1、第第一一章章 建立數學模型建立數學模型1.1 從現實對象到數學模型從現實對象到數學模型1.2 數學建模的重要意義數學建模的重要意義1.3 數學建模示例數學建模示例1.4 數學建模的方法和步驟數學建模的方法和步驟1.5 數學模型的特點和分類數學模型的特點和分類1.6 怎樣學習數學建模怎樣學習數學建模玩具、照片、飛機、火箭模型玩具、照片、飛機、火箭模型 實物模型實物模型水箱中的艦艇、風洞中的飛機水箱中的艦艇、風洞中的飛機 物理模型物理模型地圖、電路圖、分子結構圖地圖、電路圖、分子結構圖 符號模型符號模型模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉

2、出來的進行簡縮、抽象、提煉出來的原型原型的替代物的替代物模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人們需要的那一部分特征中人們需要的那一部分特征1.1 從現實對象到數學模型從現實對象到數學模型我們常見的模型我們常見的模型你碰到過的數學模型你碰到過的數學模型“航行問題航行問題”用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx答：船速每小時答：船速每小時20千米千米/ /小時小時. .甲乙兩地相距甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順水航行需千米，船從甲到乙順水航行需30小時，小時，從乙到甲逆水航行需從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多

3、少小時，問船的速度是多少?x =20y =5求解求解航行問題航行問題建立數學模型的基本步驟建立數學模型的基本步驟 作出簡化假設（船速、水速為常數）；作出簡化假設（船速、水速為常數）； 用符號表示有關量（用符號表示有關量（x, y表示船速和水速）；表示船速和水速）； 用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以 時間）列出數學式子（二元一次方程）；時間）列出數學式子（二元一次方程）； 求解得到數學解答（求解得到數學解答（x=20, y=5）；）； 回答原問題（船速每小時回答原問題（船速每小時20千米千米/小時）。小時）。數學模型數學模型 (Mathematical

4、 Model) 和和數學建模（數學建模（Mathematical Modeling)對于一個對于一個現實對象現實對象，為了一個，為了一個特定目的特定目的，根據其根據其內在規律內在規律，作出必要的，作出必要的簡化假設簡化假設，運用適當的運用適當的數學工具數學工具，得到的一個，得到的一個數學結構數學結構。建立數學模型的全過程建立數學模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數學模型數學模型數學數學建模建模1.2 數學建模的重要意義數學建模的重要意義時代特點：時代特點：2、數學以空前的廣度和深度向一切領域滲透。、數學以空前的廣度和深度向一切領域滲透。數學建模作為用數

5、學方法解決實際問題的第一步，數學建模作為用數學方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視。越來越受到人們的重視。 在一般工程技術領域數學建模仍然大有用武之地；在一般工程技術領域數學建模仍然大有用武之地； 在高新技術領域數學建模幾乎是必不可少的工具；在高新技術領域數學建模幾乎是必不可少的工具； 數學進入一些新領域，為數學建模開辟了許多處女地。數學進入一些新領域，為數學建模開辟了許多處女地。1、電子計算機的出現及飛速發展、電子計算機的出現及飛速發展數學建模的具體應用數學建模的具體應用 分析與設計分析與設計 預報與決策預報與決策 控制與優化控制與優化 規劃與管理規劃與管理數學建模計算機技術知識經

6、濟知識經濟如虎添翼如虎添翼1.3.1 例例1 1 高跟鞋問題高跟鞋問題女孩子都愛美，你知道你穿鞋跟女孩子都愛美，你知道你穿鞋跟多高的鞋子看起來最美嗎？多高的鞋子看起來最美嗎？1.3 數學建模示例數學建模示例 穿高跟鞋是為了身高在視覺上得到增加，穿高跟鞋是為了身高在視覺上得到增加，但是身高越高看起來越美嗎？但是身高越高看起來越美嗎？理解問題理解問題 由黃金分割原理，我們不妨假定，當人由黃金分割原理，我們不妨假定，當人的下肢和身高的比為的下肢和身高的比為0.6180.618時，看起來時，看起來最美。最美。合理化假設合理化假設 設某人身高為設某人身高為h h厘米，下肢長厘米，下肢長l l厘米，高跟厘

7、米，高跟鞋的鞋跟為鞋的鞋跟為x x厘米。厘米。轉化為數學問題轉化為數學問題 穿上高跟鞋后，身高為穿上高跟鞋后，身高為h+xh+x厘米，厘米，下肢長下肢長l+xl+x厘米。厘米。618. 0 xhxl 得到一個關于得到一個關于x x的一次方程：的一次方程：問題的求解問題的求解 解該一次方程，得：解該一次方程，得：382. 0618. 0lhx問題的檢驗問題的檢驗 以身高以身高168CM168CM，下肢長為，下肢長為102CM102CM的人為例，的人為例，其所穿鞋的鞋跟高度與好看程度的關系可其所穿鞋的鞋跟高度與好看程度的關系可由下表說明：由下表說明：原比原比(l/h)身高身高(cm) 鞋跟高度鞋跟

