1、8.1 狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述8.2 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的建立連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的建立8.3 矩陣函數矩陣函數 8.4 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程求解連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程求解8.5 離散系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的解離散系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的解8.6 系統(tǒng)函數矩陣與系統(tǒng)穩(wěn)定性系統(tǒng)函數矩陣與系統(tǒng)穩(wěn)定性第八章第八章 系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析 8.1 狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述 一、輸入輸出描述一、輸入輸出描述 1.系統(tǒng)模型：實際系統(tǒng)的基本特性的抽象化描述；系統(tǒng)模型：實際系統(tǒng)的基本特性的抽象化描述； 2.輸入輸出模型：利用系統(tǒng)輸入輸出關系建立的系統(tǒng)模型。輸入輸出模型：利用系統(tǒng)輸入輸出關系建立的系統(tǒng)模型。 特點：

2、用輸入輸出變量間的關系表征系統(tǒng)特性，不直接特點：用輸入輸出變量間的關系表征系統(tǒng)特性，不直接 涉及系統(tǒng)內部情況。涉及系統(tǒng)內部情況。3.描述方式：描述方式： 解析方式解析方式代數、微分、差分方程代數、微分、差分方程 圖示方式圖示方式電路圖、方框圖、信號流圖電路圖、方框圖、信號流圖 第一節(jié)第一節(jié) 4.描述方程（數學模型）描述方程（數學模型） *LTI瞬時系統(tǒng)：線性常系數代數方程（變量為瞬時系統(tǒng)：線性常系數代數方程（變量為t或或k）；）； *LTI動態(tài)系統(tǒng)：線性常系數微分、差分方程。動態(tài)系統(tǒng)：線性常系數微分、差分方程。 二、狀態(tài)描述二、狀態(tài)描述 1.單輸入單輸出一階單輸入單輸出一階LTILTI系統(tǒng)系統(tǒng)

3、 無記憶部分：無記憶部分：代數方程代數方程 )()()()()()(tdftcxtytbftaxtm式中式中a、b、c、d為常量為常量 記憶元件：記憶元件： dmxdmtxtt 0)()0()()(或微分方程：或微分方程： 積分方程：積分方程： )()(tmtx x(0)已知已知 第一節(jié)第一節(jié) 系統(tǒng)描述方程系統(tǒng)描述方程 )()()()0()()()()()()()()()()0()()(tdftcxtyxtbftaxtxtdftcxtytbftaxtmxtmtx已知已知已知已知 注意：注意：* *式式是是x(t)的一階微分方程，若已知的一階微分方程，若已知x(0)，可求，可求x(t)。 * *

4、式式中，由中，由x(t)和輸入和輸入f (t)?？汕蟮幂敵?。可求得輸出y(t)。 * *按狀態(tài)變量定義可選擇記憶元件（積分器）輸出變按狀態(tài)變量定義可選擇記憶元件（積分器）輸出變 量作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。量作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。有記憶部分無記憶部分y1(t)yq(t)f1(t)fp(t)mn(t) xn(t)x1(t)xn(t).m1(t) x1(t).2.多輸入多輸出多輸入多輸出n階階LTILTI系統(tǒng)系統(tǒng) TqTnTnTntytytytytftftftftxtxtxtxtxtxtxtxtDftCxtytxtBftAxtx)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()

5、()()()(212121210 式中式中已知已知 第一節(jié)第一節(jié) 狀態(tài)模型：將系統(tǒng)劃分為狀態(tài)模型：將系統(tǒng)劃分為有記憶和無記憶有記憶和無記憶兩部分，選取獨立兩部分，選取獨立 記憶元件輸出變量作為記憶元件輸出變量作為狀態(tài)變量狀態(tài)變量x(t)，并結合，并結合初始初始 狀態(tài)狀態(tài)x(0)、輸入輸入f (t)來確定其來確定其輸出輸出y(t)的一種分析的一種分析 模型。模型。三、狀態(tài)空間描述方程三、狀態(tài)空間描述方程 1.連續(xù)系統(tǒng)標準形式連續(xù)系統(tǒng)標準形式 )()()()0()()()(tDftCxtyxtBftAxtx 已知已知 ( (狀態(tài)方程狀態(tài)方程）（輸出方程輸出方程） 狀態(tài)方程狀態(tài)方程：x(t)的一階矢

