函數由極值點偏移即可判斷B選項.

9、【詳解】由，對兩邊取對數得，令，則，當時，單調遞減；當時，單調遞增，故，又時，時， ，即，結合圖像可知，故A錯誤；易得，即，即，故，D錯誤；當時，故，C錯誤；令，則，又，由可得，故，故在上單調遞減，故，即，即，又，故，又，由上知時， 單調遞增，故，即，B正確.故選：B.【點睛】本題關鍵點一在于由得到，進而構造函數，確定函數的單調性及最值，進而判斷A、C、D選項；關鍵點二在于構造函數由極值點偏移判斷B選項.第卷（非選擇題 共90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 全國新高考方案為“”模式，其中“3”為語文、數學、外語三門必考科目，“1”為首選科目，學生須在物理、歷史中選擇

10、一科，“2”為再選科目，學生可在化學、生物、政治、地理中選擇兩科.現甲、乙兩名同學要從四門再選科目中各選兩門進行學習，若甲、乙不能同時選地理學科，則甲、乙總的不同的選法有_種.（用數字作答）【答案】27【解析】【分析】分甲乙都不選地理學科，甲選地理學科，乙選地理學科分別計算，最后相加即可.【詳解】若甲乙都不選地理學科，則有種；若甲選地理學科，則有；若乙選地理學科，則有；故總共有種.故答案為：27.14. 若的展開式中的系數為21，則a_【答案】【解析】【分析】利用二項式定理展開式的通項公式求解.【詳解】解：由二項式定理展開式的通項公式得：，令，解得r2，所以展開式中含的項為：，由的系數，解得，

11、所以，故答案為：15. 已知，分別為雙曲線的左、右焦點，P為漸近線上一點，若，且，則該雙曲線的離心率為_.【答案】【解析】【分析】先在中利用余弦定理求出，再利用勾股定理判斷為直角三角形，再利用直角三角形求出的值，再利用進行求解.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，設，在中，因為，所以，即，且為直角三角形；所以在中，所以，則雙曲線的離心率為.故答案為：.16. 若函數不存在零點，則實數a的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】根據題意，將問題轉化為方程無實數根，進而構造函數，研究函數的最值即可得答案.【詳解】解：因為函數不存在零點，所以方程無實數根，所以方程無實數根，即方程無實數根，故令，令，故恒成立

12、，所以，在上單調遞減，由于，所以，當時，即，當時，即，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以，當方程無實數根時，即可.所以，實數a的取值范圍是故答案為：三、解答題：第17題10分，其余每題12分，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. 在中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，且.（1）求角A的大小；（2）若，求ABC的面積.【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）由正弦定理得，化簡求得，進而求出，即可求解；（2）先由余弦定理求出，再由面積公式求解即可.【小問1詳解】由正弦定理得，即，化簡得，又，故，即，又，故；【小問2詳解】由余弦定理得，即，解得，故ABC的

13、面積為.18. 已知復數，其中i是虛數單位，.設p：復數z在復平面內對應的點位于第四象限；.（1）當p為真命題時，求實數m的取值范圍；（2）若命題“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，求實數m的取值范圍.【答案】（1）； （2）或【解析】【分析】（1）直接由點位于第四象限得到不等式求解即可；（2）先求出為真為真時對應的m的取值范圍，再分真假和真假討論求解即可.【小問1詳解】當p真命題時，可得，解得；所以m的范圍為【小問2詳解】當為真命題時，解得，若命題“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，可得命題一真一假，當真假時，可得，故或；當真假時，可得，無解.綜上可得實數m取值范圍為或.19. 有7

14、本相同的筆記本作為獎品頒發給甲、乙、丙三名同學.（1）若先將這7本筆記本分成3份，每份至少1本，有多少種不同的分法？（2）若甲、乙、丙三名同學每人至少獲得1本，并且丙同學最多獲得3本，有多少種不同的分法？（3）若這7本筆記本分別被老師寫上了不同的頒獎詞，并且要求甲同學恰好得到2本，乙同學至少得到1本，丙同學至少得到1本且不超過3本，有多少種不同的分法？【答案】（1）4； （2）12； （3）525【解析】【分析】（1）直接列舉出有4種分法即可；（2）先討論丙，再列舉出甲乙的分法，由分類加法求解即可；（3）先從7本中選2本給甲，再分乙2本丙3本，乙3本丙2本，乙4本丙1本，分類討論，最后由分類加

15、法原理和分步乘法原理求解即可.【小問1詳解】因為7本筆記本相同，故有4種分法；【小問2詳解】若丙分得3本，則甲乙分剩下的4本，有3種分法；若丙分得2本，則甲乙分剩下的5本，有4種分法；若丙分得1本，則甲乙分剩下的6本，有5種分法；故共有種分法；【小問3詳解】因為7本筆記本不相同，先從7本中選2本給甲有種；剩下的5本中，若乙2本丙3本，有種，若乙3本丙2本，有種，若乙4本丙1本，有種，共有種，總共有種.20. 如圖，已知四棱錐的底面ABCD是矩形，底面ABCD，M為BC的中點，且.（1）求四棱錐的體積；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用三角形相似列方程即可求

16、得長，然后利用棱錐的體積公式進行求解即可；（2）建立空間直角坐標系，以向量法去求面的法向量與面的法向量的夾角的正弦值.【小問1詳解】連接BD，交AM于E，面，面，則又，則面，又面，則，則有，則，又，即，解之得，即，所以，四棱錐的體積為.【小問2詳解】以D為原點，分別以DA、DC、DP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系如圖：則，設平面的法向量為則，即，令，則即，設平面的法向量為則，即，則，令，則即，則又，則21. 已知，分別是橢圓的左、右焦點，點，在直線的同側，且點，到直線l的距離分別為，.（1）若橢圓C的方程為，直線l的方程為，求的值，并判斷直線l與橢圓C的公共點的個數；（2）若直線l與

17、橢圓C有兩個公共點，試求所需要滿足的條件；（3）結合（1）和（2），試寫出一個能判斷直線l與橢圓C有公共點的充要條件（不需要證明）.【答案】（1）；1個公共點； （2）； （3），證明見解析.【解析】【分析】（1）直接由點到直線的距離公式求出，聯立直線與橢圓方程，由判斷交點個數即可；（2）先由點到直線的距離公式表示出，聯立直線與橢圓方程，由解得，進而求出的范圍即可；（3）直線l與橢圓C有公共點的充要條件是，先由點到直線的距離公式表示出，聯立直線與橢圓方程，有公共點等價于，解得，進而求出的范圍即可；即可證明.【小問1詳解】由題意知：，直線l的方程為，則，；聯立直線與橢圓方程得，故直線l與橢圓C有1個公共點；【小問2詳解】由題意知：，直線l的方程為，點，在直線的同側，則，；聯立直線與橢圓方程得，由直線l與橢圓C有兩個公共點，可得，即，即，故，故；【小問3詳解】直線l與橢圓C有公共點的充要條件是，證明如下：由（2）知；聯立直線與橢圓方程得，直線l與橢圓C有公共點，等價于，即，即，故，故.22. 已知函數，其中e為自然對數的底數.（1）求函數的