8、高度(cm) 新比值新比值問題的檢驗問題的檢驗 又如，按照上述模型，身高又如，按照上述模型，身高153CM153CM，下肢，下肢長為長為92CM92CM的女士，應穿鞋跟高為的女士，應穿鞋跟高為6.6CM6.6CM的的高跟鞋顯得比較美。高跟鞋顯得比較美。評價和應用評價和應用 由此看來，女孩們愛穿高跟鞋是有科由此看來，女孩們愛穿高跟鞋是有科學依據的，也使人聯想到為什么人們學依據的，也使人聯想到為什么人們觀看芭蕾舞的時候有一種美的感受，觀看芭蕾舞的時候有一種美的感受，可當你看踩高翹表演時就沒有這種感可當你看踩高翹表演時就沒有這種感覺。覺。 這下女生知道應該如何選擇合適的高這下女生知道應該如何選擇合適

9、的高跟鞋了吧！跟鞋了吧！1.3.2 如何最省料？如何最省料？問題：現要用問題：現要用100100* *5050厘米的板料裁剪出規格為厘米的板料裁剪出規格為4040* *4040厘米與厘米與5050* *2020的零件，前者需要的零件，前者需要2525件，后者需要件，后者需要3030件，件，問如何裁剪才能最省料？問如何裁剪才能最省料？解：先設計幾個裁剪方案，如圖在解：先設計幾個裁剪方案，如圖在100100* *5050的板料上的板料上可裁剪出兩塊可裁剪出兩塊4040* *4040厘米的零件盒一塊厘米的零件盒一塊5050* *2020厘米的厘米的零件（圖中分別用零件（圖中分別用A,B,CA,B,C

10、表示），或一塊表示），或一塊4040* *4040厘米厘米的零件盒三塊的零件盒三塊5050* *2020厘米的零件，或五塊厘米的零件，或五塊5050* *2020厘米厘米的零件。的零件。顯然，若只用其中一個方案，都不是最省料的方法，顯然，若只用其中一個方案，都不是最省料的方法，最佳方法應該是三個方案的優化組合。設方案最佳方法應該是三個方案的優化組合。設方案i i使用使用原材料（原材料（Xi=1,2,3Xi=1,2,3），共用原材料），共用原材料f f件，則根據題意，件，則根據題意，可用如下數學式子表示：可用如下數學式子表示：背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 19

11、87 1999人口人口(億億) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增長概況世界人口增長概況中國人口增長概況中國人口增長概況 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(億億) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口變化規律研究人口變化規律控制人口過快增長控制人口過快增長1.3.3 如何預報人口的增長如何預報人口的增長指數增長模型指數增長模型馬爾薩斯提出馬爾薩斯提出 ( (1798) )常用的計算公式常用的計算公式kkrxx)1 (0 x(t) 時刻時刻t的的人口人口基本假設基本假設 : 人口人

12、口(相對相對)增長率增長率 r 是常數是常數trtxtxttx)()()(今年人口今年人口 x0, 年增長率年增長率 rk年后人口年后人口0)0(,xxrxdtdxrtextx0)(trextx)()(0trx)1 (0隨著時間增加，人口按指數規律無限增長隨著時間增加，人口按指數規律無限增長指數增長模型的應用及局限性指數增長模型的應用及局限性 與與19世紀以前歐洲一些地區人口統計數據吻合世紀以前歐洲一些地區人口統計數據吻合 適用于適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用于短期人口增長預測可用于短期人口增長預測 不符合不符合19世紀后多數地區人口增長規律世紀后

13、多數地區人口增長規律 不能預測較長期的人口增長過程不能預測較長期的人口增長過程1919世紀后人口數據世紀后人口數據人口增長率人口增長率r r不是常數不是常數( (逐漸下降逐漸下降) )阻滯增長模型阻滯增長模型( (Logistic模型模型) )人口增長到一定數量后，增長率下降的原因：人口增長到一定數量后，增長率下降的原因：資源、環境等因素對人口增長的阻滯作用資源、環境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數量增加而變大且阻滯作用隨人口數量增加而變大假設假設) 0,()(srsxrxrr固有增長率固有增長率(x很小時很小時)xm人口容量（資源、環境能容納的最大數量）人口容量（資源、環境能容納