6、量微分方程，描述有記憶部分的一階矢量微分方程，描述有記憶部分輸入輸出關系，著重體現系統(tǒng)的動態(tài)特性。輸入輸出關系，著重體現系統(tǒng)的動態(tài)特性。 輸出方程：輸出方程：描述輸出與狀態(tài)變量和輸入之間的關系描述輸出與狀態(tài)變量和輸入之間的關系，方程由無方程由無記憶部分的輸入輸出關系導出，是一組代數方程。記憶部分的輸入輸出關系導出，是一組代數方程。 第一節(jié)第一節(jié) 2.離散系統(tǒng)標準形式離散系統(tǒng)標準形式 )()()()0()()() 1(kDfkCxkyxkBfkAxkx已已知知 ( (狀態(tài)方程狀態(tài)方程）（輸出方程輸出方程） 四、狀態(tài)空間分析步驟四、狀態(tài)空間分析步驟 （1）選擇狀態(tài)變量：按狀態(tài)模型，可選記憶元件輸出

7、選擇狀態(tài)變量：按狀態(tài)模型，可選記憶元件輸出變量為狀態(tài)變量；變量為狀態(tài)變量； （2）建立狀態(tài)空間方程；建立狀態(tài)空間方程； （3）由狀態(tài)方程求得狀態(tài)向量解；由狀態(tài)方程求得狀態(tài)向量解； （4）由輸出方程求得系統(tǒng)輸出。由輸出方程求得系統(tǒng)輸出。 第一節(jié)第一節(jié) 8.2 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的建立連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的建立 一、直接編寫法一、直接編寫法 CR12 usR22 i2i1al2l1L 1 Hx1b0.5 Fx2R33 u3 思路與步驟：思路與步驟：按狀態(tài)模型選按狀態(tài)模型選 各獨立各獨立uc , il為為 狀態(tài)變量；狀態(tài)變量； 狀態(tài)變量數目狀態(tài)變量數目 電系統(tǒng)階數電系統(tǒng)階數 獨立獨立uc , il

8、數目數目對與狀態(tài)變量相聯(lián)系的對與狀態(tài)變量相聯(lián)系的C、L列寫列寫KCL、KVL方程方程 利用利用KCL、KVL、VCR消去消去“非法非法”變量，整理得狀態(tài)方程變量，整理得狀態(tài)方程 用觀察法寫出輸出方程。用觀察法寫出輸出方程。 第二節(jié)第二節(jié) CR12 usR22 i2i1al2l1L 1 Hx1b0.5 Fx2R33 u3 如左圖電路：如左圖電路：取取uc、il 為狀態(tài)變量為狀態(tài)變量 對接對接C的節(jié)點的節(jié)點b寫寫KCL方程方程 3RuiuccLc 對含對含L的回路的回路l1 寫寫KVL方程方程 cLuiRiL 22消去非法變量消去非法變量i221122211212RRiRuiiRiRuliiiaL

9、ssL回路節(jié)點整理得狀態(tài)方程整理得狀態(tài)方程 cLsLcLcuiRuRRRiLRuiuc)(12123 第二節(jié)第二節(jié) sLcLcsLcLLccuiuiuuiuiiuu2132213201122輸出方程輸出方程 sLcsLRRiRucuiuiuuiiuuLs4121234121230001211 第二節(jié)第二節(jié) 二、由信流圖、方框圖建立狀態(tài)空間方程二、由信流圖、方框圖建立狀態(tài)空間方程 步驟：步驟： （1 1）按狀態(tài)模型，選積分器（或一階）按狀態(tài)模型，選積分器（或一階子子系統(tǒng)）系統(tǒng)） 輸出為狀態(tài)變量；輸出為狀態(tài)變量；（2 2）在積分器（或一階）在積分器（或一階子系統(tǒng)）輸入端寫出子系統(tǒng)）輸入端寫出 狀態(tài)

10、方程；狀態(tài)方程；（3）在信流圖（或方框圖）輸出端寫出輸出）在信流圖（或方框圖）輸出端寫出輸出 方程。方程。 第二節(jié)第二節(jié) 例例1 1：單輸入單輸出方程：單輸入單輸出方程 因積分器輸出信號相應輸出節(jié)點信號因積分器輸出信號相應輸出節(jié)點信號 故直接選諸積分器輸出節(jié)點變量為狀態(tài)變量故直接選諸積分器輸出節(jié)點變量為狀態(tài)變量 由積分器輸入端寫出狀態(tài)方程：由積分器輸入端寫出狀態(tài)方程： fxxxxxxxx32133221678由系統(tǒng)輸出端寫出輸出方程由系統(tǒng)輸出端寫出輸出方程 214xxy 第二節(jié)第二節(jié) 例例2：二輸入二輸出系統(tǒng)：二輸入二輸出系統(tǒng) * *視視S域信流圖域信流圖 為為t 域信流圖域信流圖 *積分器輸