14、的最大數量）)1 ()(mxxrxrr是是x的減函數的減函數mxrs 0)(mxrrxdtdx)1 ()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0 xmxm/2xmx txxxemmrt( )()110tx0 x(t)S形曲線形曲線, x增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/2阻滯增長模型阻滯增長模型( (Logistic模型模型) )參數估計參數估計用指數增長模型或阻滯增長模型作人口用指數增長模型或阻滯增長模型作人口預報，必須先估計模型參數預報，必須先估計模型參數 r 或或 r, xm 利用統計數據用最小二乘法作擬合利用統計數據用最小二乘法作擬合例：美國人口數據（單位例：美國人口數據（單位百萬）

15、百萬） 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4專家估計專家估計阻滯增長模型阻滯增長模型( (Logistic模型模型) )r=0.2557, xm=392.1模型檢驗模型檢驗用模型計算用模型計算2000年美國人口，與實際數據比較年美國人口，與實際數據比較/ )1990(1)1990()1990()1990()2000(mxxrxxxxx實際為實際為281.4 (百萬百萬)5 .274)2000(x模型應用模型應用預報美國預報美國2010年的人口年的人口加入加入2000年人口數據后重新估計

16、模型參數年人口數據后重新估計模型參數Logistic 模型在經濟領域中的應用模型在經濟領域中的應用( (如耐用消費品的售量如耐用消費品的售量) )阻滯增長模型阻滯增長模型( (Logistic模型模型) )r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.01.3.4崖高的估算崖高的估算假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功 能的計算器，你也許會出于好奇心想用扔下能的計算器，你也許會出于好奇心想用扔下 一塊石頭聽回聲的方法來估計山崖的高度，一塊石頭聽回聲的方法來估計山崖的高度， 假定你能準確地測定時間，你又怎樣來推算假定你能準確地測定時間，你又

17、怎樣來推算 山崖的高度呢，請你分析一下這一問題。山崖的高度呢，請你分析一下這一問題。我有一只具有跑我有一只具有跑 表功能的計算器。表功能的計算器。方法一方法一假定空氣阻力不計，可以直接利用自由落體運動的公式假定空氣阻力不計，可以直接利用自由落體運動的公式來計算。例如，來計算。例如， 設設t=4秒，秒，g=9.81米米/秒秒2，則可求得，則可求得h78.5米。米。221gth 我學過微積分，我可以做我學過微積分，我可以做 得更好，呵呵。得更好，呵呵。 vKmgdtdvmF除去地球吸引力外，對石塊下落影響最大的當除去地球吸引力外，對石塊下落影響最大的當 屬屬空氣阻空氣阻力力。根據流體力學知識，此時

18、可設空氣阻力正比于石塊下。根據流體力學知識，此時可設空氣阻力正比于石塊下落的速度，阻力系落的速度，阻力系 數數K為常數，因而，由牛頓第二定律可為常數，因而，由牛頓第二定律可得：得： kgcevkt令令k=K/m，解得解得 代入初始條件代入初始條件 v(0)=0，得，得c=g/k，故有，故有 ktekgkgv再積分一次，得：再積分一次，得： cekgtkghkt2若設若設k=0.05并仍設并仍設 t=4秒，則可求秒，則可求 得得h73.6米。米。 聽到回聲再按跑表，計算得到的時間中包含了聽到回聲再按跑表，計算得到的時間中包含了 反應時間反應時間 不妨設不妨設平均反應時間平均反應時間 為為0.1秒

19、秒 ，假如仍，假如仍 設設t=4秒，扣除反秒，扣除反應時間后應應時間后應 為為3.9秒，代入秒，代入 式式，求得，求得h69.9米。米。 222)1(kgektkgkgekgtkghktkt多測幾次，取平均多測幾次，取平均值值代入初始條代入初始條 件件h(0)=0，得到計算山崖高度的公式：，得到計算山崖高度的公式： 將將e-kt用泰勒公式展開并用泰勒公式展開并 令令k 0+ ，即可，即可得出前面不考慮空氣阻力時的結果。得出前面不考慮空氣阻力時的結果。還應考慮還應考慮回聲回聲傳回來所需要的時間。為此，令石塊下落傳回來所需要的時間。為此，令石塊下落 的真正時間的真正時間 為為t1，聲音傳回來的時間

20、記，聲音傳回來的時間記 為為t2，還得解一個，還得解一個方程組：方程組： 933401212211.ttthkg)ekt (kghkt這一方程組是這一方程組是非線性非線性的，求的，求解不太容易，解不太容易，為了估算崖高為了估算崖高竟要去解一個竟要去解一個非線性主程組非線性主程組似乎不合情理似乎不合情理 相對于石塊速度，聲音速度要快得多，我們可相對于石塊速度，聲音速度要快得多，我們可 用方法二先求一次用方法二先求一次 h，令，令t2=h/340，校正，校正t，求石，求石塊下落時間塊下落時間 t1t-t2將將t1代入式代入式再算一次，得出再算一次，得出崖高的近似值。例如，崖高的近似值。例如， 若若