11、出信號積分器輸出信號 輸出節(jié)點信號輸出節(jié)點信號 直接選為狀態(tài)變量直接選為狀態(tài)變量 狀態(tài)方程：狀態(tài)方程： 21321232133212113235433232ffxxxfxxxxxxfxxx輸出方程：輸出方程： 2211xyxy 第二節(jié)第二節(jié) 例例3：建立系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：建立系統(tǒng)狀態(tài)空間方程 * *視視S域信流圖域信流圖 為為t 域信流圖域信流圖 *積分器輸出信號積分器輸出信號 輸出節(jié)點信號輸出節(jié)點信號狀態(tài)方程：狀態(tài)方程： fxxfxxxxxx487613312211輸出方程：輸出方程： 1xy 第二節(jié)第二節(jié) 例例4：建立系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：建立系統(tǒng)狀態(tài)空間方程 * *視視S域方框圖域方框圖 為

12、為t 域方框圖域方框圖 對應為對應為t 域信流圖域信流圖 *選積分器或一階選積分器或一階 子系統(tǒng)輸出為狀子系統(tǒng)輸出為狀 態(tài)變量，利用積態(tài)變量，利用積 分器，一階子系統(tǒng)輸入輸出關系寫出狀態(tài)方程。分器，一階子系統(tǒng)輸入輸出關系寫出狀態(tài)方程。子系統(tǒng)子系統(tǒng)：212121211,xxxpxxsxxsx 故故子系統(tǒng)子系統(tǒng)：fxxsxxfxs333,)(3223332 fxxx333322 子系統(tǒng)子系統(tǒng)：3131113,xxsxxxs 313xxx 輸出方程：輸出方程： 1xy 第二節(jié)第二節(jié) 三、由三、由H(p)、H(s)建立狀態(tài)空間方程建立狀態(tài)空間方程 步驟：步驟：由由H(p)、H(s)畫出模擬信流圖；畫出

13、模擬信流圖； 采用二中方法建立狀態(tài)空間方程。采用二中方法建立狀態(tài)空間方程。 注意：注意：不同模擬信流圖（直接、串并形式）將導致不同模擬信流圖（直接、串并形式）將導致 不同形式的方程；不同形式的方程； 應用直接形式應用直接形式時，積分器輸出信號時，積分器輸出信號 輸出節(jié)點信號輸出節(jié)點信號 四、由四、由微分（算子）方程微分（算子）方程建立狀態(tài)空間方程建立狀態(tài)空間方程 步驟：步驟：確定確定H(p)或或H(s)； 采用三中方法建立狀態(tài)空間方程。采用三中方法建立狀態(tài)空間方程。 第二節(jié)第二節(jié) 五、離散系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的建立五、離散系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的建立 步驟如下步驟如下 差分方程差分方程算子方程算子方程信

14、流圖信流圖方框圖方框圖h(k)、H(E)H(z)選移位器輸出選移位器輸出為狀態(tài)變量為狀態(tài)變量在移位器輸入在移位器輸入端寫狀態(tài)方程端寫狀態(tài)方程在系統(tǒng)輸出端在系統(tǒng)輸出端寫出輸出方程寫出輸出方程 第二節(jié)第二節(jié) 例例5：由方框圖建立系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：由方框圖建立系統(tǒng)狀態(tài)空間方程 (a)f1(k)E1E1y1(k) 3f2(k)y2(k)x3(k)E1 2 423x2(k)x1(k)f1(k)y1(k)f2(k)y2(k)111x2(k 1)x2(k)x1(k)E 1E 1111E 11x3(k 1)x3(k) 3 4 232(b)1)()(3)(3)1()()(4)(2)1()()1(21331212

15、21kkkxkxkkxkxkxkxkx ( (狀態(tài)方程狀態(tài)方程）（輸出方程輸出方程） )()()(2)()()(231211kkxkxkykxky 第二節(jié)第二節(jié) 例例6：由差分方程建立系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：由差分方程建立系統(tǒng)狀態(tài)空間方程 見教材見教材P375 第二節(jié)第二節(jié) 8.3 矩陣函數矩陣函數 一、矩陣的特征多項式、特征方程、特征根一、矩陣的特征多項式、特征方程、特征根 設設n階方陣階方陣A，則有，則有 特征多項式：特征多項式： niiiAIq0det)(式中式中I為單位陣，為單位陣，為標量，為標量，detdet 表示取行列式。表示取行列式。 特征方程：特征方程：q()=0特征根（值）：特征方

16、程的根特征根（值）：特征方程的根 例：若設例：若設 3021A則有特征多項式則有特征多項式 3021302100)(AIq34)3)(1(2特征方程：特征方程： 34)(2q特征根：特征根： 3121 第三節(jié)第三節(jié) 二、凱萊哈密頓定理二、凱萊哈密頓定理 內容：任一方陣內容：任一方陣A恒滿足它的特征方陣，即恒滿足它的特征方陣，即 niiiAAq00)(驗證：驗證： 3021A34)(2q000030031208490811001330214302134)(22IAAAq三、矩陣函數三、矩陣函數 1.1.定義：設標量函數定義：設標量函數f (x)可可 展開為收斂的冪級數展開為收斂的冪級數 kkkx

17、xf0)(第三節(jié)第三節(jié)則稱則稱 )2()(0kkkAAf為矩陣為矩陣A A的函數，簡稱矩陣函數。的函數，簡稱矩陣函數。 正弦標量函數：正弦標量函數：! 7! 5! 3sin753xxxxx正弦矩陣函數：正弦矩陣函數：! 7! 5! 3sin753AAAAA指數矩陣函數：指數矩陣函數：指數標量函數：指數標量函數：33220! 31! 211!1txtxxttxkekkkxt33220! 31! 21!1tAtAAtItAkekkkAt2. 重要定理：重要定理： n階方陣階方陣A的矩陣函數的矩陣函數f (A)可表示為一個次數不超過可表示為一個次數不超過(n-1) 的的A的多項式，即的多項式，即)2

18、()(10112210knkknnAAAAIAf 式中式中k 為標量。為標量。 與與f (A)相應的標量表達式：相應的標量表達式： )3()(112210nnxxxxf式中各系數按下面兩種情況確定：式中各系數按下面兩種情況確定： case 1. A具有相異特征根具有相異特征根 設設n階方陣階方陣A的特征根為的特征根為1 、2 、n 。在式。在式(3)中，分別中，分別令令x 1 、2 、n。得。得 1112121101)(nnf1212222102)(nnf聯(lián)立求得聯(lián)立求得0 、 1 、n-1。case2. A具有多重特征根具有多重特征根 設設n階方陣階方陣A在在x1 處具有處具有m m重特征根

19、，其余重特征根，其余(n-m)個一階特個一階特 征根征根分別為分別為 m1 、m2 、n。 在式在式(3)(3)中，令中，令x=m+1， n 得到得到(n-m)個獨立方程。個獨立方程。 其余其余m個方程為：個方程為： )()()(111212110111121211011112121101111111nnddddnnddddnnmmmmfff聯(lián)立求得聯(lián)立求得0 、 1 、n-1。3. f (A)計算步驟：計算步驟： (1) 求方陣求方陣A的特征根；的特征根； (2) 確定系數確定系數k (3)112210)(nnAAAIAf例例1.1.已知已知2011A求求 。Ate解解（1）A的特征根的特征

20、根 0)2)(1(201100)(AIq2121（2）計算系數）計算系數 1010 xtAteAIetttttteeeeee21201021022（3） ttttAteeeeAIe22100例例2. .已知已知 4130A求求 。kA解解（1）A的特征根的特征根 0)3)(1(413)(AIq3121（2）計算系數）計算系數 1010)()(kkfAIAAfkkkkkk)3(5 . 0) 1(5 . 0)3(5 . 0) 1(5 . 13)3() 1(101010kkkkkkkkkAIAAf)3(3) 1()3() 1()3(3) 1(3)3() 1(321)(10（3） 四、四、eAt的性質

21、的性質 IeeteAAt000. 1tBAAtBtBtAteeeeeBAABBAn)(. 2，則，若，階方陣AeeAedtdAtAtAt. 311)()()(. 4PePetxeAtxetxedtdAttPAPAtAtAt（P為非奇異矩陣）為非奇異矩陣） )()()()0()()()(tDftCxtyxtBftAxtx已知 8.4 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程求解連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程求解 狀態(tài)空間方程的標準形式狀態(tài)空間方程的標準形式 一、時域解一、時域解 1.1.狀態(tài)方程時域解狀態(tài)方程時域解 狀態(tài)方程狀態(tài)方程 已知)0()()()(xtBftAxtx左乘左乘e e-At -At 并移項整理得并移項整理得 )(