21、h=69.9米，則米，則 t20.21秒，故秒，故 t13.69秒，求得秒，求得 h62.3米。米。 數學建模的基本方法數學建模的基本方法機理分析機理分析測試分析測試分析根據對客觀事物特性的認識，根據對客觀事物特性的認識，找出反映內部機理的數量規律找出反映內部機理的數量規律將對象看作將對象看作“黑箱黑箱”,通過對量測數據的通過對量測數據的統計分析，找出與數據擬合最好的模型統計分析，找出與數據擬合最好的模型機理分析沒有統一的方法，主要通過實例研究機理分析沒有統一的方法，主要通過實例研究 (Case Studies)來學習。以下建模主要指機理分析。來學習。以下建模主要指機理分析。二者結合二者結合用

22、機理分析建立模型結構用機理分析建立模型結構,用測試分析確定模型參數用測試分析確定模型參數1.4 數學建模的方法和步驟數學建模的方法和步驟 數學建模的一般步驟數學建模的一般步驟模型準備模型準備模型假設模型假設模型構成模型構成模型求解模型求解模型分析模型分析模型檢驗模型檢驗模型應用模型應用模模型型準準備備了解實際背景了解實際背景明確建模目的明確建模目的搜集有關信息搜集有關信息掌握對象特征掌握對象特征形成一個形成一個比較清晰比較清晰的的問題問題模模型型假假設設針對問題特點和建模目的針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設作出合理的、簡化的假設在合理與簡化之間作出折中在合理與簡化之間作出折中模模型

23、型構構成成用數學的語言、符號描述問題用數學的語言、符號描述問題發揮想像力發揮想像力使用類比法使用類比法盡量采用簡單的數學工具盡量采用簡單的數學工具 數學建模的一般步驟數學建模的一般步驟模型模型求解求解各種數學方法、軟件和計算機技術各種數學方法、軟件和計算機技術如結果的誤差分析、統計分析、如結果的誤差分析、統計分析、模型對數據的穩定性分析模型對數據的穩定性分析模型模型分析分析模型模型檢驗檢驗與實際現象、數據比較，與實際現象、數據比較，檢驗模型的合理性、適用性檢驗模型的合理性、適用性模型應用模型應用 數學建模的一般步驟數學建模的一般步驟數學建模的全過程數學建模的全過程現實對象的信息現實對象的信息數

24、學模型數學模型現實對象的解答現實對象的解答數學模型的解答數學模型的解答表述表述求解求解解釋解釋驗證驗證(歸納)(演繹)表述表述求解求解解釋解釋驗證驗證根據建模目的和信息將實際問題根據建模目的和信息將實際問題“翻譯翻譯”成數學問成數學問題題選擇適當的數學方法求得數學模型的解答選擇適當的數學方法求得數學模型的解答將數學語言表述的解答將數學語言表述的解答“翻譯翻譯”回實際對象回實際對象用現實對象的信息檢驗得到的解答用現實對象的信息檢驗得到的解答實踐現現實實世世界界數數學學世世界界理論實踐1.5 數學模型的特點和分類數學模型的特點和分類模型的逼真性和可行性模型的逼真性和可行性模型的漸進性模型的漸進性模

25、型的強健性模型的強健性模型的可轉移性模型的可轉移性模型的非預制性模型的非預制性模型的條理性模型的條理性模型的技藝性模型的技藝性模型的局限性模型的局限性 數學模型的特點數學模型的特點數學模型的分類數學模型的分類應用領域應用領域人口、交通、經濟、生態人口、交通、經濟、生態 數學方法數學方法初等數學、微分方程、規劃、統計初等數學、微分方程、規劃、統計 表現特性表現特性描述、優化、預報、決策描述、優化、預報、決策 建模目的建模目的了解程度了解程度白箱白箱灰箱灰箱黑箱黑箱確定和隨機確定和隨機靜態和動態靜態和動態線性和非線性線性和非線性離散和連續離散和連續1.6 怎樣學習數學建模怎樣學習數學建模數學建模與其說是一門技術，不如說是一門藝術數學建模與其說是一門技術，不如說是一門藝術技術大致有章可循技術大致有章可循藝術無法歸納成普遍適用的準則藝術無法歸納成普遍適用的準則想像力想像力洞察力洞察力判斷力判斷力 學習、分析、評價、改進別人作過的模