22、)()(tBfetxAetxeAtAtAt)()(tBfetxedtdAtAt 第四節(jié)第四節(jié) 0- t 積分積分 dBfexetxeAtAAt)()0()(00dBfexetxttAAt)()0()(0)(dfBetxtatt)()()0()(0)()()0()(fBtxt)()(txtxfx 第四節(jié)第四節(jié) 2.2.輸出方程輸出方程時域時域解解 )()()()()0()()()()0()()()()()0()()()()(tytytfthxtCtfDBtCxtCtDftfBtCxtCtDftCxtyfxh(t):沖激響應矩陣沖激響應矩陣 )()(tftD例一：教材例一：教材P395 例二：教材

23、例二：教材P398 第四節(jié)第四節(jié) 二、二、S 域解域解 時域方程時域方程 )()()()0()()()(tDftCxtyxtBftAxtx已知)()()()()()()()(321321sXsXsXsXtxtxtxtx設設 )0()()0()()0()()0()()()()()(332211321xssXxssXxssXxssXtxtxtxtx)()()()(sYtysFtf 第四節(jié)第四節(jié) 1.1.狀態(tài)方程狀態(tài)方程S 域解域解 )()()0()(sBFsAXxssX整理得整理得 )()0()()(sBFxsXAsI)()()()()0()()()()0()()(11sXsXsBFsxssBFA

24、sIxAsIsXfx )()()(1sXsXLtxfx預解矩陣: )(S 第四節(jié)第四節(jié) 2.2.輸出方程輸出方程S域域解解 )()()()()0()()()()0()()()()()0()()()()(sYsYsFsHxsCsFDBsCxsCsDFsFBsCxsCsDFsCxsYfx H(s):系統(tǒng)函數矩陣系統(tǒng)函數矩陣 )()()(1sYsYLtyfx 第四節(jié)第四節(jié) )0()()0()()(1xsLxttxx 3.3.狀態(tài)轉移矩陣狀態(tài)轉移矩陣(t)與預解矩陣與預解矩陣(s) 1)()()(AsIsetAt eAt的的S域計算方法域計算方法 )()(111AsILsLeAt 其中其中 AsIAs

25、IadjAsIs)()()(1 ijjiijTijMbbadjB) 1(之代數余子式中為ijijbBM 第四節(jié)第四節(jié) 4.4.沖激響應矩陣沖激響應矩陣H(t)與系統(tǒng)函數矩陣與系統(tǒng)函數矩陣H(s) )()()()()()(11sFsHLsYLtfthtyffDBsCsHtDBtCth)()()()()( 第四節(jié)第四節(jié) 8.5 離散系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的解離散系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的解 )()()()0()()() 1(kDfkCxkyxkBfkAxkx已知一、時域解一、時域解 1.狀態(tài)方程時域解狀態(tài)方程時域解 用迭代法求解差分方程用迭代法求解差分方程 )2() 1 ()0()0()2()2()3() 1

26、()0()0() 1 () 1 ()2()0()0() 1 (232BfABfBfAxABfAxxBfABfxABfAxxBfAxx 第五節(jié)第五節(jié) 0)(kAkk)()()() 1()0()()()0()()0()(1110kxkxkfBkxkkBfAxAiBfAxAkxfxkkikkik式中式中 離散系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣離散系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣 2.輸出方程輸出方程時域時域解解 )()()(*)()0()()()() 1()0()()()() 1()0()()()()(kykykfkhxkCkfkDBkCxkCkDfkfBkCxkCkDfkCxkyfx式中式中 )() 1()(kDBkCkh單位響應矩陣單位響應矩陣 第五節(jié)第五節(jié) 二、二、Z 域解域解 設設 )()()()()()(11zXzXzXkxkxkxnn)0()()0()()0()() 1() 1() 1(111zxzzXzxzzXzxzzXkxkxkxnnn)()()()(zYkyzFkf1.1.狀態(tài)方程狀態(tài)方程S 域解域解 )()()0()(zBFzAXzxzzX整理得整理得 )()0()()(zBFxzXAzI 第五節(jié)第五節(jié) )()()()()0()()()()0()()(1